计算方法 14 欧拉公式-常微分方程.

所得到点列的散点图，是一条近似欧拉折线。
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隐式欧拉公式
在 xn1 处的导数 y( xn1 ) ，可以近似表示成差商
y ( xn 1 ) y ( x n ) h 用 yn 代替 y( xn ) ，yn1 代替 y( xn1 ) ，可将初值 yn 1 yn 问题离散化成为 f ( xn1 , yn1 ) h (2) 即 yn1 yn hf ( xn1 , yn1 ) y( xn1 )
理论上就可以保证初值问题的解 y=y(x) 存在并
且唯一。
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显式欧拉公式
在 xn 处的导数 y( xn ) 可以近似地表示成差商
y ( xn 1 ) y ( x n ) y ( x n 1 ) y ( x n ) y( xn ) xn 1 x n h
yn1 yn hf ( xn , yn ) yn1 yn hf ( xn1 , yn1 ) (n 0,1, ) (n 0,1, ) (1) (2)
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欧拉公式
隐式公式不能直接求解，需采用迭代法求解。用
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改进的欧拉公式
可以不难看到，梯形公式虽然提高了精度，但其
算法复杂，在应用迭代公式进行实际计算时，每
迭代一次，都要重新计算函数 f(x,y) 的值，而迭
代又要反复进行若干次，计算量很大。为了控制 计算量，通常只迭代一次就转入下一步的计算， 这样就简化了算法。
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改进的欧拉公式
具体的说，先用显式欧拉公式求得 yn1 的近似
值 yn1 ，称这个值为预报值，预报值的精度可能
较差，再将该预报值代入梯形公式，求得 yn1 ，
称这个值为校正值，校正值的精度会有所提高， 如此建立的计算公式称为改进的欧拉公式。
yn1 yn hf ( xn , yn ) h yn1 yn f xn , yn f xn1 , yn1 2
h yn f x n , yn f x n 1 , y n 1 2
并将式中的 y( xn ) 用 yn 代替，y( xn1 ) 用 yn1 代替
可导出 yn1 称此公式为梯形公式。容易看出，梯形公式实际 是显式和隐式欧拉公式的算术平均。
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显式欧拉公式几何意义
解曲线 欧拉节点 欧拉折线 近似欧拉节点 近似欧拉折线
P2 P1 x1 x2 x3 x4 P4 P3
P0 x0
在显式欧拉公式中，除了y0 y( x0 ) 外，有 yn y( xn )
和 f ( xn , yn ) y( xn )。因此，用显式欧拉公式计算
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梯形公式
对方程 y f ( x, y) 从 xn 到 yn 积分，得
y( xn1 ) y( xn )
xn1 xn
f t , y(t ) dt
利用数值积分中的梯形公式

xn1 xn
h f t , y( t ) dt f xn , y( xn ) f xn 1 , y ( x n 1 ) 2
显式欧拉公式提供迭代初值，其迭代公式为：
(0) y n1 yn hf ( xn , yn ) ( k 0,1, ) ( k 1) ( k 1) yn1 yn hf ( xn1 , yn1 ) ( k 1) (k ) y y = h f ( x , y ) f ( x , y 因为 n1 n1 n 1 n 1 n 1 n 1 )
以上公式称为隐式欧拉公式。
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4百度文库
欧拉公式
公式 (1) 和 (2) 均为欧拉公式，但有本质的区
别。式 (1) 是关于 yn1 的一个可直接进行的计算
公式，这类公式称作显式的；而式 (2) 的右端含
有未知的 yn1 ，它实际上是一个关于 yn1 的计算 方程，这类公式称作隐式的。


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改进的欧拉公式
在实际计算中，通常将改进欧拉公式表述称以下
用 yn 近似地代替 y( xn ) ，可将初值问题离散化成
yn 1 yn 为 f ( x n , yn ) h 即 yn1 yn hf ( xn , yn )
( n 0,1, )
(1)
以上公式称为显式欧拉公式。 为了不引起混淆 y( xn )表示解 y y( x ) 在 xn 处 的精确值，而 yn 表示其近似值。
(k ) hL yn1 yn 1
这里，L 是 f(x,y) 关于 y 的利普希茨常数，如果
选取 h 充分小，使得 hL<1，则当 k 时，有
( k 1) yn 1 yn1 ，这说明以上迭代公式是收敛的。
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2016/2017 学年
第一学期（16周）
欧拉公式 – 常微分方程
微分方程数值解法
在科学与工程技术领域中，常需要求解常微分方
程的定解问题。这类问题的最简单形式，是一阶
常微分方程的初值问题。
y f ( x, y) y ( x 0 ) y0
我们知道，只要右端函数 f(x,y) 适当光滑，如关 于 y 满足利普希茨条件 f ( x , y ) f ( x , y ) L y y