平面线弹性问题的有限元
弹性力学平面问题的有限元法实例
分析与决策
(1)何种类型？
平面问题中的结构问题，且为静力问题；
平面问题中具有对称性，为减少[K]，简化模型取
1/4；
简化后加约束，（1）在ox面上，位移u是对称的，
位移v是反对称的；在oy面上，位移u是反对称的， 位移v是对称的； （2）在ox面上，载荷对称，在oy 面上，载荷对称；
(1)何种类型？
4.5剖分面（续）
以垂线剖分面。依次单击preprocessor-modelingoperate-booleans-divide-area by line，弹出对话框， 选择对话框中的box单选，用窗口选择两个面元素， 后单击apply,在窗口中选L6-ok,完成面元素剖分。 单击plotctrls菜单中的numbering命令，关闭line numbers –ok; 单击plot菜单中的area命令，用面元素显示模型， 剖分的模型如图所示，由2个面变为4个面，面元素 的编号同时发生变化。
Preprocessor-material
props-material models-弹出define material model behavior 对话框-列表框material models available中， 依次单击structural-linear-elastic-isotropic， 添加弹性模量2.1e+11，泊松比0.3-ok;
操作过程
一、建立新文件
二、类型的选择 Structural-ok；
二、前处理
1、添加单元类型 选择：Quad 4node 42(单元库编号)； 具有厚度：选择 option-plane str w/thk(平面应力有厚度)；
2、设置实常数（Real constants）
有限单元法 第3章 弹性力学平面问题的有限元分析
图! ""! 桁架结构的有限元模型
在有限元法中 ! 把单元与 单 元 之 间 设 置 的 相 互 连 接 点 ! 称 为 结 点 # 如图! " " #%! " $$ 一般用号码 #!$!& 进行结 点 编 号 " 结 点 可 为 铰 结 % 固 接 或 其 他 形 式 的 连 接 " 结 点 的 设 置 % 性质及数 目 等 均 视 所 研 究 问 题 的 性 质 % 描 绘 变 形 状 态 的 需 要 和 计 算 精 度 的 要 求 等 而定 " 在有限元法中引进结点概念是至关重要的 " 有了结点 ! 才可将实际连续体看成是仅在 结点处相互连接的单元集合组成的离散型结构 ! 从而可使研究的对象转化成可以使用电子 计算机计算的数学模型 " 由单元 % 结点 % 结点连线构成的集合称为有限元模型 " 它是有限 元分析与计算的对象 "
性和连续性的要求 # 为了使位移模式尽可能地反映物体中的真实位移形态 " 它应满足下列 条件 ’ &位移模式必须能反映单元的刚体位移 # % # % &位移模式必须能反映单元的常量应变 # $ % &位移模式应尽可能地反映位移的连续性 # ! 由于有限元模型中单元之 间 仅 通 过 结 点 连 接 # 但 实 际 上 " 两 个 相 邻 的 单 元 在 整 个 交 界处 % 包括结点 & 都是相互连接 ( 相互作用的 " 所以在有限元分析中 " 选择位移模式时除 了要求单元之间在结点处有共同的结点位移值外 " 还应尽可能反映在单元之间公共交界处 的变形协调 #
第二章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式
第二章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 2.1 引言本章将讨论通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元法列式的基本步骤。
最小位能原理的未知场变量是位移，以结点位移为基本未知量，并以最小位能为基础建立的有限单元位移元。
它是有限元方法中应用最普遍的单元。
对于一个力学或物理问题，在建立其数学模型以后，用有限元方法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。
平面问题三结点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。
我们将以此作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而导出弹性力学问题有限元方法的一般列式。
2.2 弹性力学平面问题的有限元列式2.2.1 单元位移模式及插值函数典型的三结点三角形单元结点编码为i,j,m 。
每个结点有两个位移分量，如图2.2所示。
每个结点的位移可用位移矢量i α表示，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i i v u α ),,(m j i每个单元有6个结点位移分量（称为6个自由度），于是单元结点的位移向量可表示为[]Tm m j j i im j i e v u v u v u =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=ααααe α为单元结点位移列阵。
1．单元的位移模式和广义坐标在有限元方法中单元的位移模式，是指在单元内位移的插值函数，其一般形式采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简单，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。
假设3结点三角形单元位移模式选取一次多项式y x u 321βββ++=y x v 654βββ++= （2.2.1）它的矩阵形式是φβ=u （2.2.2）其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=v u u ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕϕφ00 []y x 1=ϕ[]T 654321βββββββ=由于三个结点也在单元内，满足位移模式，于是得i i i y x u 321βββ++=j j j y x u 321βββ++= （2.2.3） m m m y x u 321βββ++=上式是关于321,,βββ的线性方程组。
9第2章弹性力学平面问题及空间问题有限元
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
101
二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x
弹性力学与有限元分析-第四章 平面问题有限元分析及程序设计
第四章 平面问题有限元分析及程序设计
§4.1 平面问题单元离散 §4.2 平面问题单元位移模式 §4.3 平面问题单元分析 §4.4 平面问题整体分析 §4.5 平面问题有限元程序设计
有限元网格划分的基本原则
• 网格数目 • 网格疏密 • 单元阶次 • 网格质量 • 网格分界面和分界点 • 位移协调性 • 网格布局 • 结点和单元编号 • 网格自动剖分
f
y
面力
f
f y
xy
xy
基本量和方程的矩阵表示
位移
d
u
v
物理方程 简写为
x y
xy
E
1 2
1
0
1
0
0 0
x y
1
xy
2
D
§4.2 单元位移模式
几何方程：
ux
v y
xvuyT
只要知道了单元的位移函数，就可由几何方程求出应变，再由物理 方程就可求出应力。
（1）位移模式必须能够反映单元的刚体位移； （2）位移模式必须能够反映单元的常应变；
必要条件
（3）位移模式尽可能反映位移的连续性；
u12x3y12x5 23y5 23y v4 5x6y46y5 23x5 23x
u0 1
v0 4
5 3
2
刚体平动
刚体转动
充分条件
u
v
u0 v0
y x
作业： P141 6-1
u12x3y N iuiNjujN m um
其中， N i 、N j 、N m 是系数，是 x、 y 的线性函数；
可以求得：
N i a i b ix ciy2A (i, j, m )
平面弹性问题的有限元程序设计
记号 ： ＝ （ ， ｚ ） 为求解 向量 ， （ ， ） 为 右端 向量 ， 其它下波符号类同。Ｋ为一般单元 ， 坐标 系为（ — Ｙ ） ， 为参考单元 ， 坐标系为 （ 一 叼 ） 。由
有限元法取得 了巨大的进展 ， 利用它 已成功地解 决
了一 大批 有重 大意 义 的 问题 ， 很 多通 用 程 序 和 专 用 程 序投 入 了实 际应 用 。 同时 ， 有 限元 法 又是 仍 在 快
第３ ２卷
Ｖ０ １ ． ３ ２
第 ３期
Ｎｏ ． ３
中州大学学报
Ｊ ０ＵＲ ＮＡＬ ＯＦ Ｚ ＨＯＮＧＺ ＨＯＵ ＵＮ Ｉ ＶＥ ＲＳ Ｉ Ｔ Ｙ
２ ０ １ ５年 ６月
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ５
平 面弹 性 问题 的有 限 元 程 序 设 计
任 国彪 ， 冯 美禄
收稿 日期 ： ２ ０ １ ５— ０ ２—１ ５
（ ） ＝ ÷（ ｇ ｒ ａ ｄ ｕ ＋ （ ｇ ｒ ａ ｄ ｕ ） ） ＝
基金项 目： 国家 自然科 学基金 （ １ １ ３ ７ １ ３ ３ １ ）
作者简介 ： 任 国彪（ １ ９ ７ １ 一 ） ， 男， 河南通许 人 ， 博 士， 郑州大学数学与统计 学院副教授 ， 从 事数值 计算和有限元方法研究 。
其中， ａ （ Ｍ ， ） ＝ 』 ｎ Ｚ ｓ （ Ｕ ） ： （ ） ＋
）＝ｆ ｎ 。
等； 从 固体力学扩展到流体力学、 传热学等连续介质
力学领域 。在工程分析中的作用已从分析和校核扩 展到优化设计并和计算机辅助设计技术相结合 。可 以预计 ， 随着现代力学 、 计算数学和计算机科学技术 ２
。。。。。。。一
１
一
第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1
W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
W f Pc f Pv dV f Ps dS
T T T v s
• 1.4 平面问题定义
严格地讲，任何结构都是空间的。对于某些特殊情 况，空间问题可以转化为平面问题。
（1）平面应力问题 满足条件： 1）几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸； 2）载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀 分布，而板平面不受任何外力作用。
1）位移函数 分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布 一般选取多项式（简单而且易求导）
可用于离散的单元： • 三角形单元； • 矩形单元； • 不规则四边形单元。 DOF 节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。 一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。 （1）单元参数只能通过节点传递到相邻单元 （2）单元和节点必须统一编号
2.2 单元分析（位移、应力、应变） 任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程 因此必须建立坐标系，如下图：
1D问题的弹性模量
E杨氏弹性模量
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向 正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材 料横向变形的弹性常数。 若在弹性范围内加载，横向应变εx与纵向应变εy之间存 在下列关系： εx=- νεy 式中ν为材料的一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是 量纲为一的量。 可以这样记忆：空气的泊松比为0，45#钢0.3，水的泊松 比为0.5，中间的可以推出。
• 未知数 应力 6个+应变 6个+位移 3个=15个 • 方程个数 平衡方程 3个+几何方程6个+物理方程6个=15个 原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量 但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的。 目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移 分量为基本未知量。位移-应变-应力，应力和外力平衡
有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.3程序设计,2.4矩形单元,2.5六节点三角形单元)
2.3 平面问题有限元程序设计一、程序设计方法与结构分析程序的特点1．程序设计方法论简述借助计算机来完成某项工作，通常都要先编写相应的计算机程序，或叫程序设计。
完成一个结构分析或结构CAD系统也必然要经过程序设计才能实现。
程序设计要使用专门的程序语言。
我国结构程序设计中所采用的语言，在60年代和70年代初以ALGOL语言为主。
此后逐步广泛使用的主要是BASIC语言和FORTRAN语言，随着CAD 和人工智能技术的发展，PASCAL、 C、LISP、 PROLOG等有着各自特长的程序语言也逐步进入土木工程领域的计算机程序设计中。
过去人们通常认为，程序设计的中心问题就是学会使用一种程序语言，用以编写程序。
然而学会用程序语言编程只是整个程序设计中的一部分。
据有关资料介绍，编写程序在整个系统的研制过程中仅占15％的工作量。
在一个大型程序系统的整个存在阶段的工作量中，在系统投入使用后的维护工作量为原来研制工作量总和的两倍（这一点在作者所从事的软件开发工作中也得到充分的证明）。
维护工作量是如此之高，这就使我们必须注意到，在程序研制阶段便即应当考虑为以后的维护工作提供方便，哪怕是为此要增加一些额外的工作量也是值得的。
要编制一个好的程序系统并没有一种绝对的规则，就象是工程设计没有一种绝对规则一样。
但对于程序设计的好坏现在已逐渐形成了一套评价的客观标准。
这些标准大致分为以下几个主要方面：(1) 程序的可读性;(2) 正确性与可靠性;(3) 使用方便且效率高;(4) 软件的可移置性;(5) 易于调试与维护。
直到1970年代中期人们才认识到软件的维护是软件研究的一个关键领域。
造成软件维护工作量大的原因之一是与程序研制过程中所采用的设计方法不够科学化有关。
为了解决这一问题，人们开展了对于程序设计方法论的研究与实践，其目标是使软件正确、可靠和降低整个软件研制活动的费用。
总的来说，程序设计已从强调灵活的技巧和局部效率向着强调程序结构化和整体功能的方向发展。
平面弹性力学有限元源程序(FORTRAN)
平面弹性力学有限元源程序（FORTRAN）说明：1 基本控制参数信息：NG,NE,MC,NX,NB,EO,VO,DENSITY ,T(共计5个整形数，4个实型数)NG：结构的结点总数；NE：结构的单元总数；MC：平面问题的类型，MC=0，为平面应力，MC=1，为平面应变；NX：荷载工况数；NB：支承位移数；EO：材料弹性模量(Pa)；VO：材料泊松比； DENSITY ：容重(N/m3) T ：材料厚度(m)；2 打印输出控制参数：NW A,NEW,NWK,NWP(4个整形数) 等于1时，输出，否则不输出。
3 单元结点信息：(K,(IJK(I,K),I=1,3),K=1,NE) (每行4个整形数，共计NE行) K：单元号； IJK(1,K)：K单元I结点编号； IJK(2,K)：K单元J结点编号； IJK(3,K)：K单元K结点编号；4 结点坐标信息：((K,XY(1,K),XY(2,K)),K=1,NG)(每行3个整形数，共计NG行) K：结点号 XY(1,K)：K结点X坐标； XY(2,K)：K结点Y坐标；5 支承信息：((K,MB(1,K),MB(2,K),ZB(K)),K=1,NB)(每行3个整形数，1个实型数，共计NB行) K：支承位移序号； MB(1,K)：第K个支承位移所在的结点号； MB(2,K)：第K个支承位移的坐标方向； ZB(K)：第K个支承位移的数值；6 按NX荷载工况数输入荷载信息：每一荷载工况如下 :(1) NF,NP,NM(3个整型数) NF：集中荷载个数； NP：分布荷载个数； NM：计自重单元数；(2) 若NF≠0，则输入下面数据 K,MF(1,K),MF(2,K),ZF(K)(每行3个整形数，1个实型数，共计NF行) K：集中荷载序号；MF(1,K)：第K个集中荷载作用的结点号；MF(2,K)：第K个集中荷载的坐标方向；ZF(K)：第K个集中荷载的数值；(3) 若NP≠0，则输入下面数据 K,MP(1,K),MP(2,K),ZP(K)(每行3个整形数，1个实型数，共计NP行) K：分布荷载序号；MP(1,K)：第K个分布荷载作用的结点号；MP(2,K)：第K个分布荷载的坐标方向；ZP(K)：第K个分布荷载的数值；(4) 若NM≠0，则输入下面数据若NM≥NE，则表示计所有单元的自重，不需输入计自重的单元号；若NM<NE，则需要输入计自重的单元号；$DEBUGPROGRAM PLANEIMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z),INTEGER(I-N)ALLOCATABLE::IJK(:,:),XY(:,:),BCA(:,:),SK(:,:),STR(:,:),MB(:,:),ZB(:),B(:)ALLOCATABLE::DELD(:,:,:),TOD(:,:),DELST(:,:,:),TOST(:,:),DELSUP(:,:),TOTSUP(:) DIMENSION EK(6,6)CHARACTER PN*40,FN*12WRITE(*,'(A)') ' 本程序为计算平面问题的有限元程序'WRITE(*,'(A)') ' 特点：(1)采用三结点三角形单元；'WRITE(*,'(A)') ' (2)采用等带宽存贮技术；'WRITE(*,'(A)') ' (3)采用高斯消元法解线性方程组。
第二部分 平面杆系结构的线弹性有限元法
§3 平面杆系结构的线弹性有限元法§3.1 概论在有限元法中，可以采用位移法，也可以采用力法或混合法。
其中提出最早并且应用最广的是位移法。
对于平面杆系结构来说，位移法实际上就是结构力学中的矩阵位移法（也称刚度法），在计算时以结点位移作为基本未知量。
杆系结构的矩阵分析实际上就是有限元法。
其基本思路是：先把结构离散成有限个数目的单元，然后再考虑某些条件，将这些离散的单元重新组合在一起进行分析计算。
这样使一个复杂的计算问题转化为简单的单元分析和集合问题。
根据这个思路，杆系结构的有限元法可分为两大步骤：（1）单元分析。
研究单元的受力与变形之间的关系；（2）整体分析。
研究如何将这些离散的单元重新组合得到与实际问题相符合的（如边界条件、外界荷载等等）的计算模型—整体刚度方程。
在有限元中，一般采用矩阵形式进行分析求解，因为矩阵运算不仅使公式非常紧骤，而且形式统一，易于编程，适合在电子计算机上进行自动求解。
因此，在有限元法的一般格式中，应尽量采用矩阵形式进行运算。
§3.2 局部坐标系下的单元刚度矩阵1 单元的划分。
在杆系结构的有限元法中，一般将由相同材料、具有相同横截面的一根杆件（即等截面直杆）当成一个单元，整个结构就是由有限个杆件单元组成的集合体。
杆件单元具有2个结点，即首结点和末结点，但一般是先确定结点的位置，结点一旦确定，则结点之间的单元也就确定了。
在进行杆系结构的单元划分时，应注意如下事项：○1结点位置的确定。
结点一般选在杆件的如下位置：杆件的转折点、杆件汇交点、支承点、截面或材料的突变点，这些点都是结构的构造点，有时为了使结构只承受结点荷载，在集中荷载的作用处也设置一个结点。
○2结点的编号。
为了使集合以后的总刚的带宽最小，一般应遵循尽量使相关结点（有单元相连的结点）编号差值的最大值最小的原则进行。
2 单元刚度矩阵考虑一等截面的平面梁单元，单元首末结点分别为j i ,，单元长为l ，单元抗弯刚度为EI ，E 为材料的弹性模量，I 是截面的抗弯惯矩，取x 轴为沿梁单元中心轴，y 轴与x 轴成90o，如图1所示。
有限元2-弹性力学平面问题(24矩形单元,25六节点三角形单元)
u 1 1 2 3 4 u 2 1 2 3 4
u 3 1 2 3 4
u 4 1 2 3 4
有限单元法
土木工程学院
P-9/44
解方程组便可求得待定常数。将这些参数代回式 （2-4-4），经整理得：
(1,1)
有限单元法
土木工程学院
P-6/44
二、结点位移列阵和结点力列阵
每个结点2个位移分量，共８个位移分量， 设结点位移和结点力列阵分别为：
d u v u v u v u v
e
2 4 2 e T F X Y X Y X Y X Y 1 1 2 2 3 3 4 4 2 4 3
有限单元法
土木工程学院
P-18/44
第2章 弹性力学平面问题有限单元法
2.1 三角形单元 2.2 三角形单元中几个问题的讨论 2.3 平面问题有限元程序设计 2.4 矩形单元 2.5 六结点三角形单元 2.6 四结点四边形单元 2.7 八结点曲线四边形等参元 2.8 几个问题的补充
有限单元法
土木工程学院
3
1
2
(1 ,1 )
(1,1)
有限单元法
土木工程学院
P-11/44
如果引进参数: ξ0=ξiξ, η0=ηiη(i=1, 2, 3, 4), (ξi, ηi)是矩形单元4个结点的局部坐标。结点i(ξi, ηi)的 坐标值分别是 (-1,-1), (1,-1),(1,1), (-1,-1)。代入 上式，则可将上式简记成：
Ai Li A
Lj Aj A
Am Lm A
i
m
Aj
第2章 弹性力学平面问题有限单元法(1-3节)
第二章 弹性力学平面问题有限单元法§2-1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。
一、结点位移和结点力列阵设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。
在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1)二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。
即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。
构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。
以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。
在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)123u u x y x y ααα==++546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m j i m ed d d d m j j i v u v u v u i {}ii j j m X Y X (2-1-1)Y X Y iej m m F F F F ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)确定。
将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程:123i i i u x y ααα=++123j j j u x y ααα=++ (a)123m m m u x y ααα=++和546i i i v x y ααα=++546j j j v x y ααα=++ (b)546m m m v x y ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :11A Aα=22A Aα=33A Aα=式中行列式:1i i i j j j m m m u x y A u x y u x y =2111i i j j m mu y A u y u y =3111i i j jm mx u A x u x u =2111i i j j m mAx y A x y x y ==A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出:11()2m m i ij j a u a u a u A α=++ 21()2m m i ij j bu b u b u A α=++ （C ）31()2m mi i j j c u c u c u A α=++式中:m m i j j a x y x y =- m m j i i a x y x y =- m i j j i a x y x y =-m i j b y y =- m j i b y y =- m i j b y y =- （d ）m i j c x x =- m j i c x x =- m j i c x x =-为了书写方便，可将上式记为:m m i j i a x y x y =-m ij by y =- (,,)i j mm i jc x x =-(,,)i j m表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。
有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.6四结点四边形等参元,2.7八结点曲线四边形等参元,2.8问题补充)
存在的。换句话说，为了使上述等参元能保持较好的精度，整体坐标系下所划分的任意四边形单元必须是
凸四边形，即任意内角都不能大于180°。四边形也不能太歪斜，否则会影响其精度。
利用雅可比的逆矩阵，即可求出整体坐标系下形函数的偏导数：
⎧∂Ni ⎫
⎧∂Ni ⎫
⎪ ⎪ ⎨
∂x
⎪
⎪
⎪ ⎬
=
[J
]−1
⎪ ⎨
∂ξ
⎪ ⎪ ⎬
i=i,j,m,p
为了实现上述结点坐标之间的变换，可利用母元的形函数，得出(ξ,η)和(x,y)之间的坐标变换式。
图形变换具有如下性质: 1. 母元中的坐标线对应于等参元的直线； 2. 四结点正方形母元对应于四个结点可以任意布置的直边四边形等参元； 3. 变换式(2-6-1)能保证相邻等参元的边界位移彼此协调。
《有限元》讲义
2.6 四结点四边形单元
(The four-node quadrilateral element)
前面介绍了四结点的矩形单元 其位移函数:
U = α1 + α 2 x + α3 y + α 4 xy V = α5 + α 6 x + α 7 y + α8 xy
为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化， 比常应力三角形单元精度高。但它对边界要求严格。本 节介绍的四结点四边形等参元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。
对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性 的（因边界不与x,y轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协 调元），而使收敛性受到影响。可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体 坐标中的四边形（图a）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。
第3章 弹性平面问题有限元法-载荷移置
上 海工程技术大学
第七节 整体分析 总体刚度矩阵
2. 总体刚度矩阵形成 3 已知节点载荷： [FL ] [0
FL1 y
FL2 x
FL2 y
F3④x FF3③xL5Fy 3②x F3①x
FL3x 0 0 FL4 y FL5x
FLF5 Ly 2]yT
FFLL11yy
有
限 节点1：
元
分 节点2：
析
与 节点3：
FLmx F L jy
FLiy
P
f Px
j
FLjx
元
[FL ]e [FLix FLiy FLjx FLjy FLmx FLmy ]T
i FLix
分 析
[ ]e [ui
vi
u
j
v
j
um
vm ]T
x
与 [d ] [u v ]T
应 [ ]eT [FL ]e [d ]T [ fP ] [ ]eT [N ]T [ fP ]
有
限
元
分 析
第六节 载荷移置
与
应
用
上 海工程技术大学
第六节 载荷移置
1. 静力等效原则
有
刚体静力等效原则: 使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩 也相同。
限 变形体静力等效原则: 在任意虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等。
元
分
刚体静力等效原则只从运动效应来考虑，得出移置荷载不是唯
析 一的解；变形体的静力等效原则考虑了变形效应，在一定的位移模
y FL4 y
4
FL5 y
5
④
FL 5 x
FL1 y
1
③
3
①
弹性力学第6章：用有限元法解平面问题(徐芝纶第五版)
Ni (ai bi x ci y) / 2A。 (i, j, m)
第六章 用有限单元法解平面问题
应变
应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：
ε ( u v v u )T x y x y
ui
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
vi
cm bm
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi (Fix Fiy T
－－单元对结点的 作用力，与 Fi 数值 相同,方向相反，作 用于结点。
Fiy vi
Fix i
ui
Fiy
y v j Fjy i
Fix
j
uj
F jx
vm Fmy
um
m Fmx
o
x
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2 有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离 散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的 考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计 算方法，其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析； 3.整体分析。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 1.有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
第五章弹性力学平面问题的有限单元法解析
(1) 平面应变问题： 如图柱形管道和长柱形坝体，具有如下特点：a纵向尺寸远大 于横向尺寸，且各横截面尺寸都相同；b 载荷和约束沿纵向不变， 因此可以认为，沿纵向的位移分量 等于零。
一悬臂梁的力学模型简化和单元划分如图： 在确立了力学模型的基础上，再把原来连续的弹性体离散化， 分为有限个单元，这些单元可以是三结点三角形、四结点任意四边 形、八结点曲边四边形等等。单元之间只在结点处相联结。平面问 题的结点为铰结点。完成单元划分以后，需要对所有单元按次序编 号，就得到了有限元的计算模型。
A
S
U
(
A
*
xx
*
yy
xy
* xy
)
t
dx
dy
上面三个积分的意义为：
W 中的第一个积分表示全部体积力作的虚功；第二个积分表示
自由边界S 上的表面力作的虚功。U 中的积分为
dU
(
x
* x
y
* y
xy
* xy
)
t
dx
dy
它表示单面体四个侧面上的应力在虚应变上作的虚功。
1 力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构的强度与刚度问题，首先要从工 程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件，约束 条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能反映实际情况，使简化 后的弹性力学问题的解答与实际相近，但也不要带来运算上的过分 复杂。 在力学模型简化过程中，必须明确以下几点 ①判断实际结构的问题类型，是 二维问题还是三维 问题；对于 平面问题，是平面应变 问题还是平面应力 问题。 ②结构是否对称 。如果是对称的，要充分利用对称条件，以简 化计算。 ③简化的力学模型必是静定 的或超静定的。
弹性力学平面问题的有限元法
用于描述四节点四边形单元内任意一点的位移和 应力状态。
刚度矩阵
由四节点四边形单元的形状函数和弹性力学基本 公式构建，用于描述单元的刚度特性。
平面六面体八节点单元
六面体八节点单元
是一种三维有限元单元， 具有六个面和八个节点。
形状函数
用于描述六面体八节点 单元内任意一点的位移 和应力状态。
刚度矩阵
对复杂问题的处理能力有限
对于一些高度非线性或耦合问题，有限元法可能难以获得准确解，需要采用其他数值方法 或实验手段。
对高维问题的处理难度较大
随着问题维度的增加，有限元法的计算量和内存消耗会急剧增加，限制了其在高维问题中 的应用。
未来发展方向与挑战
高效算法设计
研究更高效的有限元算法，提高计算速度和精度，降低计算成本。
载荷向量的确定
根据边界条件和外力分布，确定每个节点的载荷 向量。
3
系统刚度矩阵与总载荷向量
将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组合起来，形 成系统刚度矩阵和总载荷向量。
求解线性方程组
线性方程组的求解
利用数值方法（如Gauss消去法、迭代法等）求解由 系统刚度矩阵和总载荷向量构成的线性方程组。
解的收敛性与稳定性
02 弹性力学基本方程
应力和应变的关系
01
02
03
胡克定律
在弹性范围内，应力与应 变之间存在线性关系，即 应力与应变成正比。
应变分量
描述物体变形的量，包括 线应变和角应变。
应力分量
描述物体内部受力情况的 量，包括正应力和剪切应 力。
平衡方程
静力平衡
物体在无外力作用下保持静止状态， 即合力为零。
弹性力学平面问题的有限元法
弹性力学平面问题有限元法
度之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和
z
C
τ zx +
∂τ zx dz ∂z ∂τ yz σx ∂τ xz dy τ yz + τ xz + dx ∂y ∂x fz τxy τyx ∂σ y fy fx σy + dy ∂τ xy τxz σy ∂y τ xy + dx ∂τ yx ∂x ∂σ x τ yx + dy σx + dx ∂y ∂x τ B
yz
σz +
∂σz dz ∂z ∂τ zy dz τ zy + ∂z
P
τzy
τzx
A
σz
o
y
x
正六面单元体的取法
经过物体内任一点如P 经过物体内任一点如P点取出一个微小的正六面 体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别 为： PA = ∆x, PB = ∆y, PC = ∆z。将每个面上的应力分 解为一个正应力和两个切应力。 解为一个正应力和两个切应力。正应力用 σ 表 表示。 示，切应力用 τ 表示。 应力下标的含意： 应力下标的含意：
物理方程的表达形式
以应力表示应变
以应变表示应力
τxy 1 εx = σx −v(σy +σz ) γ xy = E G τ yz 1 ε y = σy − v(σx +σz γ yz = E G τxz 1 εz = σz −v(σx +σy ) γ xz = E G
σx =λθ +2Gεx τxy =Gγxy σy =λθ +2Gεy τyz =Gγ yz σz =λθ +2Gεz τxz =Gγxz
θ = εx + ε y + εz
弹性力学平面问题2
i
ui
j
uj
o
x
（1）
单元及其位移表示
为待定常数
ui = a1 + a2xi + a3 yi vi = a4 + a5xi + a6 yi
（2）
位移(1)在结点上有： 位移 在结点上有： 在结点上有
uj = a1 + a2xj + a3 yj vj = a4 + a5xj + a6 yj uk = a1 + a2xm + a3 ym vm = a4 + a5xm + a6 ym
Ω SσΒιβλιοθήκη 对于平面问题：{ε * }T {σ }dxdy = ∫∫ {u * }T { f }dxdy + ∫ {u * }{ f }dS ∫∫
Ω Ω Sσ
相容位移：即为满足位移边界条件的位移。 相容位移：即为满足位移边界条件的位移。
最小势能原理 在一切可能位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取最小值； 在一切可能位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取最小值；反 使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。 之,使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。
弹性力学平面问题的有限元法
一 弹性力学的基本方程 二 弹性力学的变分原理 三 平面问题的三角形单元 四 平面问题的四边形等参单元
一 弹性力学基本方程
1、基本物理量
位移
{u} = {u( x, y, z), v( x, y, z), w( x, y, z )}
ui (i = 1, 2,3)
张量表示： 张量表示：
, ci =
1 xm ym
1 xj 1 xm
有限元法基础-3弹性力学问题有限元法
插值函数－－线性完备的多项式
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
1 u φ 0 v 0 φ u = 6
φ [1, x, y]
i 为待定系数，称为广义坐标
ai x j ym xm y j bi y j ym ci x j xm
1 xi yi yj ym
1 (ci vi c j v j cm vm ) 2A
1 ui 1 2 1 uj 2A 1 um
1 xi 1 3 1 xj 2A 1 xm
1 yj (bi ui b j u j bmum ) 2A ym
16
有限元法基础
3.1 弹性力学平面问题的有限元格式
单元等效节点载荷列阵
e T T e e Q6 1 N 63 F31 tdxdy e N 63 T31 tdS QF QT e S
1）均质等厚单元质量
0 F g
Qix N Qi i e 0 Qiy
function）.
位移插值函数的矩阵表示为
Ni u Nq 0
e
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 T ui , vi , u j , v j , um , vm Nm
6
有限元法基础
3.1 弹性力学平面问题的有限元格式 形函数的性质
（1） Ni ( x j , y j ) ij
矩阵表达式
1 p (u) ( TCε F T u)tdxdy T T u tdS 2 S
应用到离散系统
1 p ep ( TCε F T u)tdxdy e T T u tdS S e e e 2 1 T T q eT TCB tdxdy q e q eT N F tdxdy N T tdS e e e S 2 e e
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x
性 问
为
dx N (x)dx EA
x
du ( x) dx
题 的
x N (x)dx
u(x) 0 EA
有 N(x) q(L x)
x
q EA
(L
x)
限 元
u(x)
x q(L x) dx
q
(2Lx x2 )
0 EA
2EA
x E x
q (L x) A
有限元解
第 三 单元的位
移函数取
dx
x j xi dx x j xi
B Bi Bj
线 弹 性
所以
1
x j xi
1 ui
xj
xi
u
j
Bi
x
j
1
xi
问 若记
题
的 有
Bi
Bj
ui
u
j
Bj
1
x j xi
限
矩阵[B]反映了单元应变与节点位移之间的关系，称之为应变矩阵
元
第
由物理方程得：
三
u4
问
题
0
③
0
0
0
③
0 u1
的 有 限
0
F3
F4
＝0 0 0
0 0 0
0 K33 K43
0
K34 K44
uu32
u4
元
第 三 章
K1①1
K
① 21
0 0
K1①2
K
① 22
K
② 22
K3②2
0
0
K
② 23
K
② 33
K
③ 33
K
③ 43
0 u1 R1
0
K
③ 34
限
（r，s＝1，2，3，4；r＝s时取“＋”；r≠ s时取
元
“－”）
第
1 1 0 0 u1 5
三 章
3EA 1
L 0
0
2 1 0
1 2 1
0
1
1
uu32 u4
qL 6
2 2 1
平
面
已知u1＝0，修正总体平衡方程得：
线 弹 性
2
3EA L
1
0
1 2 1
0 1
uu32
三
可以利用虚功方程来分析单元得节点受力与节点位移的关系
章
平
对于单元来说，节点力为外力
Fe
Fi Fj
面 线
外力所作的虚功为
Ue T Fe Fiui Fju j
弹 性
内力所作的虚功为
x
xi
j
T
Adx
问 题
根据虚功原理， 单元虚功方程为
Ue
T Fe
xj xi
T
Adx
的 有
由于 G Ue
1 u4
qL 6
2 2 1
问
解之得：
题
的
有
u2 u3 u4
qL2 18EA
5 8 9
限 元
该结果与材料力学 的精确解答相同
u2
5qL2 18EA
u3
4qL2 9EA
u4
qL2 2EA
第 §3.1 有限单元法求解过程的一般步骤
三 章
1. 研究区域离散化
平 面
就是将所研究问题的区域划分成有限大小不等的单 元体，并在单元体的指定点设置节点，把相邻的单 元体在节点处连接起来组成单元的集合体，以代替
K
③ 44
uu32 u4
RR32 R4
平 面 线 弹
K
K1①1
K
① 21
0
0
K1①2
K
① 22
K
② 22
K3②2
0
0
K
② 23
K
② 33
K
③ 33
K
③ 43
0
0
K K
③ 34 ③ 44
性 问 题
u1
U
uu32
R1
R
RR32
的
u4
R4
有
KU R
Krs
3EA L
平
知量的线性代数方程组。
面
F2①
F3②
线 弹
F1①
F2②
F3③
F4③
节点1 节点2 节点3 节点4
R
R2①
R3②
R4③
性
R1①
R2②
R3③
问
题
F1① R R1①
的
F2② F2①＝R2① R2②
有
F3② F3③ R3② R3③
限
F4③ R4③
元
第
R qL
R1①
R2①
R2②
R3②
R3③
章 则
平
面
线
弹
性
记
问
则
题
的
其中
有
限
令
元
1
L 3
① R1
2
L 3
② R2
3
L ③ R3
3
4
R4
i ui e j uj
x
成直线关系，它们反映了单元的位 移形态，所以称为形函数。
写成矩阵形式
则 位移列向量
e
x
2
a
a1
u
第 由几何方程得：
三 章
du dN Ue
dx dx
BUe
平 面
由于 dNi 1 , dN j 1
问
单元刚度矩阵
题 的 有
K e
EA
x
j
T
B
B
dx
xi
EABT Bx j xi
其中
Krs
EA x j xi
限 元
Kii K ji
Kij
K
jj
（r，s＝i，j；r＝s时取“＋”；r≠ s时取 “－”）
第
三 章
则
Fi Fj
Kii
K
ji
Kij ui
K
jj
u
j
利用节点平衡方程，可以建立包括整个结构的以节点位移为未
而假定单元虚应变与节 点位移具有如下关系
限 元
BUe
第 三
则
Ue T Fe Ue T
x
j
T
B
G
Adx
U
e
xi
章 由于节点虚位移 是任意的，所以
Fe
xj xi
T
B
GAdx U e
平
面 若记
线 弹
则
Ke
x
j
B
T
G
Adx
xi
Fe K eUe
单元平衡方程
性
其中矩阵[K]e反映了单元的节点力与节点位移之间的关系，称为
线
所研究问题的原区域；并以所离散单元节点处的位
弹
移作为基本未知量。
性
问
题
的
有
限
元
边坡有限单元模型
第 §3.1 有限单元法求解过程的一般步骤
三 章
2. 选择位移模式
平 面
离散后，采用节点位移为基本未知量，因此需要用 节点位移表示单元体的位移。必须对单元中位移分 布作出一定的假设，一般假定位移是坐标的某种简
第 有限单元法的基本原理及步骤
o
三 如图所示受其自重作用的等截面直杆，上端
x
章 固定，下端自由。设单位杆长的重力为q，
L
杆长为L，横截面面积为A，材料弹性模量
平 为E，试求直杆各横截面上的应力。
面 材料力学解
q
dx
线 从直杆任一截面取一微段dx，并令该微段
弹 截面上的内力为N(x)，则该微段的伸长量
E EBUe
章
若记
平
面 线
则
Gi
Gj
ui
u
j
弹
GUe
性 问
其中
G Gi Gj
题 的 有
Gi
Gj
EBi
EBj
x
x j
E
j xi E
xi
限
元 矩阵[G]反映了单元应力与节点位移之间的关系，称之为应力矩阵
第
如果知道节点位移就可以求出单元应力和应变，如何求节点位移？
第
对于具体单元，
F1
①
K11
K12
0
0① u1
三 章 平
将矩阵升阶到 4×4阶以后得
F02
0
＝
K
21
0
0
K22 0 0
0 0 0
0 0 0
uu32
u4
面 线 弹 性
0
②
0
0
0 0② u1
FF32
0
＝0 0 0
K22 K32 0
K23 K33 0
0 0 0
uu32
R4③
qL 6
三 章
R1
R
R1①
5 6
qL
平
R2
R2①
R2②
1 3
qL
面 线 弹
1
R3
R3②
R3③
qL 3
R4
R4③
1 6
qL
性 问
写成矩阵形式
题
单元
①②
③
的 有 限
1
2 节点
3
F1 0 0 R R1①
F02
FF32
0
F3
RR23② ①