查找二叉树
二叉树的基本操作

二叉树的基本操作二叉树是一种常见的数据结构,它由节点组成,每个节点最多有两个子节点。
二叉树在计算机领域中得到广泛应用,它的基本操作包括插入、删除、查找、遍历等。
1.插入操作:二叉树的插入操作是将一个新的节点添加到已有的二叉树中的过程。
插入操作会按照一定规则将新节点放置在正确的位置上。
插入操作的具体步骤如下:-首先,从根节点开始,比较新节点的值与当前节点的值的大小关系。
-如果新节点的值小于当前节点的值,则将新节点插入到当前节点的左子树中。
-如果新节点的值大于当前节点的值,则将新节点插入到当前节点的右子树中。
-如果当前节点的左子树或右子树为空,则直接将新节点插入到该位置上。
-如果当前节点的左子树和右子树都不为空,则递归地对左子树或右子树进行插入操作。
2.删除操作:二叉树的删除操作是将指定节点从二叉树中删除的过程。
删除操作有以下几种情况需要考虑:-如果待删除节点是叶子节点,则直接将其从二叉树中删除即可。
-如果待删除节点只有一个子节点,则将其子节点替换为待删除节点的位置即可。
-如果待删除节点有两个子节点,则需要找到其左子树或右子树中的最大节点或最小节点,将其值替换为待删除节点的值,然后再删除最大节点或最小节点。
3.查找操作:二叉树的查找操作是在二叉树中查找指定值的节点的过程。
查找操作的具体步骤如下:-从根节点开始,将待查找值与当前节点的值进行比较。
-如果待查找值等于当前节点的值,则返回该节点。
-如果待查找值小于当前节点的值,则在当前节点的左子树中继续查找。
-如果待查找值大于当前节点的值,则在当前节点的右子树中继续查找。
-如果左子树或右子树为空,则说明在二叉树中找不到该值。
4.遍历操作:二叉树的遍历操作是按照一定规则依次访问二叉树中的每个节点。
有三种常用的遍历方式:- 前序遍历(Preorder Traversal):先访问根节点,然后递归地前序遍历左子树和右子树。
- 中序遍历(Inorder Traversal):先递归地中序遍历左子树,然后访问根节点,最后递归地中序遍历右子树。
二叉树的建立与基本操作

二叉树的建立与基本操作二叉树是一种特殊的树形结构,它由节点(node)组成,每个节点最多有两个子节点。
二叉树的基本操作包括建立二叉树、遍历二叉树、查找二叉树节点、插入和删除节点等。
本文将详细介绍二叉树的建立和基本操作,并给出相应的代码示例。
一、建立二叉树建立二叉树有多种方法,包括使用数组、链表和前序、中序、后序遍历等。
下面以使用链表的方式来建立二叉树为例。
1.定义二叉树节点类首先,定义一个二叉树节点的类,包含节点值、左子节点和右子节点三个属性。
```pythonclass Node:def __init__(self, value):self.value = valueself.left = Noneself.right = None```2.建立二叉树使用递归的方法来建立二叉树,先构造根节点,然后递归地构造左子树和右子树。
```pythondef build_binary_tree(lst):if not lst: # 如果 lst 为空,则返回 Nonereturn Nonemid = len(lst) // 2 # 取 lst 的中间元素作为根节点的值root = Node(lst[mid])root.left = build_binary_tree(lst[:mid]) # 递归构造左子树root.right = build_binary_tree(lst[mid+1:]) # 递归构造右子树return root```下面是建立二叉树的示例代码:```pythonlst = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]root = build_binary_tree(lst)```二、遍历二叉树遍历二叉树是指按照其中一规则访问二叉树的所有节点,常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
1.前序遍历前序遍历是指先访问根节点,然后访问左子节点,最后访问右子节点。
```pythondef pre_order_traversal(root):if root:print(root.value) # 先访问根节点pre_order_traversal(root.left) # 递归访问左子树pre_order_traversal(root.right) # 递归访问右子树```2.中序遍历中序遍历是指先访问左子节点,然后访问根节点,最后访问右子节点。
2017唐班数据结构-20二叉查找树

FindMin和FindMax
算法FindMin(t) /* 在以t为根的树找最小元素*/ F1[一路向左]
if( t != NULL ) while( t->llink != NULL) t = t->llink;
return t;
插入
O
E
U
A
I
5
6
1
23
4
O
E
U
A
I
6
7
情况2:“双重转动”。 首先,以 X 为轴将 B 从 X 的右上侧右转到 X 的 右下侧,记为(X,B),从而 A 的右儿子是 X,
X 的右儿子是 B,原 X 的右子树 变成了新 B
的左子树;
A B
A X
h
+X
h
h
•B
h1
h
h1
h
h
然后,以 X 为轴心 , 把 A 从 X 的左上方左转到 X 的左下侧 , 记为(A , X) , 使 X 的左儿子是 A , 右儿子
KEY DATA B
LLINK
RLINK
ROOT
树形总高度
B RLINK
DATA KEY B
LLINK
RLINK
查找和插入操作
在一株高度平衡二叉树上插入结点,可能会破坏其平衡性。 如,在图 8.23 中,如果新结点被插入高度平衡树的外结点
4 , 5 , 6 , 7 , 10 , 13 等处则无损平衡性。
第八章 查找 II 树查找
树的引入
对半查找、斐波那契查找等都对应一棵隐 式的(implicit)二叉树;
用一个显式的(explicit)二叉树结构组织数据 进行查找;
动态规划-最优二叉搜索树

动态规划-最优⼆叉搜索树摘要: 本章介绍了⼆叉查找树的概念及操作。
主要内容包括⼆叉查找树的性质,如何在⼆叉查找树中查找最⼤值、最⼩值和给定的值,如何找出某⼀个元素的前驱和后继,如何在⼆叉查找树中进⾏插⼊和删除操作。
在⼆叉查找树上执⾏这些基本操作的时间与树的⾼度成正⽐,⼀棵随机构造的⼆叉查找树的期望⾼度为O(lgn),从⽽基本动态集合的操作平均时间为θ(lgn)。
1、⼆叉查找树 ⼆叉查找树是按照⼆叉树结构来组织的,因此可以⽤⼆叉链表结构表⽰。
⼆叉查找树中的关键字的存储⽅式满⾜的特征是:设x为⼆叉查找树中的⼀个结点。
如果y是x的左⼦树中的⼀个结点,则key[y]≤key[x]。
如果y是x的右⼦树中的⼀个结点,则key[x]≤key[y]。
根据⼆叉查找树的特征可知,采⽤中根遍历⼀棵⼆叉查找树,可以得到树中关键字有⼩到⼤的序列。
介绍了⼆叉树概念及其遍历。
⼀棵⼆叉树查找及其中根遍历结果如下图所⽰:书中给出了⼀个定理:如果x是⼀棵包含n个结点的⼦树的根,则其中根遍历运⾏时间为θ(n)。
问题:⼆叉查找树性质与最⼩堆之间有什么区别?能否利⽤最⼩堆的性质在O(n)时间内,按序输出含有n个结点的树中的所有关键字?2、查询⼆叉查找树 ⼆叉查找树中最常见的操作是查找树中的某个关键字,除了基本的查询,还⽀持最⼤值、最⼩值、前驱和后继查询操作,书中就每种查询进⾏了详细的讲解。
(1)查找SEARCH 在⼆叉查找树中查找⼀个给定的关键字k的过程与⼆分查找很类似,根据⼆叉查找树在的关键字存放的特征,很容易得出查找过程:⾸先是关键字k与树根的关键字进⾏⽐较,如果k⼤⽐根的关键字⼤,则在根的右⼦树中查找,否则在根的左⼦树中查找,重复此过程,直到找到与遇到空结点为⽌。
例如下图所⽰的查找关键字13的过程:(查找过程每次在左右⼦树中做出选择,减少⼀半的⼯作量)书中给出了查找过程的递归和⾮递归形式的伪代码:1 TREE_SEARCH(x,k)2 if x=NULL or k=key[x]3 then return x4 if(k<key[x])5 then return TREE_SEARCH(left[x],k)6 else7 then return TREE_SEARCH(right[x],k)1 ITERATIVE_TREE_SEARCH(x,k)2 while x!=NULL and k!=key[x]3 do if k<key[x]4 then x=left[x]5 else6 then x=right[x]7 return x(2)查找最⼤关键字和最⼩关键字 根据⼆叉查找树的特征,很容易查找出最⼤和最⼩关键字。
二叉树前驱后继的查找

线索二叉树的运算1.查找某结点*p在指定次序下的前趋和后继结点(1)在中序线索二叉树中,查找结点*p的中序后继结点在中序线索二叉树中,查找结点*p的中序后继结点分两种情形:①若*p的右子树空(即p->rtag为Thread),则p->rchild为右线索,直接指向*p的中序后继。
【例】下图的中序线索二叉树中,结点D的中序后继是A。
②若*p的右子树非空(即p->rtag为Link),则*p的中序后继必是其右子树中第一个中序遍历到的结点。
也就是从*p的右孩子开始,沿该孩子的左链往下查找,直至找到一个没有左孩子的结点为止,该结点是*p的右子树中"最左下"的结点,即*P的中序后继结点。
【例】上图的中序线索二叉树中:A的中序后继是F,它有右孩子;F的中序后继是H,它无右孩子;B的中序后继是D,它是B的右孩子。
在中序线索二叉树中求中序后继结点的过程可【参见动画演示】,具体算法如下:BinThrNode *InorderSuccessor(BinThrNode *p){//在中序线索树中找结点*p的中序后继,设p非空BinThrNode *q;if (p->rtag==Thread) //*p的右子树为空Return p->rchild;//返回右线索所指的中序后继else{q=p->rchild;//从*p的右孩子开始查找while (q->ltag==Link)q=q->lchild;//左子树非空时,沿左链往下查找return q;//当q的左子树为空时,它就是最左下结点} //end if}该算法的时间复杂度不超过树的高度h,即O(h)。
(2)在中序线索二叉树中查找结点*p的中序前趋结点中序是一种对称序,故在中序线索二叉树中查找结点*p的中序前趋结点与找中序后继结点的方法完全对称。
具体情形如下:①若*p的左子树为空,则p->1child为左线索,直接指向*p的中序前趋结点;【例】上图所示的中序线索二叉树中,F结点的中序前趋结点是A②若*p的左子树非空,则从*p的左孩子出发,沿右指针链往下查找,直到找到一个没有右孩子的结点为止。
二叉排序树查找的递归算法

二叉排序树查找的递归算法介绍二叉排序树(Binary Search Tree),也称二叉查找树、有序二叉树或排序二叉树,是一种常用的数据结构。
它具有以下特点:•每个节点都包含一个键值和对应的数据。
•左子树中的所有节点的键值都小于根节点的键值。
•右子树中的所有节点的键值都大于根节点的键值。
•左右子树也分别是二叉排序树。
二叉排序树支持高效的查找、插入和删除操作,其中查找操作是利用递归实现的。
本文将详细介绍二叉排序树查找的递归算法。
二叉排序树的定义二叉排序树的定义如下:class TreeNode:def __init__(self, key, data):self.key = keyself.data = dataself.left = Noneself.right = Noneclass BinarySearchTree:def __init__(self):self.root = None在二叉排序树中,每个节点都是一个TreeNode对象,包含键值key和对应的数据data。
left和right分别指向左子树和右子树的根节点。
树的根节点由BinarySearchTree对象的root属性表示。
二叉排序树查找的递归算法二叉排序树的查找操作是利用递归实现的,其具体算法如下:1.如果待查找的键值等于当前节点的键值,返回当前节点的数据。
2.如果待查找的键值小于当前节点的键值,递归在左子树中查找。
3.如果待查找的键值大于当前节点的键值,递归在右子树中查找。
4.如果在左子树或右子树中找不到对应的键值,则返回空。
下面是二叉排序树查找的递归算法的代码实现:def search_recursive(node, key):if node is None or node.key == key:return node.dataelif key < node.key:return search_recursive(node.left, key)else:return search_recursive(node.right, key)在上述代码中,node表示当前节点,key表示待查找的键值。
数据结构:第9章 查找2-二叉树和平衡二叉树

return(NULL); else
{if(t->data==x) return(t);
if(x<(t->data) return(search(t->lchild,x));
else return(search(t->lchild,x)); } }
——这种既查找又插入的过程称为动态查找。 二叉排序树既有类似于折半查找的特性,又采用了链表存储, 它是动态查找表的一种适宜表示。
注:若数据元素的输入顺序不同,则得到的二叉排序树形态 也不同!
讨论1:二叉排序树的插入和查找操作 例:输入待查找的关键字序列=(45,24,53,45,12,24,90)
二叉排序树的建立 对于已给定一待排序的数据序列,通常采用逐步插入结点的方 法来构造二叉排序树,即只要反复调用二叉排序树的插入算法 即可,算法描述为: BiTree *Creat (int n) //建立含有n个结点的二叉排序树 { BiTree *BST= NULL;
for ( int i=1; i<=n; i++) { scanf(“%d”,&x); //输入关键字序列
– 法2:令*s代替*p
将S的左子树成为S的双亲Q的右子树,用S取代p 。 若C无右子树,用C取代p。
例:请从下面的二叉排序树中删除结点P。
F P
法1:
F
P
C
PR
C
PR
CL Q
CL QL
Q SL
S PR
QL S
SL
法2:
F
PS
C
PR
CL Q
QL SL S SL
数据结构 -第12周查找第3讲-二叉排序树.pdf

以二叉树或树作为表的组织形式,称为树表,它是一类动态查找表,不仅适合于数据查找,也适合于表插入和删除操作。
常见的树表:二叉排序树平衡二叉树B-树B+树9.3.1 二叉排序树二叉排序树(简称BST)又称二叉查找(搜索)树,其定义为:二叉排序树或者是空树,或者是满足如下性质(BST性质)的二叉树:❶若它的左子树非空,则左子树上所有节点值(指关键字值)均小于根节点值;❷若它的右子树非空,则右子树上所有节点值均大于根节点值;❸左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
注意:二叉排序树中没有相同关键字的节点。
二叉树结构满足BST性质:节点值约束二叉排序树503080209010854035252388例如:是二叉排序树。
66不试一试二叉排序树的中序遍历序列有什么特点?二叉排序树的节点类型如下:typedef struct node{KeyType key;//关键字项InfoType data;//其他数据域struct node*lchild,*rchild;//左右孩子指针}BSTNode;二叉排序树可看做是一个有序表,所以在二叉排序树上进行查找,和二分查找类似,也是一个逐步缩小查找范围的过程。
1、二叉排序树上的查找Nk< bt->keybtk> bt->key 每一层只和一个节点进行关键字比较!∧∧p查找到p所指节点若k<p->data,并且p->lchild=NULL,查找失败。
若k>p->data,并且p->rchild=NULL,查找失败。
查找失败的情况加上外部节点一个外部节点对应某内部节点的一个NULL指针递归查找算法SearchBST()如下(在二叉排序树bt上查找关键字为k的记录,成功时返回该节点指针,否则返回NULL):BSTNode*SearchBST(BSTNode*bt,KeyType k){if(bt==NULL||bt->key==k)//递归出口return bt;if(k<bt->key)return SearchBST(bt->lchild,k);//在左子树中递归查找elsereturn SearchBST(bt->rchild,k);//在右子树中递归查找}在二叉排序树中插入一个关键字为k的新节点,要保证插入后仍满足BST性质。
二叉查找树 例题

二叉查找树例题
二叉查找树(Binary Search Tree)是一种特殊的二叉树,每个节点的键值都大于左子树任意节点的键值,小于右子树任意节点的键值。
这种结构使得在二叉查找树中查找、插入和删除元素的操作都变得相对简单。
以下是一个简单的二叉查找树的例题:
题目:给定一个未排序的整数数组,检查是否存在重复元素。
解题思路:
这道题可以使用二叉查找树解决。
我们可以遍历数组中的每个元素,并将它们插入到二叉查找树中。
如果存在重复元素,则插入操作会失败,我们就可以提前返回结果。
如果不存在重复元素,则插入所有元素后,我们遍历二叉查找树即可验证结果。
具体实现如下:
1. 定义一个二叉查找树节点类,包含键值和左右子节点。
2. 定义一个二叉查找树类,包含根节点和插入、查找、遍历等方法。
3. 遍历给定的未排序整数数组,将每个元素插入到二叉查找树中。
如果插入失败(即该元素已存在于二叉查找树中),则说明存在重复元素,返回true。
4. 如果插入所有元素后都没有返回true,则遍历二叉查找树中的所有节点,检查它们的键值是否在给定的未排序整数数组中出现过。
如果出现过,则说明存在重复元素,返回true;否则返回false。
时间复杂度:O(nlogn),其中n 是给定数组的长度。
空间复杂度:O(n),其中n 是给定数组的长度。
二叉树的常考算法题目

二叉树的常考算法题目
二叉树是计算机科学中常见的数据结构,以下是几个常见的二叉树相关算法题目:
1. 二叉树的深度:给定一个二叉树,求其深度。
2. 判断二叉树是否为完全二叉树:给定一个二叉树,判断它是否是完全二叉树。
3. 查找二叉树中的最大值和最小值:给定一个二叉树,找到其中的最大值和最小值。
4. 二叉树的镜像:给定一个二叉树,将其镜像(即左右节点交换)。
5. 反转二叉树:给定一个二叉树,将其反转。
6. 二叉树的左视图:给定一个二叉树,找到其左视图。
7. 二叉树的右视图:给定一个二叉树,找到其右视图。
8. 查找二叉树中的前驱节点和后继节点:给定一个二叉树和一个节点,找到该节点的前驱节点和后继节点。
9. 二叉树的层序遍历:给定一个二叉树,使用层序遍历的方式访问其节点。
10. 二叉树的先序遍历、中序遍历和后序遍历:给定一个二叉树,分别使用先序遍历、中序遍历和后序遍历的方式访问其节点。
这些题目是常见的二叉树算法题目,对于掌握二叉树相关算法非常重要。
二叉式检索表

二叉搜索树介绍二叉搜索树(Binary Search Tree,BST)是一种基于二叉树的数据结构,它具有以下特性: 1. 左子树上的所有节点的值都小于根节点的值; 2. 右子树上的所有节点的值都大于根节点的值; 3. 左右子树也分别为二叉搜索树。
二叉搜索树在计算机科学中有着广泛的应用,例如在查找、插入和删除操作的时候具有较高的效率。
二叉搜索树的实现二叉搜索树可以使用链式或数组的方式实现。
这里我们以链式方式为例,讨论二叉搜索树的基本操作:插入、查找和删除。
插入节点插入节点是将一个新节点添加到二叉搜索树中的过程。
具体实现方法如下: 1. 若二叉搜索树为空,则直接将新节点作为根节点; 2. 若新节点的值小于当前节点的值,则将新节点与当前节点的左子树进行比较,重复步骤1; 3. 若新节点的值大于当前节点的值,则将新节点与当前节点的右子树进行比较,重复步骤1。
查找节点查找节点是在二叉搜索树中寻找特定节点的过程。
具体实现方法如下: 1. 若当前节点为空,则目标节点不存在; 2. 若目标值等于当前节点的值,则找到目标节点;3. 若目标值小于当前节点的值,则继续在当前节点的左子树中查找,重复步骤1;4. 若目标值大于当前节点的值,则继续在当前节点的右子树中查找,重复步骤1。
删除节点删除节点是从二叉搜索树中移除指定节点的过程。
具体实现方法如下: 1. 若当前节点为空,则目标节点不存在; 2. 若目标值小于当前节点的值,则继续在当前节点的左子树中删除,重复步骤1; 3. 若目标值大于当前节点的值,则继续在当前节点的右子树中删除,重复步骤1; 4. 若目标值等于当前节点的值: - 若当前节点无左右子节点,则直接删除当前节点; - 若当前节点只有一个子节点,则用子节点替换当前节点; - 若当前节点有两个子节点,则找到当前节点的右子树中的最小值节点,将其值赋给当前节点,并在右子树中删除这个最小值节点。
二叉搜索树的优缺点二叉搜索树具有以下优点: - 查找、插入、删除节点的平均时间复杂度都是O(log n),其中 n 是二叉搜索树中的节点数; - 适用于动态数据集,可以随时插入和删除节点。
二叉树基本运算算法的实现

二叉树基本运算算法的实现
二叉树是一种常见的数据结构,基本运算算法包括二叉树的遍历、查找、插入、删除等操作。
下面是这些算法的实现:
1. 二叉树遍历:二叉树遍历有三种方式,分别是前序遍历、中序遍历和后序遍历。
其中,前序遍历先访问根节点,再访问左子树和右子树;中序遍历先访问左子树,再访问根节点和右子树;后序遍历先访问左子树,再访问右子树和根节点。
遍历可以使用递归算法或栈实现。
2. 二叉树查找:二叉树查找可以使用递归算法或循环算法实现。
递归算法通过比较节点值实现查找,如果查找值小于当前节点值,则在左子树中查找,否则在右子树中查找。
循环算法使用二叉树的特性,比较查找值和当前节点值的大小,根据大小关系不断移动到左子树或右子树中进行查找,直到找到目标节点或遍历到叶子节点为止。
3. 二叉树插入:二叉树插入需要先查找到插入位置,然后在该位置插入一个新节点。
插入操作可以使用递归算法或循环算法实现。
4. 二叉树删除:二叉树删除分为三种情况:删除叶子节点、删除只有一个孩子的节点和删除有两个孩子的节点。
删除叶子节点很简单,只需要将其父节点的指针设为NULL即可。
删除只有一个孩子的节点需要将父节点的指针指向该节点的
孩子节点。
删除有两个孩子的节点需要找到该节点的后继节点(或前驱节点),将后继节点的值复制到该节点中,然后删除后继节点。
上述算法的实现需要根据具体的编程语言进行调整和实现。
数据结构_第9章_查找2-二叉树和平衡二叉树

F
PS
C
PR
CL Q
QL SL S SL
10
3
18
2
6 12
6 删除10
3
18
2
4 12
4
15
15
三、二叉排序树的查找分析
1) 二叉排序树上查找某关键字等于给定值的结点过程,其实 就是走了一条从根到该结点的路径。 比较的关键字次数=此结点的层次数; 最多的比较次数=树的深度(或高度),即 log2 n+1
-0 1 24
0 37
0 37
-0 1
需要RL平衡旋转 (绕C先顺后逆)
24
0
-012
13
3573
0
01
37
90
0 53 0 53
0 90
作业
已知如下所示长度为12的表:
(Jan, Feb, Mar, Apr, May, June, July, Aug, Sep, Oct, Nov, Dec)
(1) 试按表中元素的顺序依次插入一棵初始为空的二叉 排序树,画出插入完成之后的二叉排序树,并求其在 等概率的情况下查找成功的平均查找长度。
2) 一棵二叉排序树的平均查找长度为:
n i1
ASL 1
ni Ci
m
其中:
ni 是每层结点个数; Ci 是结点所在层次数; m 为树深。
最坏情况:即插入的n个元素从一开始就有序, ——变成单支树的形态!
此时树的深度为n ; ASL= (n+1)/2 此时查找效率与顺序查找情况相同。
最好情况:即:与折半查找中的判ห้องสมุดไป่ตู้树相同(形态比较均衡) 树的深度为:log 2n +1 ; ASL=log 2(n+1) –1 ;与折半查找相同。
理论基础 —— 查找 —— 平衡二叉树

【概述】二叉排序树的查找效率取决于二叉排序树的形态,而构造一棵形态均匀的二叉排序树与结点的插入次序有关,但结点的插入次序不是随人的意志决定的,这就要求我们找到一种动态平衡的方法,对于任意给定的关键码序列都能构造一科形态均匀、平衡的二叉排序树。
平衡二叉树(Balance Binary Tree)又称 AVL 树,其本质是一种高度平衡的二叉排序树,其或是一棵空的二叉排序树,或是满足以下性质的二叉排序树:根结点的左子树和右子树深度最多相差 1根结点的左子树和右子树也是平衡二叉树平衡因子(Balance Factor),根据平衡二叉树的定义,将某个结点的左子树的深度与右子树的深度之差称为平衡因子(最小不将在平衡二叉树构造过程中,以距离插入结点最近的、且平衡因子绝对值大于 1 的结点为根的子树称为最小不平衡子树(Minimal Unbalance SubTree)【平衡二叉树的构造】构造平衡二叉树的基本思想是:在构造二叉排序树的过程中,每插入一个结点时,首先检查是否因结点插入而破坏了树的平衡性,若是,则找出最小不平衡子树,在保持二叉排序树的特性前提下,调整最小不平衡子树中各结点的位置,进行相应旋转,使其成为新的平衡子树。
设结点 A 为最小平衡树的根结点,对该子树进行平衡调整归纳起来有以下四种情况:1.LL 型当新插入的结点是插在结点的左孩子的左子树上,即为 LL 型。
插在结点 A 的左孩子的左子树设结点 B 是结点 A 的左子树的根结点,Bl、Br 分别为结点 B 的左右子树,Ar 为结点 A 的右子树,且 Bl、Br、Ar 三棵子树的深度均为 h,将结点 x 插入到结点 B 的左子树 Bl 上,导致结点 A 的平衡因子由 1 变为 2,使得以结点 A 为根的子树失去了平衡,如下图:顺时针旋转,旋转后,结点 A 及其右子树 Ar 和结点 B 的右子树 Br 发生冲将支撑点由 A 改为 B,相应的进行顺时针旋转旋转优先原则,结点 A 成为 B 的右孩子结点,结点 B 的右子树 Br 成为结点 A 的左子树,如下图:突,按旋转优先原则2.RR 型的右孩子的右子树上,即为 RR 型。
常见基本数据结构——树,二叉树,二叉查找树,AVL树

常见基本数据结构——树,⼆叉树,⼆叉查找树,AVL树常见数据结构——树处理⼤量的数据时,链表的线性时间太慢了,不宜使⽤。
在树的数据结构中,其⼤部分的运⾏时间平均为O(logN)。
并且通过对树结构的修改,我们能够保证它的最坏情形下上述的时间界。
树的定义有很多种⽅式。
定义树的⾃然的⽅式是递归的⽅式。
⼀棵树是⼀些节点的集合,这个集合可以是空集,若⾮空集,则⼀棵树是由根节点r以及0个或多个⾮空⼦树T1,T2,T3,......,Tk组成,这些⼦树中每⼀棵的根都有来⾃根r的⼀条有向的边所连接。
从递归的定义中,我们发现⼀棵树是N个节点和N-1条边组成的,每⼀个节点都有⼀条边连接⽗节点,但是根节点除外。
具有相同⽗亲的节点为兄弟,类似的⽅法可以定义祖⽗和孙⼦的关系。
从节点n1到nk的路径定义为节点n1,n2,...,nk的⼀个序列,并且ni是ni+1的⽗亲。
这个路径的长是路径上的边数,即k-1。
每个节点到⾃⼰有⼀条长为0的路径。
⼀棵树从根到叶⼦节点恰好存在⼀条路径。
对于任意的节点ni,ni的深度为从根到ni的唯⼀路径长。
ni的⾼是从ni到⼀⽚叶⼦的最长路径的长。
因此,所有的树叶的⾼度都是0,⼀棵树的⾼等于它的根节点的⾼。
⼀棵树的深度总是等于它最深叶⼦的深度;该深度等于这棵树的⾼度。
树的实现实现树的⼀种⽅法可以是在每⼀个节点除数据外还要有⼀些指针,使得该节点的每⼀个⼉⼦都有⼀个指针指向它。
但是由于每个节点的⼉⼦树可以变化很⼤⽽且事先不知道,故在各个节点建⽴⼦节点的链接是不可⾏的,这样将会浪费⼤量的空间。
实际的做法很简单:将每个节点的所有⼉⼦都放在树节点的链表中。
下⾯是典型的声明:typedef struct TreeNode *PtrToNodestruct TreeNode{ ElementType Element; PtrToNode FirstChild; PtrToNode NextSibling}下⾯是⼉⼦兄弟表⽰法的图⽰:树的遍历及应⽤⼀个常见的使⽤是操作系统中的⽬录结构。
树、二叉树、查找算法总结

树、⼆叉树、查找算法总结树的定义形式化定义树:T={D,R }。
D是包含n个结点的有限集合(n≥0)。
当n=0时为空树,否则关系R满⾜以下条件:l 有且仅有⼀个结点d0∈D,它对于关系R来说没有前驱结点,结点d0称作树的根结点。
l 除根结点外,每个结点有且仅有⼀个前驱结点。
l D中每个结点可以有零个或多个后继结点。
递归定义树是由n(n≥0)个结点组成的有限集合(记为T)。
其中:l 如果n=0,它是⼀棵空树,这是树的特例;l 如果n>0,这n个结点中存在⼀个唯⼀结点作为树的根结点(root),其余结点可分为m (m≥0)个互不相交的有限⼦集T1、T2、…、Tm,⽽每个⼦集本⾝⼜是⼀棵树,称为根结点root的⼦树。
ð 树中所有结点构成⼀种层次关系!树的基本术语度结点的度:⼀个结点的⼦树的个数树的度:各节点的度的最⼤值。
通常将度为m的树成为m次树或m叉树结点分⽀结点:度不为0的结点(也称⾮终端结点)度为1的结点成为单分⽀结点,度为2的结点称为双分⽀结点叶结点:度为0的结点路径与路径长度路径:两个结点di和dj的结点序列(di,di1,di2,…,dj)。
其中<dx,dy>是分⽀。
路径长度:等于路径所通过的结点数⽬减1(即路径上的分⽀数⽬)结点的层次和树⾼度层次:根结点层次为1,它的孩⼦结点层次为2。
以此类推。
树的⾼度(深度):结点中的最⼤层次;有序树和⽆序树有序树:若树中各结点的⼦树是按照⼀定的次序从左向右安排的,且相对次序是不能随意变换的⽆序树:和上⾯相反森林只要把树的根结点删去就成了森林。
反之,只要给n棵独⽴的树加上⼀个结点,并把这n棵树作为该结点的⼦树,则森林就变成了⼀颗树。
树的性质性质1:树中的结点数等于所有结点的度数之和加1。
证明:树的每个分⽀记为⼀个度,度数和=分⽀和,⽽再给根节点加个分⽀性质2:度为m的树中第i层上⾄多有mi-1个结点(i≥1)。
性质3 ⾼度为h的m次树⾄多有个结点。
二叉检索树构造

二叉检索树构造摘要:一、二叉检索树的定义和性质1.二叉检索树的定义2.二叉检索树的性质二、二叉检索树的构造方法1.顺序插入法2.二叉树转化法三、二叉检索树的应用1.查找2.插入3.删除正文:二叉检索树是一种特殊的二叉树,具有以下性质:若左子树不为空,则左子树上所有结点的值均小于根结点的值;若右子树不为空,则右子树上所有结点的值均大于根结点的值;左、右子树也分别为二叉检索树。
基于这些性质,二叉检索树可以用来实现高效的查找、插入和删除操作。
一、二叉检索树的定义和性质1.二叉检索树的定义二叉检索树,又称有序二叉树,是一种特殊的二叉树。
每个结点具有以下性质:若左子树不为空,则左子树上所有结点的值均小于根结点的值;若右子树不为空,则右子树上所有结点的值均大于根结点的值;左、右子树也分别为二叉检索树。
2.二叉检索树的性质二叉检索树具有以下几个基本性质:(1)若左子树不为空,则左子树上所有结点的值均小于根结点的值。
(2)若右子树不为空,则右子树上所有结点的值均大于根结点的值。
(3)左、右子树也分别为二叉检索树。
二、二叉检索树的构造方法1.顺序插入法顺序插入法是构建二叉检索树的最常用方法。
具体步骤如下:(1)将第一个结点插入到空树中,作为根结点。
(2)将后续结点依次插入到树中。
插入过程中,若当前结点的值小于根结点的值,插入到左子树上;若当前结点的值大于根结点的值,插入到右子树上。
(3)重复步骤(2),直到所有结点都插入完毕。
2.二叉树转化法二叉树转化法是一种更高效的构建方法,适用于已经存在一棵二叉树的场合。
具体步骤如下:(1)遍历二叉树,将每个结点的左子结点转化为一个新结点,并将原结点的值赋给新结点。
(2)将新结点插入到原结点的左子树上。
(3)重复步骤(2),直到所有结点都转化完毕。
三、二叉检索树的应用1.查找在二叉检索树中,查找某个结点的过程可以通过遍历树来完成。
具体步骤如下:(1)若要查找的值小于根结点的值,递归地遍历左子树。
最优二叉查找树

最优⼆叉查找树最优⼆叉树也就是哈夫曼树,最优⼆叉树和最优⼆叉查找树是不⼀样的。
我们说⼀下他们的定义最优⼆叉树:给你n个节点,每⼀个节点有⼀个权值wi。
我们设⼀棵树的权值是所有节点的权值乘于每⼀个节点的深度,但是我们可以构造出来许多⼆叉树,我们称构造出来的那个权值最⼩的⼆叉树就是我们找的最优⼆叉树求解最优⼆叉树:(1) 将w1、w2、…,wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有⼀个结点);(2) 在森林中选出两个根结点的权值最⼩的树合并,作为⼀棵新树的左、右⼦树,且新树的根结点权值为其左、右⼦树根结点权值之和;(3)从森林中删除选取的两棵树,并将新树加⼊森林;(4)重复(2)、(3)步,直到森林中只剩⼀棵树为⽌,该树即为所求得的哈夫曼树。
最优⼆叉查找树:给定n个节点的值key,假设x是⼆叉搜索树中的⼀个结点。
如果L是x的左⼦树的⼀个结点,那么L.key ≤ x.key。
如果R是x的右⼦树的⼀个结点,那么R.key ≥ x.key。
使⽤<key1,key2,key3....keyn>表⽰,且我们设定key1<key2<key3<keyn。
对于n个节点都有⼀个访问概率pi,使⽤<p1,p2,p3....pn>表⽰。
还有未找到访问点概率qi,我们使⽤<q0,q1,q2,q3....qn>表⽰。
例如访问到[-∞,key1)的概率是q0,访问到(key1,key2)的概率是q1,,,,访问到(keyn,∞)的概率是qn。
我们设定[-∞,key1)区间为d0,(key1,key2)区间为d1,,,,(keyn,∞)区间是dn。
所以是不会出现对于i,j(1<=i,j<=n)满⾜keyi==keyj的情况出现我们需要把2*n+1个节点放在⼀个⼆叉树上,其中n个节点是keyi,还有n+1个节点di。
最后形成的⼆叉树中叶节点肯定是di。
且∑n i=1pi+∑n i=0qi=1假定⼀次搜索的代价等于访问的结点数,也就是此次搜索找到的结点在⼆叉搜索树中的深度再加1。
二叉排序树的概念

二叉排序树的概念什么是二叉排序树二叉排序树(Binary Search Tree),也称为二叉查找树、二叉搜索树,是一种特殊的二叉树结构。
它具有以下特点:1.每个节点最多有两个子节点;2.左子节点的值小于等于当前节点的值,右子节点的值大于等于当前节点的值;3.每个子树也都是二叉排序树。
这个特点使得二叉排序树可以用于高效地查找、插入和删除节点,是一种常见且重要的数据结构。
二叉排序树的性质二叉排序树具有以下性质:1.左子树中所有节点的值均小于根节点的值;2.右子树中所有节点的值均大于根节点的值;3.左右子树也都是二叉排序树。
由这些性质可以得出,对于一个二叉排序树,进行中序遍历,会得到一个递增的有序序列。
二叉排序树的操作1. 插入节点要插入一个节点到二叉排序树中,需要遵循以下步骤:1.如果树为空,将根节点设置为要插入的节点;2.如果要插入的节点值小于当前节点的值,且当前节点的左子节点为空,则将要插入的节点作为当前节点的左子节点;3.如果要插入的节点值大于等于当前节点的值,且当前节点的右子节点为空,则将要插入的节点作为当前节点的右子节点;4.如果要插入的节点值小于当前节点的值,且当前节点的左子节点不为空,则将当前节点的左子节点作为新的当前节点,重复步骤2;5.如果要插入的节点值大于等于当前节点的值,且当前节点的右子节点不为空,则将当前节点的右子节点作为新的当前节点,重复步骤3。
2. 删除节点要删除二叉排序树中的一个节点,需要遵循以下步骤:1.首先找到要删除的节点,如果节点不存在,则无需删除;2.如果要删除的节点没有子节点,直接删除该节点;3.如果要删除的节点只有一个子节点,将子节点替代要删除的节点;4.如果要删除的节点有两个子节点,需要找到其后继节点或前驱节点来替代它。
通常选择后继节点,即右子树中的最小节点,将后继节点的值替代要删除的节点的值,然后删除后继节点。
3. 查找节点要在二叉排序树中查找一个节点,需要从根节点开始,根据节点的值与目标值的大小关系,递归地搜索左子树或右子树,直到找到目标节点或搜索到空位置为止。
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查找二叉树1,这是用C和C++分别写的查找二叉树,其中包含,插入,删除,查找,遍历2,通过这两种语言分别编写,可以更加深入的认识和区别C和C++之间的细微区别3,树的删除是最难的,所以删除操作C语言使用的是递归删除,主要是在学习的时候,视频中就是使用C语言编写的递归删除,为了更进一步了解树的删除,所以自己在C++写时,采用的是非递归删除。
4,虽然这种树的实现是相对容易的,但学会了还是会产生无比的乐趣的。
5,因为这种树的插入有相对简单,所以插入并不是递归的方式。
6,在编写过程中,发现了C没有bool类。
7,代码的注释非常清楚,可以帮助初学者更好的理解树。
//Bitree.h文件内容(C语言)#ifndef bitree_h#define bitree_hstruct Node //结点{int data; //数据域struct Node *pzuo; //左子树struct Node *pthe; //右子树};int Bitree_Insert(struct Node **phead,int x);//插入数据x,在插入的过程中建立树void Bitreez_printf(struct Node *phead); //中序遍历树结点,递归void Bitreex_printf(struct Node *phead); //先序遍历树结点,递归void Bitreeh_printf(struct Node *phead); //后序遍历树结点,递归int Bitree_Search(struct Node *phead,int x);//查找数据x,并返回x的深度(0表示查找失败)。
void Bitree_dep(struct Node **phead); //递归式删除int Bitree_delete(struct Node **phead,int x);//删除数据为x的结点,删除失败返回0#endif//实现文件内容(C语言)#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include "Bitree.h"int Bitree_Insert(struct Node **phead,int x)//插入数据x,在插入的过程中建立树{struct Node *p,*Before=NULL,*pn; //创建三个零时指针,Before为要查找结点的前一个结点p=*phead; //p保存首指针地址,首指针要通过一个指针的指针发送进来。
while(p!=NULL) //查找要插入的数据是否存在,如果存在就返回0{Before=p; //保存要查找的结点前一个结点地址if(p->data==x)return 0; //如果有相同的数据就返回0,表示插入失败else if(x<p->data)p=p->pzuo; //如果查找的数据小于结点数据就跳至结点左边继续查找 elsep=p->pthe; //如果查找的数据大于结点数据就跳至结点右边继续查找}pn=(struct Node *)malloc(sizeof(struct Node));if(!pn) //插入位置查找成功就分配结点exit(-1); //结点内存分配失败就终止进程pn->data=x; //将数据保存至结点中,并初始结点指针域pn->pthe=NULL;pn->pzuo=NULL;if(Before==NULL) //如果前向结点指针为空,表示树为空*phead=pn; //如果树为空就建立树else if(x<Before->data)Before->pzuo=pn; //如果数据小于结点数据就插入到结点左边elseBefore->pthe=pn; //如果数据大于结点数据就插入到结点右边return 1; //并返回1,表示插入成功}void Bitreez_printf(struct Node *phead) //中序遍历树结点{if(phead!=NULL) //如果树不为空就遍历{ //中序遍历是先访问左结点再访问根结点最后访问右结点Bitreez_printf(phead->pzuo);printf("%4d",phead->data);Bitreez_printf(phead->pthe);}}void Bitreex_printf(struct Node *phead) //先序遍历树结点{if(phead!=NULL){ //先序遍历是先访问根结点再访问左结点最后访问右结点printf("%4d",phead->data);Bitreex_printf(phead->pzuo);Bitreex_printf(phead->pthe);}void Bitreeh_printf(struct Node *phead) //后序遍历树结点{if(phead!=NULL){ //后序遍历是先访问左结点再访问右结点最后再访问根结点Bitreeh_printf(phead->pzuo);Bitreeh_printf(phead->pthe);printf("%4d",phead->data);}}int Bitree_Search(struct Node *phead,int x)//查找数据x,并返回x的深度(0表示查找失败)。
{struct Node *p=phead;int m=1; //记录比较次数while(p!=NULL){ //如果树不为空就进行查找if(p->data==x)return m; //如果查找成功就返回比较的次数else if(x<p->data){ //如果数据小于结点就跳至左结点继续找p=p->pzuo;m++; //并记录查找的次数}else if(x>p->data){ //如果数据大于结点就跳至右结点继续找p=p->pthe;m++; //并记录查找的次数}}return 0; //如果查找失败就返回0}void Bitree_dep(struct Node **phead) //删除结点函数{struct Node *lin,*pl,*pn;if((*phead)->pthe==NULL){ //如果要删除的结点的右子树为空,就将左子树结点代替要要删除结点 lin=*phead;*phead=(*phead)->pzuo;free(lin);}else if((*phead)->pzuo==NULL){ //如果要删除的结点的左子树为空,就将右子树结点代替要要删除结点 lin=*phead;*phead=(*phead)->pthe;free(lin);}else{ //如果左右子树不为空,就将要删除的结点的左子树代替要删除的结点pn=(*phead)->pthe;while(pl->pthe!=NULL){ //查找将要代替被删除结点的最右子树pl=pl->pthe;}pl->pthe=pn; //将被删除结点的右子树挂至代替结点的最右子树lin=*phead; //删除结点*phead=(*phead)->pzuo;free(lin);}}int Bitree_delete(struct Node **phead,int x)//删除数据为x的结点,删除失败返回0(递归式) {if((*phead)!=NULL) //如果树不为空,就查找x所在的结点{if((*phead)->data==x)Bitree_dep(phead);//查找成功就删除else if(x<(*phead)->data)Bitree_delete(&(*phead)->pzuo,x);else //左右子树的查找采用递归方式。
Bitree_delete(&(*phead)->pthe,x);return 1;}return 0;}//Bitree.h文件内容(C++语言)#ifndef Bitree_h#define Bitree_hstruct Node //二叉树结点{int data; //数据域struct Node * pleft; //左子树struct Node * pright; //右子树};class Bitree //二叉查找树类{public:Bitree(); //初始数据成员~Bitree() //释放树{delete phead;}int Search(int x); //查找数据x,失败返回0,成功返回x的深度 void Traversal_x(); //先序遍历void Traversal_z(); //中序遍历void Traversal_h(); //后序遍历int Number(); //返回树结点的数量bool Delete(int x); //删除x指定的数据,非递归式private:void Traversal_inx(struct Node * p); //先序遍历,递归式void Traversal_inz(struct Node * p); //中序遍历,递归式 void Traversal_inh(struct Node * p); //后序遍历,递归式struct Node *phead; //树根int lon; //树结点个数};#endif//实现文件内容(C++语言)#include <iostream>#include "Bitree.h"using namespace std;Bitree::Bitree() //初始数据成员{phead=NULL;lon=0;}bool Bitree::Insert(int x) //插入数据x{struct Node *p,*pbefore=NULL,*pnode;p=phead;while(p!=NULL) //查找数据{pbefore=p; //记录要插入数据的前一个结点if(p->data==x) //如果要插入的数据已存在return false; //就返回失败,表示不能插入相同的数据else if(x<p->data)//如果要插入的数据小于当前结点数据p=p->pleft; //就将指针指向结点的左子树查找elsep=p->pright; //否则就将指针指向结点的右子树查找}pnode=new struct Node; //插入位置查找成功就分配结点if(!pnode) //如果结点内存分配失败,就返回失败return false;pnode->data=x; //将要插入的数据保存至结点数据域中pnode->pleft=NULL; //将左右子树初始为空pnode->pright=NULL;if(pbefore==NULL) //如果树为空,就将新分配的结点,定义为根phead=pnode;else if(x<pbefore->data) //如果插入的数据小于当前结点数据pbefore->pleft=pnode; //就将新分配的结点,挂至左子树elsepbefore->pright=pnode;//否则就将新分配的结点,挂至右子树lon++; //并增加结点的个数return true; //返回插入成功}int Bitree::Search(int x) //查找数据x,失败返回0,成功返回x的深度{struct Node *p;int sum=1; //记录结点的深度p=phead;while(p!=NULL) //查找数据为x的结点{if(p->data==x) //查找成功就返回结点的深度return sum;else if(x<p->data)//如果要插入的数据小于当前结点数据{p=p->pleft; //就将指针指向左子树,继续查找sum++; //并增加深度}else{p=p->pright;//否则就将指针指向右子树,继续查找sum++; //并增加深度}}return 0; //树为空或查找的数据不存在就返回失败}void Bitree::Traversal_x() //先序遍历,公有函数{Bitree::Traversal_inx(phead);}void Bitree::Traversal_z() //中序遍历,公有函数{Bitree::Traversal_inz(phead);}void Bitree::Traversal_h() //后序遍历,公有函数{Bitree::Traversal_inh(phead);}int Bitree::Number() //返回树结点的数量return lon;}void Bitree::Traversal_inx(struct Node * p) //内部先序遍历,私有函数{if(p!=NULL){ //先访问根,再访问左子树,再访问右子树cout<<p->data<<" ";Traversal_inx(p->pleft);Traversal_inx(p->pright);}}void Bitree::Traversal_inz(struct Node * p) //内部中序遍历,私有函数{if(p!=NULL){ //先访问左子树,再访问根,再访问右子树Traversal_inz(p->pleft);cout<<p->data<<" ";Traversal_inz(p->pright);}}void Bitree::Traversal_inh(struct Node * p) //内部后序遍历,私有函数{if(p!=NULL){ //先访问左子树,再访问右子树,再访问根Traversal_inh(p->pleft);Traversal_inh(p->pright);cout<<p->data<<" ";}}bool Bitree::Delete(int x) //删除x指定的数据,非递归式(经过几次优化后的函数){ //pbefore为要删除的结点的前一个结点,并初始为空。