我国的数学家刘徽用割圆术来求圆周长的近似值
刘徽割圆术的赏识与改进建议
刘徽割圆术的赏识与改进建议一、数学文化理念割圆术是由魏晋时期的数学家刘徽首创，所谓“割圆术”是用圆内接正多边形的面积（周长）去无限逼近圆的面积（周长），并以此求取圆周率的方法。
凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,求得的圆周率的近似值徽率（3.14）.刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明。
祖冲之（429-500）在刘徽“割圆术”的基础上，首次将“圆周率”精确到小数第七位，领先世界一千年。
这是中国古代数学家的骄傲，也反映了中国古代数学家的聪明才智和钻研精神。
（1）哲学是一切自然科学和社会科学的概括和总结，数学中充满了辩证法，数学学习需要用马克思主义哲学来指导。
要想深入探索刘徽割圆术，唯有2件武器，那就是马克思辩证思想和数学中的“清晰的直觉”和“严格的演绎”。
刘徽割圆术蕴含着丰富的马克思辩证统一思想，数列极限的学习中不光要学习知识，更重要的是提升辨证思维能力。
直与曲的统一：直与曲是两个完全不同的概念，二者的差别是明显的。
刘徽开创“割圆术”来计算圆周率，以圆内接正多边形的周长去逼近圆的周长，这种方法包含的由直线向曲线转化（以直代曲）和用近似值向精确值逼近的思想，在当时条件下是难能可贵的。
常量与变量的统一：常量与变量是数学中的两个基本概念，这两种量的意义有着严格的区分，但它们又是相互依存，相互渗透，依据一定条件相互转化。
圆的周长（面积）是一个常量，这个常量的计算并非轻而易举，它是通过逐次增加边数的内接正多边形的周长（变量）来实现的，即常量是变量的逼近的极限过程。
有限与无限的统一：有限与无限存在着本质的区别．然而两者之间并非存在不可逾越的鸿沟，而是在一定条件下可以相互转化，正是这种转化使得无限在数学世界中显示威力。
刘徽割圆正是体现有限与无限对立统一思想的例子，在无限的过程中得到了圆的面积或周长。
量变与质变的统一：刘徽割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”，内接正多边形的边数越来越多时，它与圆周偏差就会越来越小。
数学史上圆周率的成就
数学史上圆周率的成就
（一）阿基米德。
古希腊大数学家阿基米德开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。
（二）刘徽。
公元年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率。
（三）祖冲之。
他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.和3.之间。
圆周率（pi）是圆的周长与直径的比值，用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。
π也等于圆形之面积与半径平方之比，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。
在分析学里，π可以严格地定义为满足sinx=0的最小正实数x。
圆周率用希腊字母π则表示，就是一个常数（等同于3.），就是代表圆周短和直径的比值。
它就是一个无理数，即为无穷不循环小数。
在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率回去展开近似计算。
而用十位小数3.便不足以应付排序。
即使就是工程师或物理学家必须展开较高精度的排序，充其量也只需值域至小数点后几百个位。
苏教版小学数学五年级下册期末阶段质量调研卷(一)(含答案)
苏教版小学数学五年级下册期末阶段质量调研卷（一）姓名：班级：题号一二三四五总分得分一、填空题（27分）1．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
当x＝20时,4x＋10( )100；当x＝0.2时,3.5x( )6。
2．我国魏晋时期数学家刘徽采用( )来求圆周长的近似值,南北朝时科学家( )使用刘徽的方法求出圆周率在3.1415926到3.1415927之间。
3．在直线上面的□里填上合适的分数。
4．在括号里填上适当的分数。
45秒＝( )时 2升150毫升＝( )升。
5．把一根3米长的绳子对折3次,每段占3米的( ),其中的第3段长( )米。
6．五（3）班男生占全班人数的47,女生占全班人数的( ),男生占女生人数的( )。
7．用300千克黄豆榨油39千克,平均1千克黄豆可以榨油( )千克,榨1千克油需要( )千克黄豆。
8．一个最简真分数,它的分子与分母的积是36,这个最简真分数可能是( )或( )。
9．一个钟表的时针长5厘米,一昼夜时针针尖走过的距离是( )厘米,时针扫过的面积是( )平方厘米。
10．把一个圆剪拼成一个近似的长方形（如图）,这个圆的周长是( )厘米,面积是( )平方厘米。
11．小明每周看a本书,小华比小明每周多看2本,他们俩人两周一共看了( )本书,当a＝4时,他们共看了( )本。
12．从一个正方形中剪一个最大的圆,圆的面积是125.6平方厘米,剩下部分的面积是( )平方厘米。
13．如下图,圆的面积与长方形的面积是相等的。
长方形的周长是24.84厘米,圆的面积是( )平方厘米。
14．小杰在做一壶冷水加热的实验时,记录了水温变化的情况,并制成了统计图（如图）。
根据统计图填空。
（1）给水加热前,水的温度是( )℃。
（2）水温从26℃上升到90℃,用了( )分钟,从90℃上升到100℃用了( )分钟。
（3）如果继续加热5分钟,水温大约是( )℃。
二、选择题（20分）15．a、b都是不为0的自然数,且a÷8＝b。
中国十大古代数学家的故事
中国十大古代数学家的故事祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人．他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家．祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算．秦汉以前，人们以"径一周三"做为圆周率，这就是"古率"．后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少，意见不一．直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆内接96边形，求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确．祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间．并得出了π分数形式的近似值，取为约率，取为密率，其中取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数．祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查．若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲之计算得出的密率，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了．为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率"．祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》，开辟了历法史的新纪元．祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算．他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异．"意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理"．数学家的故事——苏步青苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。
5升6奥数拓展：圆的综合-数学六年级上册人教版
5升6奥数拓展：圆的综合-数学六年级上册人教版一、选择题1．有不少数学家都对圆周率做出过研究，中国数学家刘徽在注释《九章算术》（263年）时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。
虽然电子计算机的出现，使π值计算一直到小数点后5万亿位。
即使我们已经知道π是一个（）数，但在工程测量、数学解题过π≈，也产生了圆周率日（3月14日）。
程中，大部分都取前两位数，就是 3.14A．无限小数B．有限小数C．循环小数D．较大数2．把一张半径为8厘米的圆形纸片剪成两个半圆，两个半圆的周长和比原来圆的周长增加了（）厘米。
A．16B．32C．64D．03．用一条长100cm的铁丝围成下面四种图形，面积最大的是（）。
A．圆B．正方形C．长方形D．三角形4．在正方形内画一个最大的圆，圆与正方形的面积比为（）。
A．π∶4B．2∶πC．4∶π5．一只挂钟的时针长1dm，从上午9时到下午3时，时针尖端所走的路程是（）dm。
A．1.57B．3.14C．6.28D．5.146．观察下图的正方形、圆形、正六边形，下面的想法错误的是（）。
A．圆周长是正方形周长与正六边形周长和的一半B．正方形周长是圆直径的4倍C．圆周长比直径的3倍多，比圆的直径4倍少二、填空题( )平方厘米，一个三角形的面积是( )平方厘米。
9．如图，阴影部分的面积可列式为( )。
10．下图中，线段AD的长度是70厘米，三个圆的直径之比是4∶1∶2，那么，这三个圆的周长之和是( )厘米。
11．大圆的半径等于小圆的直径，大圆与小圆的面积之和是80平方厘米，那么大圆的面积是( )平方厘米。
12．如图，把一个圆平均分成若干份，再拼成一个近似的长方形。
这个长方形的长与宽的比是( )；如果这个长方形的长是9.42厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米。
13．如下图，将圆周12等分，那么A点在O点的( )方向，距离( )千米。
14．剧院进行升级改造，把周长是50.24m的圆形大舞台的半径增加2m，升级改造后的舞台面积是( )m2。
割圆法求圆周率公式
割圆法求圆周率公式（原创版4篇）目录（篇1）1.割圆法求圆周率的原理2.割圆法求圆周率的公式推导3.割圆法求圆周率的实际应用4.割圆法求圆周率的误差分析正文（篇1）一、割圆法求圆周率的原理割圆法是古代数学家刘徽提出的一种求圆周率的近似值的方法。
该方法的基本思想是通过不断分割圆的周长，将其转化为多边形的周长，从而得到圆的周长。
这种方法可以有效地降低计算难度，提高计算精度。
二、割圆法求圆周率的公式推导割圆法求圆周率的公式为：π = 4a / b，其中a为圆的半径，b为多边形的边长。
当多边形的边数无限增多时，其周长趋近于圆的周长，因此可以近似认为π等于多边形周长与半径的比值，即π = a / b。
三、割圆法求圆周率的实际应用割圆法求圆周率的方法在古代被广泛应用，尤其是在算筹时代。
刘徽利用这种方法计算出了圆周率的前七位数字，为数学发展做出了重要贡献。
在现代，割圆法也广泛应用于测量领域，例如地球半径的测定等。
四、割圆法求圆周率的误差分析割圆法虽然可以快速地得到圆周率的近似值，但在实践中仍然存在一定的误差。
随着计算精度的提高，割圆法的局限性逐渐显现。
例如，当多边形的边数增多时，计算量也会随之增加，导致计算效率降低。
目录（篇2）1.割圆法求圆周率的原理2.割圆法求圆周率的公式推导3.割圆法求圆周率的实际应用4.割圆法求圆周率的误差分析正文（篇2）一、割圆法求圆周率的原理割圆法是古代数学家刘徽提出的一种求圆周率的近似值的方法。
该方法的基本思想是通过不断分割圆的周长，将其转化为多边形的周长，从而得到圆的周长。
这种方法可以有效地降低计算难度，提高计算精度。
二、割圆法求圆周率的公式推导割圆法求圆周率的公式为：π = 4a / b，其中a为圆的半径，b为多边形的边长。
当多边形的边数无限增多时，其周长趋近于圆的周长，因此π的值也趋近于圆的周率。
三、割圆法求圆周率的实际应用割圆法求圆周率的方法在古代和现代都有着广泛的应用。
古代数学家刘微的故事
古代数学家刘微的故事数学家刘徽的故事13刘徽是魏晋时期出名的数学家，他在数学上有着极大的成就，在数学界中占据着极其重要的位置。
他在非常简陋的环境中，冥思苦想，提出了一个又一个令人兴奋的理论。
接下来，让我们来看一看与刘徽有关的故事吧。
刘徽是中国古代历史上，乃至世界知名的数学家，他通过自己不断地讨论，在非常简陋的.环境下，提出了“割圆术”，进而得出了更精确地圆周率。
这在当时是一个非常宏大的发觉，也使中国对圆周率的计算在世界上始终处于领先的地位。
刘徽在他的著作中，提出了割圆术的理论，可以利用它来计算圆周率。
《九章算术》中提到“周三径一”，这句话的意思就是说圆周率的近似值为三。
但是，刘徽认为这个数字太笼统，不够精确，所以指出这个数字不能作为圆周率。
后来，在一次偶然的大事中，刘徽发觉圆内接多边形的边数增加得越多，那么多边形的周长就与圆的周长越来越接近，这也就是割圆术的由来了。
利用割圆术，刘徽从圆内接正六边形开头切割，然后就是十二边形等始终计算下去，直到计算到九十六边形为止，能够得出的圆周率的近似值是3。
14。
然而刘徽对此并不满足，他后来又连续深化计算，得出了当时世界上最精确的圆周率为3。
1416。
刘徽是一个宏大的数学家，他在数学上的成就对后世数学的进展，形成了非常深远的影响。
拓展：刘徽在海岛算经刘徽是实至名归的世界数学界的泰斗，他利用了各种优秀的理念，使传统数学得到了转变，数学讨论也步上了一个新的台阶。
他留下的数学著作对数学界来说是珍宝一般的存在，《海岛算经》就是其中的一部。
263年，刘徽著作了《九章算术注》，而《海岛算经》就是其中的第十卷。
直到唐朝时，《海岛算经》才开头单独作为一部著作消失。
这部书是中国最早的一部测量学著作，测量的都是与高和距离的问题。
因此，有人说它是三角法的起源，但这其中并未涉及相关的理论和学问点。
这部书一共有九个关于测量计算高远深广的问题，且都是采纳表尺从不同的位置测望，然后取得这些测望值的差距，通过这些差距再来计算山高等距离问题。
2023-2024学年辽宁省沈阳市和平区六年级(上)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年辽宁省沈阳市和平区六年级（上）期末数学试卷一、认真审题，填一填。
（共20分，每空1分）1．（2分）把硬纸片分别做成正方形，正六边形，圆形，椭圆形“车轮”，沿直尺滚动，只有 形“车轮”的中心点痕迹是一条直线，所以车轮应该做成 形的。
2．（2分）魏晋时期，杰出的数学家 采用“割圆术”得到圆周率的近似值是3.14；南北朝时期著名的数学家 第一个把圆周率精确到小数点后面的第七位，这一成就在世界上领先了约1000年。
3．（1分）一个圆形纪念币的半径是2.4cm，它的周长是 cm。
4．（2分） 决定圆的位置， 决定圆的大小．5．（2分）六年一班有男生25人，女生20人。
男生相当于女生人数的 %，女生相当于全班人数的。
6．（1分）在500件产品中，有25件不合格，合格率是 ．7．（5分）“一件商品打七折出售”在这个条件中把 看作单位“1”。
表示 是 的 ，降低了 。
8．（1分）要反映小明家上个月各项支出与他家总支出的关系，可选用 统计图．9．（2分）甲、乙两个圆的半径之比为3：4，两个圆的面积相差70cm2，甲圆面积为 ，乙圆面积为 。
10．（1分）如图小圆的半径是1.5cm，长方形的宽是 。
11．（1分）新年里5个好朋友互相寄一张新年贺卡，一共寄了 张贺卡。
二、仔细推敲，选一选。
（共10分，每题2分）12．（2分）同学们在操场上围成一个圈做“套圈游戏”，小旗放在（ ）比较合适。
A．圆圈的圆心B．圆圈内，除了圆心以外的任意一点C．圆圈上的任意一点D．圆圈外的任意一点13．（2分）圆周率π是一个（ ）A．有限小数B．无限循环小数C．无限不循环小数14．（2分）某学校田径队中有女学员32人，相当于男运动员的，而男运动员中的被选入区田径代表队，被选入区田径代表队的男运动员有（ ）A．12人B．56人C．20人D．21人15．（2分）小玲给下面两个物体拍了四张照片。
如图这四张照片分别是小玲在哪个位置拍摄的？把拍摄位置的正确选项填在括号里（ ）A．③④②①B．②③④①C．③④①②16．（2分）在半径为4cm的圆内剪一个最大的正方形，这个正方形的面积是（ ）cm2。
中国古代数学家对圆周率的贡献
中国古代数学家对圆周率的贡献引言：圆周率是数学中一个重要的常数，它代表着圆的周长与直径的比值。
在中国古代，数学家们对圆周率的研究和计算做出了重要的贡献。
本文将介绍一些中国古代数学家对圆周率的贡献，展示他们在这一领域的独特见解和创新成果。
一、祖冲之的“割圆术”祖冲之（429年-500年）是中国古代数学家中最早研究圆周率的人之一。
他提出了一种被称为“割圆术”的方法来计算圆周率。
他认为，圆可以近似地看作是一个正多边形，通过不断增加这个多边形的边数，就可以逼近圆的周长。
祖冲之利用了正六边形的性质，通过割取圆的六分之一作为一条线段，然后再以这条线段为半径画一个圆，不断重复这个过程来逼近圆的周长。
虽然这种方法并不能得到非常精确的结果，但祖冲之的“割圆术”为后来的数学家提供了宝贵的思路。
二、刘徽的“周率近似值”刘徽（220年-280年）是中国古代数学家中最早提出圆周率近似值的人之一。
他在《九章算术》中提到，圆的周长与直径的比值是3，这是一个相当精确的近似值。
刘徽的这个近似值在古代得到了广泛的应用，被后来的数学家们作为计算圆周率的起点。
三、神农架的“圆周率逼近法”神农架（约262年-316年）是中国古代数学家中最早提出圆周率逼近法的人之一。
他认为，通过在圆内外分别作正多边形，然后计算它们的周长，可以得到更加精确的圆周率近似值。
他的方法在一定程度上改进了祖冲之的“割圆术”，使圆周率的计算更加接近实际值。
四、李淳风的“无穷级数法”李淳风（602年-670年）是中国古代数学家中最早研究无穷级数法计算圆周率的人之一。
他认为，通过不断增加正多边形的边数，可以得到一个无穷的级数，而这个级数的和就是圆的周长。
虽然李淳风没有给出具体的计算方法，但他的这个思路为后来的数学家们提供了重要的理论依据。
五、唐代数学家的发展在唐代，中国的数学家们对圆周率的研究进一步深入。
张丘建（约780年-850年）提出了一种被称为“分割法”的方法，通过将圆分割成多个扇形，然后计算每个扇形的弧长来逼近圆的周长。
微积分简答题答案
微积分简答题答案您的位置：考核练习>> 简答练习 [当前练习：第一阶段基础测验]1、在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是的朴素思想。
问题反馈【教师释疑】、在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是极限的朴素思想。
2、公元3世纪，中国数学家刘徽的，就用圆内接正多边形周长去逼近圆周长这一极限思想来近似地计算圆周率率的问题反馈【教师释疑】所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。
这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。
中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。
但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。
正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。
东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。
这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。
刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。
在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。
这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。
北师大版数学六年级上册《圆周率的历史》同步练习
北师大版数学六年级上册《圆周率的历史》同步练习
一、选择题
1．我国古代数学家祖冲之算出圆周率的值在3.1415926和（）之间．
A．3.1415927 B．3.1415928 C．3.1415929 D.3.1415 2．圆周率表示（）。
A．圆的周长B．圆的面积与直径的倍数关系C．圆的周长与直径的倍数关系D．圆的面积
3．关于圆周率，下面说法错误的是（）．
A.圆周率是一个无限不循环小数
B.圆周率等于3.14
C.圆周率是圆的周长除以直径的商
D.圆周率约等于3.14
4．我国魏晋时期数学家（）创造了用“割圆术”求圆周率的方法。
A．刘微B．阿基米德C．祖冲之D．华罗庚
5．世界上第一个把圆周率的值精确到六位小数的数学家是（）
A．刘徽B．祖冲之C．欧几里德 D.全红婵
二、填空题
1．祖冲之运用刘徽的“割圆术”计算圆周率，算出了上下限：（）＜＜（），并且用分数形式确定了圆周率的近似值，即约率为（）。
2．历史上研究圆周率的数学家有很多．请写出你知道的三位数学家：（），（），（）．
3．圆周率由我国古代数学家（）第一个推算到了小数点后第七位．
4．（）首先建立了可靠的理论来推算圆周率，他所算得的“徽率”是3.14。
三、解决问题。
1．简述刘徽所生活的朝代、代表著作以及在数学上的主要成就。
2．简述圆周率的历史。
3．收集有关圆周率的资料,并回答下列问题．
(1)我国魏晋时期杰出数学家刘徽在研究圆周率方面采用了什么方法?得出了什么结论?
(2)说说祖冲之在探究圆周率方面所取得的成就以及这一成就获得的国际声誉．。
人教版小学四4年级下册数学期末质量检测题(及答案)
人教版小学四4年级下册数学期末质量检测题（及答案）1．甲数比乙数少110，甲数相当于乙数的（ ）。
A ．1110 B ．1011 C ．109 D ．9102．同样长的两条绳子,第一条用去它的59,第二条用去59米,剩下的相比较,( )． A ．第一条长B ．第二条长C ．无法比较哪条长 3．a÷b ＝5（a 、b 都是大于1的自然数），那么a 与b 的最大公因数是（ ）。
A ．aB ．bC ．5 4．49的分子增加12，要使分数大小不变，分母应（ ）。
A ．加上12B ．乘3C ．加上18D ．乘4 5．下面的式子中是方程的是（ ）。
A ．3x 1.9+B ．3m n =C ．x 1.9 2.5+> {}答案}B【解析】【分析】 含有未知数的等式叫作方程，据此解答即可。
【详解】A ．3x 1.9+含有未知数但不是等式；B ．3m n =是方程；C ．x 1.9 2.5+>含有未知数但不是等式；故答案为：B 。
【点睛】明确方程的含义是解答本题的关键。
6．2014个连续自然数的和是（ ）。
A ．奇数B ．偶数C ．可能是奇数，也可能是偶数{}答案}A【解析】根据题意可得，先求出2014个连续自然数中分别有奇数和偶数多少个，奇数个奇数的和，一定是奇数，奇数个偶数的和，一定是偶数，奇数与偶数相加还是奇数，据此分析。
【详解】2014÷2＝1007，即任意2014个连续自然数中，奇数和偶数各有1007个，1007个偶数的和＋1007个奇数的和＝偶数＋奇数＝奇数，所以任意2014个连续自然数的和是奇数。
故答案为：A【点睛】2的倍数叫偶数，不是2的倍数叫奇数，关键是明白奇数和偶数的运算性质。
7．数学家刘徽用“割圆术”求圆周长的近似值。
他从圆内正六边形算起，图中正六边形的周长是直径的（ ）倍。
A ．3.14B ．πC ．3{}答案}C【解析】【分析】 设半径为r 的圆内接正n 边形的周长为L ，圆的直径为d ，则π≈d L ，代入数值即可解决问题。
关于刘徽的割圆术
关于刘徽的割圆术关键词九章算术, 刘徽, 割圆术, 圆周率1 刘徽割圆术的内容刘徽的割圆术, 是刘徽在为《九章算术》第一卷方田中的圆田术所作的注中提出来的[ 1] , 包括如下内容:1) 刘徽首先解释了圆田术求圆面积的方法, 然后指出“周三径一”是不对的, 他说: 以半周乘半径而为圆幂, “此以周径谓至然之数, 非周三径一之率也. 周三者, 从其六觚之环耳, 以推圆规多少之较, 乃弓之与弦也. ”2) 刘徽提出用割圆内接正六边形为正十二边形等步骤, 使圆内接正多边形的面积逐次逼近圆的面积. 进而又指出: “割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣. 觚面之外, 又有余径. 以面乘余径则幂出弧表. 若夫觚之细者, 与圆合体, 则表无余径. 表无余径, 则幂不外出矣. ”3) 刘徽详述了割圆的算法, 例如, 关于割圆内接正六边形为正十二边形, 他说: “令半径一尺为弦, 半面五寸为勾, 为之求股. 以勾幂二十五寸减弦幂, 余七十五寸, 开方除之, 下至秒忽, 又一退法求其微数, 微数无名者以为分子, 以下为分母, 约为五分忽之二, 故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二. 以减半径, 余一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三, 谓之小股, 为之求弦, 其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽, 余分弃之, 开方除之, 即十二觚之一面也. ”4) 刘徽在计算了圆内接正一百九十二边形的面积后, 对圆面积进行了大胆推断, 从而获得了当时世界上最精确的圆周率的值. 他说: “差幂六百二十五分寸之一百五, 以十二觚之幂为率消息, 当取此分寸之三十六以增于一百九十二觚之幂( 即三百一十四寸六百二十五分寸之六十四) , 以为圆幂三百一十四寸二十五分寸之四. ”5) 刘徽验证了自己获得的结果的正确性, 为此, 他继续用割圆术, 直到求出圆内接正三千零七十二边形的面积. 他说: “当求一千五百三十六觚之一面, 得三千七十二觚之幂, 而裁其微分, 数亦宜然, 重其验耳. ”2 刘徽割圆术的历史地位2. 1古希腊已有割圆思想古希腊巧辩学派的学者Ant iphon ( 约公元前五世纪) 提出用边数不断增加的圆内接正多边形来接近圆, 并提出把圆看作是无穷多边的正多边形; 另一个古希腊巧辩学派的学者Br yso n( 约公元前五世纪) 类似地提出用边数不断增加的圆外切正多边形来接近圆; 而古希腊的一位大数学家Eudox us( 约公元前四世纪) 则依据这一思想创立了穷竭法这种著名的获取定理和证明定理的方法.虽然刘徽不是人类历史上第一个提出割圆思想的人, 但是, 他没有简单地重复任何人, 而是独立地、完整地、创造性地提出了割圆术, 和古希腊的数学家们一样, 刘徽的思想同样是辉煌的.2. 2刘徽用割圆术获得了当时世界上最精确的圆周率值古希腊的Ant iphon, Br yso n, Eudo xus 虽然先于刘徽提出割圆思想, 但他们都没有用它去求圆周率的值. 然而, Archimedes[ 3] ( 公元前287～公元前212年) 继承了割圆思想, 并根据圆周长大于圆内接正多边形周长而小于圆外切正多边形周长, 得到圆周率P满足223/ 71 < P< 22/ 7 的结果. 古希腊的Ptolemy[ 2] ( 公元?～168年) 并没有专门研究圆周率的值, 他依据他的定理( Ptolemy 定理) 提出一种特殊的割圆技巧, 求出了各圆心角所对的弦长的六十进制数值, 其中1/ 2度圆心角所对弦长的数值为31′2 5″,相当于求得P的值为P≈377/ 120. 这是刘徽以前有据可考的圆周率的最好结果.我国古代很早就知道“周三径一”误差很大, 需要改进, 不少人在这方面作过工作[ 4] :汉代的刘歆( 约公元前50～公元23年) 所用圆周率的值为P≈3. 1547; 汉代的张衡( 公元78～139年) 所用圆周率的值为P≈3. 1623; 三国的王蕃( 公元219～257年) 所用圆周率的值为P≈3. 1556. 这些P的近似值都不如Archimedes 和Ptolemy 的结果好, 并且都未提供出正确的算法, 缺乏理论根据.而刘徽根据他所提出的割圆术, 运用勾股定理, 设计出一个完整的求圆周率P近似值的算法.设n= 6 ( 术曰: 割六觚以为十二觚) , 又设r= 1, 则有s= 1( 术曰: 置圆径二尺, 半之为一尺, 即六觚之面也) , 算法步骤如下:¹设弦为r , 勾为s/ 2, 求股, 赋予a( 此为小股, 术曰: 令半径为弦, 半面为勾, 为之求股) ;º将r - a 赋予b( 此为余径, 术曰: 觚面之外, 又有余径, 又曰: 以减半径, 谓之小股) ; » 设勾仍为s/ 2, 股为b, 求弦, 赋予s( 实为圆内接正2n 边形的边长, 术曰: 为之求小弦, 即十二( 2n) 觚之一面也) ;¼求S n= nõs 圆周率的近似值( 实为圆内接正2n 边形的半周长, 亦为圆内接正4n 边形的面积, 术曰: 得二十四( 4n) 觚之幂) ;½将2n 赋予向¹ .上述算法为计算出更精确的圆周率值奠定了基础. 刘徽所获得的“圆幂三百一十四寸二十五分寸之四”,即P≈3. 1416, 这是当时世界上最精确的圆周率的值.顺便指出, 祖冲之[ 5] ( 公元429～500年) 研究过刘徽的割圆术, 再加上自己的创造, 他获得了当时世界上最精确的圆周率的值: 3. 1415926 < P< 3. 1415927. 此外, 他还用最佳近似分数给出所谓疏率和密率: P≈22/ 7, 这一结果与Archimedes[ 3] 的上限结果相同; P ≈355/ 113, 这一结果在西方迟至1573年才由Otho 重新获得.2. 3在中国刘徽首次比较准确地描述了极限概念在中国战国时代的著作《庄子》中记录了名家惠施的话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭. ”这段话已经有了极限思想的雏形[ 5] . 但名家所表现出的极限思想是不自觉的、模糊的. 名家的目的仅仅是为了在辩论中强调名词概念的相对性, 因而不可能形成数学上的清晰的极限概念.但是, 刘徽在割圆术中比较准确地描述了极限概念. 他说: “割之弥细, 所失弥少. 割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣. ”这明确地肯定了lim S n= P. 这里S n是圆内接正2n 边形的半周长, 亦为圆内接正4n 边形的面积.他又说: “觚面之外, 又有余径. 以面乘余径则幂出弧表. ”这表明刘徽实际上建立了不等式S 2n< P< S2n+ e n, 其中e n= S2n- S n, 此即刘徽所说的“差幂”.刘徽的这一不等式明显地优于Archimedes 的不等式, 这是因为: 第一, Archimedes 既要用到圆内接正多边形, 也要用到圆外切正多边形, 而刘徽用“差幂”,只需要用圆内接正多边形, 可以减少大约一半运算次数; 第二, 由于S 2n等于圆内接正4n 边形的半周长, 并且容易证明, S2n+ e n小于圆外切正4n 边形的半周长, 因而, 刘徽的这一不等式比Archimedes 的不等式更精确. 刘徽显然和Archimedes 一样, 已经意识到这里存在类似夹逼定理这样的极限性质, 由此既可以推断极限的存在, 还可以确定极限值各数位上的准确的有效数字. 刘徽正是这样做的, 他用圆内接正一千五百三十六边形和圆内接正三千零七十二边形的面积, 依据他的不等式, 验证了他的结果直到第四位小数都是正确的.刘徽接着说: “觚之细者, 与圆合体, 则表无余径, 表无余径, 则幂不外出矣. ”他正是根据这一点, 解释了圆田术求圆面积的方法( 半周半径相乘得积步) . 刘徽的解释方法, 与Eudox us 证明圆面积之比等于半径平方比的穷竭法如出一辙.3 刘徽割圆术的局限性刘徽的极限概念是不彻底的刘徽的割圆术虽然比较准确地描述了极限概念, 而且, 很可能进行了真正的极限运算, 但刘徽的数学素养还不足以完整地描述这个无限的趋向过程. 他采用了“割之又割, 以至于不可割, 则与圆周合体而无失矣”,“觚之细者, 与圆合体, 则表无余径”等绝对的、不准确的言词. 实际上, 刘徽的思想陷入了矛盾之中, 一方面, 他像惠施那样意识到割圆的过程是无限的, 是万世不竭的, 另一方面, 他又竭力回避无限, 不愿意正视无限, 相信总有“不可割”,“表无余径”,“幂不外出”,“与圆周合体而无失”之时. 这就足以说明刘徽的极限概念是不彻底的. 事实上, 我国古代还有不少学者虽具有极限思想的雏形, 但在描述中都毫无例外地不得不采用绝对的、不准确的言词. 极限概念的不彻底, 限制了刘徽对极限概念的挖掘和应用, 也限制了刘徽在数学上的创造性. 纵观刘徽在数学上的工作可以看出, 虽然他在圆周率的计算等方面取得了令世人瞩目的成果, 但是, 刘徽在整个数学史上的地位, 则不可能超过Ar chimedes 等人.参考文献1 刘徽注. 九章算术. 上海: 上海古籍出版社, 19902 Morris Kl ine 著; 张理京, 张锦炎译. 古今数学思想. 上海: 上海科学技术出版社, 19793 How ard Eves . An In tr od uct ion to the His tory of Mathemat ics. New York: Saunders Coll ege Pub lish ing, 19834 李俨. 中算史论丛. 北京: 中国科学院出版, 19545 钱宝琮. 中国数学史. 北京: 科学出版社, 19816 邓建中, 葛仁杰, 程正兴. 计算方法. 西安: 西安交通大学出版社, 19857 王乃信，王树林，西北农业大学学报，1997年8月。
【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题21割圆术(以割圆术为背景的高中数学考题题组训练)原卷版
【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题21 割圆术（以割圆术为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．我国魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”.也就是利用圆的内接多边形逐步逼近圆的方法来近似计算圆的面积.如图O 的半径为1，用圆的内接正六边形近似估计，则O 圆的内接正二十四边形，以此估计，O 的面积近似为（ ）A ．32B ．32C ．3D ．3 2．刘徽的割圆术是建立在圆面积论的基础之上的．他首先论证，将圆分割成多边形，分割越来越细，多边形的边数越多，多边形的面积和圆的面积的差别就越来越小了．如图，阴影部分是圆内接正12边形，现从圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．3πB ．2πCD 3．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方x 确定出来2x =，类似地不难得到16166+=++⋯（ ） A．3B．3CD4．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有+中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值xx 确定出来2x =，类比上述结论可得222log 2log (2log ()[]2)+++的正值为A ．1 BC ．2D ．45．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。
公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内接3072边形的面积，得到的圆周率是39271250.公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355113和约率227。
圆周率的历史
圆周率的历史圆周率，一般以π来表示,是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数.它定义为圆形之周长与直径之比.它也等于圆形之面积与半径平方之比。
是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。
圆周率是一个常数(约等于3.1４15926),是代表圆周长和直径的比例.它是一个无理数,即是一个无限不循环小数。
圆周率在生产实践中应用非常广泛,在科学不很发达的古代，计算圆周率是一件相当复杂和困难的工作。
因此，圆周率的理论和计算在一定程度上反映了一个国家的数学水平。
圆周率π圆的周长与直径之比是个与圆的大小无关的一个常数，人们称之为圆周率。
巴比伦人最早发现了圆周率。
1600年,英国威廉奥托兰特首先使用π表示圆周率,因为π是希腊之“圆周"的第一个字母.170６年，英国的琼斯首先使用π。
173７年，欧拉在其著作中使用，后来被数学家广泛接受,一直沿用至今.π是一个非常重要的常数，一位德国数学家评论道：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的重要标志，古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过值的计算方法。
从埃及到巴比伦到中国一直都在对圆周率的精确值做出研究。
早期的测算中人们使用了很粗糙方法.古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。
或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此,得到圆周率的稍好些的值。
在我国东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器--律嘉量斛.刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。
他得到一些关于圆周率的并不划一的近似值,分别为３.154７，3．1992,3．1498，３。
203１,比径一周三的古率已有所进步。
人类的这种探索的结果,当主要估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其它计算就不合适了。
转图为汉莽新嘉量铭文公元前20０年间古希腊数学家阿基米德首先从理论上给出π值的正确求法。
他专门写了一篇论文《圆的度量》用圆外切与内接多边形的周长以大小两个方向上同时逐步逼近圆的周长，巧妙地求得π.这是第一次在科学中创用上下界来确定近似值，公元前１５0年左右，另一位古希腊数学家托勒密用弦表法（以1的圆心角所对弦长乘以3６０再除以圆的直径）给出了π的近似值3。
中国圆周率的研究历史
中国对圆周率的研究历史非常悠久。
早在东汉末年，数学家刘徽就采用了“割圆术”来计算圆周率，这种方法是通过
不断地将圆切割成更小的多边形来逼近圆的周长，进而得到圆周率的近似值。
这种方法是刘徽的一大创新，也为后来的圆周率研究提供了重要的启示。
在南北朝时期，数学家祖冲之继承了刘徽的研究成果，将圆周率的计算精确到了小数点后七位，这是一个非常高的精度，直到1000多年后才被打破。
祖冲之的研究成果不仅在中国数学史上具有重要的地位，也对全世界的数学研究产生了深远的影响。
除此之外，中国古代数学家们还采用了很多其他的方法来计算圆周率，比如利用勾股定理和开方的方法等。
这些方法都对后来的数学研究产生了积极的影响，也表明了中国古代数学家们的聪明才智和创新精神。
总的来说，中国对圆周率的研究历史悠久，早在东汉末年就开始了。
在后来的南北朝时期，数学家祖冲之将圆周率的计算精确到了小数点后七位，成为了中国数学史上的一个重要里程碑。
同时，中国古代数学家们也采用了多种方法来计算圆周率，展现了他们的智慧和创新精神。
刘徽割圆术的数学原理
刘徽割圆术，又称为“徽割圆术”或“刘徽圆周率计算法”，是中国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出的一种计算圆周率的方法。
这个方法的数学原理涉及到对圆的割线和三角函数的概念。
刘徽的割圆术基于圆周率与圆的直径的关系，即π（圆周率）等于圆的周长与直径的比值。
他提出了一种通过割圆得到近似值的方法，主要涉及到正多边形的内接和外接。
具体步骤如下：
1. 内接正六边形的构造：在圆内作一个正六边形，使其顶点分别位于圆的周上，这个六边形的直径等于圆的直径。
2. 内接正十二边形的构造：在内接正六边形的每个边上取一点，连接这些点，得到一个内接正十二边形。
3. 内接正二十四边形的构造：在内接正十二边形的每个边上再取一点，连接这些点，得到一个内接正二十四边形。
4. 迭代过程：重复上述步骤，每次构造的多边形边数翻倍，从而逐渐逼近圆。
5. 圆周率的逼近：当多边形的边数越来越多时，多边形的周长将逐渐接近圆的周长。
刘徽认为，当多边形的边数非常大时，多边形的周长与圆的周长的比值即为π。
这个方法虽然在原理上是正确的，但是在实际计算中，随着多边形边数的增加，计算的复杂性也增加，所以其实用性相对有限。
现代数学中，我们更常用其他方法如莱布尼茨级数、无穷级数等来计算圆周率π。
数学小故事-圆周率π的计算历程
数学小故事:圆周率π的计算历程圆周率是一个极其驰名的数。
从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。
作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。
仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。
事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。
回顾历史，人类对的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。
的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。
德国数学史家康托说：历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。
直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。
为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。
我们可以将这一计算历程分为几个阶段。
实验时期通过实验对值进行估算，这是计算的的第一阶段。
这种对值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。
在古代世界，实际上长期使用＝3这个数值。
最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为3。
这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。
其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。
在我国刘徽之前圆径一而周三曾广泛流传。
我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆周三径一这一结论。
在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：周三径一，方五斜七，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。
这正反映了早期人们对圆周率和2这两个无理数的粗略估计。
东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。
后人称之为古率。
早期的人们还使用了其它的粗糙方法。
如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。
或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值由此，得到圆周率的稍好些的值。
如古埃及人应用了约四千年的4 (8/9)2= 3.1605。
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我国古代数学家很早就对圆 进行了非常深入的研究。
大约2000多年前，我国古代数 学著作《周髀算经》中就有“周三 经一”的说法；意思是说圆的 周长大约是直径的3倍。
大约1700年前，我国的数学家刘徽用“割圆 术”来求圆周长的近似值。他从圆的内接正六 边形算起，逐渐把边数加倍，正十二边形、 正二十四边形····计算得出圆周率是3.14。 并指出，内接正多边形的边数越多，周长越接 近圆的周长。直到1200年后，西方人才找到类 似的方法。
圆 的 周长
绳测
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绳测
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1
23012 Nhomakorabea3
绳测
滚测
继续
正方形周长是边长的4倍 圆的周长是它直径的？倍
例4：下面是三种不同规格的自行车车轮
一般用车轮的直径来 表示车轮的规格
22英寸
≈56厘米
24英寸
计算例4中3个自行车车轮的周长 大约各是多少厘米？
22英寸
24英寸
≈56厘米 ≈ 61厘米
26英寸
≈ 66厘米
一、求圆的周长 。
10cm
o
o
二、解决实际问题
1. 一个圆形喷水池的直径是12米，它的 周长是多少米？
2. 摩天轮的半径是10米，坐着它转动一 周，大约在空中转过多少米？
二、解决实际问题
3. 有一种汽车车轮的半径是0.3米。它 在路面上前进一周，前进了多少米？
车轮前进一周的米数就是圆的周长
如果车轮每分钟转动180圈，这辆 汽车每分钟大约可行多少米?
本课小结
圆的周长: C=πd C=2πr
１.π =3.14
（）
２.只要知道圆的半径或直径，
就可以求圆的周长。
（）
３.大圆的圆周率大于 小圆的圆周率。
祖冲之算出圆的周长是直径的 3.1415926到3.1415927倍之间，成为 世界上第一个把这个倍数精确到6位 小数的人。他还指出这个倍数可以用
22 （约率）和 355 （密率）来表示。 他7求得密率的时间11，3 至少要比国外科 学家得出这样精确的数值早1000年。
1967年，这个倍数被算到小数点后50 万位，现在这个倍数被推算到2000多亿， 但仍然未算完。后来人们进一步证明了这 个倍数是个固定的数，也是个无限不循环 小数。
≈ 61厘米
26英寸
≈ 66厘米
例4：下面是三种不同规格的自行车车轮, 各车滚轮动滚一动圈一,周哪所一行种路车程轮的行长的就路是程车比轮较的长周? 长。
比较三个车 轮的直径和周长， 你有什么发现？
一个圆的周长总是直径的3倍多一些
拿出课前准备好的大小不同的圆片、利 用手中的工具，你准备怎样量出圆片的周长。
0
1
2
3
测量和计算的结果：
周长/cm 直径/cm 周长除以直径的商 （得数保留两位小数）
通过测量和计算，你发现 圆的周长和直径有什么关系？
实际上任何一个圆的周长除以它直 径的商都是一个固定的数,我们把它叫 做圆周率，用字母π（读pài）表示。 π是一个无限不循环小数。
π=3.141592653 ······
（）
4.半径是5厘米的圆，它的周长
大约是31.4厘米
（）
5.半圆的周长就是这个 圆周长的一半。
（）
旗 台
喷水池
喷水池的直径是10米,要在喷水池周围围上不
锈钢栏杆2圈,求两圈不锈钢总长多少米?
3.14×10×2
＝31.4×2 ＝62.8 (米)
答：两圈不锈钢总长62.8米。