第21讲 直角三角形与勾股定理

第21讲 │ 考点随堂练
1.已知x、y为正数，且│x2－4│＋(y2－3)2＝0，如果以x、y的长为 直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长 的正方形的面积为( C ) A．5 B．25 C．7 D．15
[解析] 由│x2－4│＋(y2－3)2＝0得，x2－4＝0，y2－3＝0， 即x2＝4，y2＝3.设斜边长为c，则c2＝3＋4＝7，故正方形的面 积为7.
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考点2 直角三角形的判定方法
直角 互余
c2
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5.[2010· 湛江]下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( C A．1,2,3 B．2,3,4 C．3,4,5 D．4,5,6
[解析] 因为32＋42＝52.
)
6．三角形的三边长为a、b、c，且满足(a＋b)2＝c2＋2ab， 则这个三角形是( C ) A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
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2．如图21－1，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a， b，c的大小关系是( C ) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
图21－1
[解析] 根据勾股定理，b＝AC＝ 32＋42 ＝5，a＝BC＝ 12＋42＝ 17，c＝AB＝4.因为5> 17>4，所以c<a<b.
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又∵∠BDC＝∠CEB＝90° ，AO＝AO. ∴△ADO≌△AEO(HL)． ∴∠DAO＝∠EAO. ∴点 O 在∠BAC 的角平分线上．
要证明三角形是等腰三角形：(1)需证明三角形的两边相 等；(2)证明有两个角相等，等角对等边．
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类型之三 等腰三角形的多解问题
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类型之四 等边三角形的判定与性质
[2011· 绍兴] 数学课上，李老师出示了如下题目． 在等边三角形 ABC 中， E 在 AB 上， D 在 CB 的延长线上， 点 点 且 ED＝EC，如图 21－3.试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明
理由．
图 21－3
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论
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[解析] (1)利用△BDC≌△CEB，证明∠DCB＝∠EBC. (2)连接 AO，通过 HL 证明△ADO≌△AEO，从而得到∠DAO＝ ∠EAO，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论． 证明：(1)∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∵BD、CE 是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90° . 又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)． ∴∠DCB＝∠EBC，∴AB＝AC. ∴△ABC 是等腰三角形． (2)点 O 在∠BAC 的角平分线上．连接 AO. ∵△BDC≌△CEB，∴BD＝CE.
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类型之一 等腰三角形的性质的运用
命题角度： 1．等腰三角形的性质 2．等腰三角形“三线合一”的性质 3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质 [2011· 株洲] 如图 21－1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36° ， AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC. (1)求∠ECD 的度数；
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当点 E 为 AB 的中点时，如图 21－4①，确定线段 AE 与 DB 的大 小关系，请你直接写出结论：
＝ AE________DB(填“>”“<”或“＝”)．
① 图 21－4
②
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(2)特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE________DB(填“>”“<” ＝ 或“＝”)．理由如下：如图 21－4②，过点 E 作 EF∥BC，交 AC 于点 F. (请你完成以下解答过程) (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上， 且 ED＝EC.若△ABC 的边长为 1，AE＝2，求 CD 的长(请你直接写出 结果)．
命题角度： 1．对等腰三角形的腰分类讨论 2．对等腰三角形的底角分类讨论 3．对等腰三角形的高分类讨论 [2010· 楚雄] 已知等腰三角形的一个内角为 70° ，则另外两 个内角的度数是( C ) A．55° ，55° C．55° ，55° 70° 或 ，40° B．70° ，40° D．以上都不对
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∵FE∥BC， ∴∠AEF＝∠AFE＝60° ＝∠BAC， ∴△AEF 是正三角形，∠EFC＝180° －∠ACB＝120° ＝∠ABD. ∴△EFC≌△DBE， ∴DB＝EF， 而由△AEF 是正三角形可得 EF＝AE. ∴AE＝DB. (3)1 或 3.
[解析] 由(a＋b)2＝c2＋2ab得，a2＋b2＝c2，所以三角形为直 角三角形．
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7．五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25，现将它们摆成两 个直角三角形，其中正确的是( C )
A
B 图21－4
C
D
[解析] 用勾股定理的逆定理去验证.242＋72＝252,152＋202＝252.
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3．[2010· 钦州]如图21－2是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为 DE，则BE的长为( B ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
图21－2
[解析] 由勾股定理得AB＝10 cm，将△ABC折叠，使点B与点 A重合，则BE＝AE＝5 cm.
第21讲 │ 直角三角形与勾股定理
第21讲 直角三角形与勾股定理
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考点1 直角三角形的定义及其性质
直角 定义 有一个角是_______的三角形． 互余 ①两锐角_______；②勾股定理：若直角三角形两直角 a2＋b2＝c2 边为a、b，斜边为c，则有____________； ③直角三角形中有一锐角是30° ，那么它所对的直角边 性质 一半 等于斜边的________；④直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 ____________.
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(2)若 CE＝5，求 BC 长．
图 21－1
[解析] (1)利用AC的垂直平分线交AB于E和等边对等角求解．
(2)证明△BEC是等腰三角形．
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解：(1)解法一：∵DE 垂直平分 AC， ∴CE＝AE，∠ECD＝∠A＝36° . 解法二：∵DE 垂直平分 AC， ∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝90° . 又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE， ∠ECD＝∠A＝36° . (2)解法一：∵AB＝AC，∠A＝36° ， ∴∠B＝∠ACB＝72° . ∵∠ECD＝36° ， ∴∠BCE＝∠ACB－∠ECD＝36° ，
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4．[2010· 重庆]已知：如图21－3，在Rt△ABC中，∠C＝90° ， AC＝ 3 .点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60° ，求 △ABC的周长．(结果保留根号)
图21－3
1 AD，设CD 2 ＝x，则AD＝2x，由勾股定理，(2x)2＝x2＋( 3 )2，解得x＝1， AD＝2，则BD＝4，所以BC＝5，根据勾股定理，AB＝ 52＋ 32＝2 7，所以△ABC的周长为2 7＋5＋ 3. 解： 因为∠ADC＝60° ，则∠DAC＝30° ，则CD＝
ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，
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∴∠BED＝∠FCE， ∴△DBE≌△EFC， ∴DB＝EF， ∴AE＝BD. 方法二：在等边三角形 ABC 中， ∠ABC＝∠ACB＝60° ，∠ABD＝120° . ∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED，∠ACB＝∠ECB＋∠ACE， ED＝EC， ∴∠EDB＝∠ECB， ∴∠BED＝∠ACE. ∵FE∥BC，
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等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于 60°的结 论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．
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方法一：如图，等边三角形 ABC 中， ∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
AB＝BC＝AC.
∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC， ∴△AEF 是等边三角形， ∴AE＝AF＝EF， ∴AB－AE＝AC－AF，即 BE＝CF. 又∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°， ∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，
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8．如图21－5，已知四边形ABCD中，∠B＝90° ，AB＝3，BC ＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
图21－5
解： 连接AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25, ∴AC＝5.在△ACD中，∵AC2＋CD2＝52＋122＝169，而AD2＝132＝ 169，∴AC2＋CD2＝AD2，∴∠ACD＝90° 四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD .故S 1 1 1 1 ＝ AB· BC＋ AC· CD＝ ×3×4＋ ×5×12＝6＋30＝36. 2 2 2 2
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类型之二 等腰三角形判定
命题角度： 等腰三角形的判定 [2011· 扬州] 已知：如图 21－2，锐角△ABC 的两条高 BD、 CE 相交于点 O，且 OB＝OC. (1)求证：△ABC 是等腰三角形； (2)判断点 O 是否在∠BAC 的角平分 线上，并说明理由．
图21－2
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∠BEC＝72° ＝∠B，∴BC＝EC＝5. 解法二：∵AB＝AC，∠A＝36° ， ∴∠B＝∠ACB＝72° ， ∴∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72° ， ∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5.
1． 利用线段的垂直平分线进行等线段转换， 进而进行角度转换． 2． 在同一个三角形中， 等角对等边与等边对等角进行互相转换．
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[解析] 此内角可能为等腰三角形的顶角或底角，当70°为顶 角时，另外两角为55°，55°；当70°为底角时，另外两角为70°， 40°.
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遇到等腰三角形的问题时， 注意边有腰与底之分， 角有底角和 顶角之分； 遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况． 分类 讨论和方程的思想是解决等腰三角形双解问题的两大法宝． 画出图 形，数形结合是解这类题目的基本方法．在解这些题目时，同学们 要特别小心，考虑一定全面，进行分类讨论，不要漏解．