不规则图形面积的解答方法

不规则图形面积的解答方法
一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。

二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，下图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。

三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了。

四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求下图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。

五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如下图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。

六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.
七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如下图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。

八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.
例如，欲求下图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A 与C重合，从而构成如下图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.
九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求下图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。

十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SA∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。

例如，欲求下图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.
在小学阶段，求几何图形的面积，一般都采用公式、分解、割补、平移等常规方法，而对有些几何图形的面积尤其是竞赛题，上述方法就显得有些繁难，甚至根本无法求解。

如能采用特殊方法去分析、思考，则可化难为易，避繁就简，从而提高解题效率，现举例叙述如下：
一、比例法
例1 图1是一个圆环，其中大圆的面积是40平方厘米，大圆半径是小圆半径的2倍，求圆环（阴
影部分）的面积。

分析与解答此题的常规解法是用大圆面积减去小圆面积，但小圆面积按小学生现有知识无法求出，此法行不通。

若此时引导学生用比例的方法来分析、思考，就不难找到解题的途径，即两圆面积的比等于两圆半径平方的比。

故设阴影面积为x平方厘米，则小圆面积为（40-x）平方厘米，于是有
解得x=30。

即阴影面积为30平方厘米。

二、假设法
例2 图2是一个面积为12平方分米的正方形，求图2中阴影部分的面积。

分析与解答此题的常规解法是用正方形面积减去圆的面积，由于圆的半径没有给出，又无法求出（涉及到开方，小学生没有这方面知识），所以此法不可取。

如果我们能假设正方形的边长为某一数值，然后求出阴影面积与正方形面积之比，则问题可顺利解决，故假设正方形边长为2分米，则正
三、增元法
求图3阴影部分的面积（单位：厘米）
分析与解答阴影面积等于梯形面积减去两个空白三角形的面积，但梯形面积与空白三角形的面积均无法求出，需另辟蹊径。

可设两个阴影三角形的底边分别为a与b，则a+b=15，故阴影部分面积为：
四、等分法
例4 如图4，圆内接正方形的面积是10平方厘米，求阴影部分面积。

分析与解答因为，阴影面积=圆的面积-正方形面积，所以此题必须先设法求出圆的面积，故把正方形沿对角线分为四等分，这样得到的每个三角形的面积为（10÷4=）2.5（平方厘米），如果三角形的直角
边用r表示那么
r×r÷2=2.5，即r2=5，于是
圆的面积=πr2=3.14×5=15.7（平方厘米），所以
阴影面积=15.7-10=5.7（平方厘米）
五、特例法
例5 如图5，有大小两个长方形，大长方形的长、宽分别比小长方形的长、宽多3厘米，小长方形
的周长是26厘米，求阴影部分的面积。

分析与解答阴影面积=大长方形面积-小长方形面积，而大小长方形的长与宽均未给出，无法求出它们的面积，但仔细分析，不难发现，阴影的面积只与小长方形的周长有关，而与小长方形长与宽的具体数值无关，因此我们可在周长为26厘米的长方形中选一个特例，如长7厘米，宽6厘米，这时小长方形的
面积是（7×6=）42（平方厘米），而大长方形的面积为（（7+3）×（6+3）=）90（平方厘米），因此阴
影面积为（90-42=）48（平方厘米）。

当然，此题也可选长8厘米、宽5厘米等。

六、包含排除法
例6 如图6，已知梯形ABCD的面积是40平方厘米，三角形DOC的面积是6平方厘米，求阴影面
积。

分析与解答此题按一般方法较为麻烦，如果用“包含排除法”则极为简便，由图6可以看出，三角形ABC与三角形ABD是同底等高三角形，它们的面积相等。

在这两个三角形中，阴影部分被包含了两次，如果加上已知三角形DOC的面积，正好是梯形ABCD的面积又多一个阴影面积，去掉梯形面积，即得阴
影面积：
七、割拼法
例7 如图7，一个面积为86平方厘米的正方形纸片，切下四个角后得到一个边长为4厘米的正
八边形纸片，求这个正八边形纸片的面积。

分析与解答小学没学过正八边形面积的求法，因此无法直接求出，但经过观察不难看出，割下的四个角如果拼起来正好是一个边长为4厘米的正方形，如图7右图，因此用86平方厘米减去边长为4厘米
的正方形的面积，即可得到正八边形的面积。

86-4×4=70（平方厘米）
八、等拼法
例8 如图8，一个斜边是22厘米的直角三角形，两条直角边之差是6厘米（见图8左图）。

这两直
角三角形的面积是多少平方厘米？
分析与解答此题按常规方法无法求解，但如果我们取面积完全相等的四个直角三角形就可以拼成一个正方形，正方形边长是22厘米，正方形中有一个小正方形，边长是两条直角边之差，即6厘米，如图8右图。

则大正方形与小正方形面积之差除以4就是要求的直角三角形的面积：
（22×22-6×6）÷4=112（平方厘米）
九、添线法
例9 如图9，正方形ABCD的边长是6分米，求长方形FGDE的面积。

分析与解答已知的是正方形的边长，要求的是长方形的面积，而又没给出长方形的长与宽，所以要
找到长方形与正方形之间的联系，故连结AG，则
所以长方形FGDE的面积等于正方形ABCD的面积，即（6×6=）36（平方分米）。

十、按比例分配法
例10 如图10，已知梯形ABCD的面积是48平方厘米，其中BC的长是AD的2倍，求阴影的面积。

分析与解答阴影三角形的底和高均未给出，因此无法按常规方法进行解答。

但梯形中阴影三角形与空白三角形的高相等，所以两个三角形面积的比等于这两个三角形底边长的比，即
空白三角形的面积∶阴影三角形的面积=1∶2，因此所分的份数是。