幂级数求和问题的几种转化

幂级数求和问题的几种转化

数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业

【摘要】本文通过具体例子，介绍了幂级数求和的若干种转化和方法，例如其中的代数方程法， 、微分方程法等．同时对幂级数求和的化归途径进行了分析和实践，探讨了利用化归思想求幂级数和函数的几种方法．

【关键词】幂级数；和函数；微分；化归思想

The power series summation of several transformation

Major in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer

Science

[Abstract] This article through a concrete example, introduces the power series summation of several kinds of transformation and methods, such as one of the algebraic equation method, and differential equation method, etc. Meanwhile to the power series summation of change to approach is analyzed and practiced, this paper has discussed the use of be thought for the power series and the function of several methods.

[Key words] power series; And functions; Differential;Change be thought

1.引言

幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题,因此是有必要对这类问题进行研究和探讨．求解幂级数的和函数时,我们通常用幂级数的有关运算，综合运用求导，求积分，拼凑，分解等技巧来解决．也可以利用幂级数的有关性质求解．

本文把幂级数求和和化归思想联系在一起，介绍了化归思想在幂级数求和中的应用．

2.预备知识

2.1 幂级数

定义[1] 由幂级数列{0()n n a x x -}所产生的函数项级数

20

0102000

()

()()...()...n

n n

n n a x x a a x x a x x a x x ∞

=-=+-+-++-+∑， （1）

它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它可以看做是多项式函

数的延伸，幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用他表示函数方面，使我们对它的作用有许多新的认识．

把（1）中的0x x -换成x 就得到了

20120

......n

n n n n a x

a a x a x a x ∞

==+++++∑ （2）

2.2 幂级数的收敛区间和收敛半径

首先讨论幂级数（2）的收敛性问题．显然任意一个幂级数（2）在0x =处总是收敛的．我们有以下定理

若幂级数（2）在0x x -

=≠收敛，则对满足不等式x

x

-

<的任何x ，幂级数（2）收敛而

且绝对收敛；幂级数（2）在_

x x =时发散，则对满足不等式x x

-

>的任何x ，幂级数（2）发

散．以下给出证明

证：设级数

n

n

n a

x ∞

-

=∑收敛，从而数列{n

n a x -}收敛于零且有界，即存在某正数M ，使得

n

n a x M -< （n=0,1,2，…）．

另一方面对任意一个满足不等式x

x

-

<的x ，设1x r x

-

=

<，

则有.

n

n

n

n n n n n n n

x x a x a x a x

Mr x

x

-

--

-==<．

由于级数

n

n Mr

∞

=∑收敛，故幂级数（2）当x x -

<时绝对收敛．

现在证明定理的第二部分．设幂级数（2）在x x -

=时发散，如果存在某一个0x ，它满足不等式x x -

>，且使级数

n

n n a x

∞

=∑收敛．则由定理第一部分知道，幂级数（2）应在x x

-

=时绝对收敛，这与假设相矛盾，所以对一切满足不等式x x -

>的x ，幂级数（2）都发散． 则可以知道幂级数（2）的收敛域是以原点为中心的区间，若以2R 表示区间的长度，

则称R 为幂级数的收敛半径．事实上，它就是使得幂级数（2）收敛的那些收敛点的绝对值的上确界．所以

当0R =时，幂级数（2）仅在0x =处收敛；

当R =+∞时，幂级数（2）在)(

,-∞+∞上收敛；

当0R <<+∞时，幂级数（2）在(),R R -内收敛；对一切满足不等式x R >的x ，幂级数（2）都发散；至于x R =±，（2）可能收敛也可能发散．

我们称(),R R -为幂级数（2）的收敛区间．

2.3 化归思想

化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略．所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法．作为数学的一种基本思想，化归思想解题的过程实际上就是转化的过程．它无处不在，比如将未知向已知转化、复杂问题向简单问题转化、命题间的转化、数与形的转化、空间向平面的转化、高次向低次的转化、多元向少元的转化、无限向有限的转化等都是化归思想的体现．

我们在将级数求和问题化归为微分方程求解问题时，对级数的逐项求导是我们实现化归的方法，化归的关键就在于如何正确的实现转化[4]．

3.幂级数求和的几种转化和方法

3.1 裂项组合法

在求幂级数的和函数时，对已知级数的通项拆项组合，使其为若干个已知和函数的幂级数的代数和，从而得到所求幂级数的和函数．

例1 求30

(1)(1)!n n

n n x n ∞

=-+∑的和函数()f x ．

解：易知该级数的收敛区域为(,)-∞+∞． 当0x =时，()0f x =．

当0x ≠时，()()()2

1

22

22

21()2(2)!!(1)!n n

n n n n x x x x f x x x n n x n -+∞∞

∞===---=-+++-+∑∑∑

． 因为01!

x

n

n e x n ∞

==

∑ (,)x ∈-∞+∞， 于是2

1

()(1)2

x

x f x e x x -=++-

， 故20()1(1)2x f x x x e x -⎧⎪

=⎨++-⎪⎩

（0x = 则()0f x =，0x ≠则为另外一个）

．