第七章 线性离散系统的分析与校正

d E ( z) dz
G( z )
C (z) R( z )
2、求法 （1）由差分方程求取
（2）由连续部分的传递函数求脉冲传递函数 六、离散系统稳定的条件和稳定判据 1、充分必要条件：闭环特征根全部位于 z 平面单位圆内。 2、 w （双线性）变换与劳思稳定判据
w 1 代入老师系统的闭环特征方程，进行 w （双线性）变换后，再利用劳 w 1 思判据判定稳定性。
【例 7-3】 试确定下列函数的终值 （1） E ( z )
Tz 1 (1 z 1 )2
z2 （2） E ( z ) ( z 0.8)( z 0.1)2
解题技巧： ：利用终值定理 ess lim(1 z 1 ) E ( z ) 计算
z 1
解： （1） ess lim(1 z 1 )
（1）输出 z 变换 C ( z ) ； （2）采样瞬时的输出响应 c * (t ) ； （3）输出响应的终值 c* () 。 解题技巧：用 Z 变换法求出系统的时间响应，并用终值定理求出输出响应的终 值。 解： （1） 开环脉冲传递函数为：
5 5 1 z 1 z (1 e5 ) (4 e ) z 1 6e z G( z) Z 2 2 5 2 5 25( z 1) ( z e ) s ( s 5) 5 ( z 1) 5( z 1)( z e )
1 e s Tz (1 e T ) z T Z( 2 )z [ ] s ( s 1) ( z 1)2 ( z 1)( z eT )
【例 7-2】 试分别用部分分式法、幂级数法和反演积分法求下列函数的 Z 反变换。 10 z (1) E ( z) ( z 1)( z 2 )
s 2h 或 T h
三、Z 变换理论 1、Z 变换的定义

h : e(t )中所含各谐波分量中的最大 2 s : 采样角频率s T
采样信号： e* (t ) e(nT ) (t nT )
n 0
Z 变换的定义为 E ( z ) Z [e* (t )] L[e* (t )] esT z e(nT ) e nTs
令z
3、朱利稳定判据。列出朱利表，满足约束条件，则系统稳定。 七、离散系统稳态误差 1、用终值定理求取 若离散系统稳定，用终值定理求 e() lim 2、用静态误差系数法求取
表 1 离散系统的稳态误差 系统型别
( z 1) E( z) z 1 z
r (t ) A1(t )
A 1 K0
0
r (t ) At
r (t )
A 2 t 2
0

AT K0
0

ⅠAT 2 K00Ⅱ0Ⅲ
0
0
八、离散系统的时间响应 用 z 变换法分析系统动态性能时，通常假定外作用为单位阶跃函数，首先求出
C ( z ) ，再通过 z 反变换法求出脉冲序列 C * (t ) ，可以求出各项性能指标。
九、采样器和保持器对动态性能的影响 1、采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使超调量增大。 2、零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，使超调量增大。
(2)
3 z 1 E ( z) 1 2 z 1 z 2
解题技巧：利用 Z 反变换的几种方法求 Z 反变换 解： （1） E ( z )
10 z ( z 1)( z 2)
①部分分式法 E (z) 10 10 10 z ( z 1)( z 2) z 1 z 2 10 z 10 z E (z) ( z 1) ( z 2)
z 1
e() lim( z 1) E ( z ) lim(1 z 1 )
z 1
A( z ) e ( z ) 0 (1 z 1 )m
e ( z ) (1 z 1 ) m F ( z )
取 F ( z ) 1 ， e ( z ) (1 z 1 )m 。 3、设计步骤 （1）求 G ( z ) ——没有单位圆上及圆外的零极点； （2）针对特定的典型输入选 e ( z )
③ 反演积分法
e(nT ) Re s E ( z ) z n 1
s 1
lim 3(n 1) z
n 0
z 1

1 d lim (3 z 2 z ) z n 1 1! s 1 dz


n
nz n 1 2n 3

e * (t ) (2n 3) (t nT )
1 1 z Tz E ( z) Z ( ) Z ( 2 ) s s z 1 ( z 1)2
（5） E (s )
1 es 1 e s s 2 (s 1) s 2 ( s 1) s 2 (s 1)
Z(
1 Tz (1 e T ) z ) s 2 ( s 1) ( z 1)2 ( z 1)( z eT )
z 1 E (z) z
*
（5）卷积定理：设 u (t ) e (t ) g (t ) e(kT ) g[( n k )T ]
k 0
*
*
则 U ( z ) E ( z) G ( z ) （6）Z 域微分定理： Z [t e(t )] zT 4、Z 反变换 （1）部分分式法 （2）幂级数法 （3）反演积分法 四、线性定常差分方程及其解法 （1）迭代法 （2）z 变换法 五、脉冲传递函数 1、定义：零初始条件下，离散系统输出脉冲序列 Z 变换与输入脉冲序列 Z 变换 之比。
十、闭环极点与动态响应的关系 根据系统在 z 平面上的零、极点分布，也可以估计系统的动态性能。系统的瞬态 响应与极点位置关系图如图所示。
十一、最少拍系统设计 1、定义：在典型输入作用下，能以有限拍结束响应过程，并且采样点上没有稳 态误差。 2、设计原则 由 e() 0 得
E ( z ) e ( z ) R( z ) A( z ) e ( z) (1 z 1 )m
第七章 线性离散系统的分析与校正
7.1 学习指导 7.1.1 学习要点
1、离散系统基本概念； 2、香农采样定理； 3、Z 变换定义、方法和性质； 4、Z 反变换方法； 5、离散系统的数学模型； 6、离散系统稳定性分析； 7、离散系统的稳态误差计算； 8、离散系统的动态性能分析； 9、最少拍系统设计；
e(nT ) 10 1 10 2n 10(2 n 1)

e* (t ) 10(2n 1) (t nT )
n 0
（2） E ( z )
3 z 1 z (3 z 1) z (3z 1) 2 2 1 2z z z 2z 1 ( z 1) 2
n 1
z 1 e sT －延迟算子
超前定理： Z [e(t nT )] z n [ E ( z ) e(kT ) z k ]
k 0
（3）复数位移定理： Z [e(t ) e （4）终值定理： lim e(nT ) lim
n z 1
at
] E ( z e aT )
① 部分分式法
2 3 E ( z ) 1 3z 2 2 z ( z 1) ( z 1) z 1 2 z 3z E ( z) 2 ( z 1) z 1 2 e(t ) t 3 1(t ) T
② 幂级数法：用长除法可得
3 z 2 z 3 5 z 1 7 z 2 9 z 3 z2 2z 1 e* (t ) 3 (t ) 5 (t T ) 7 (t 2T ) 9 (t 3T ) E ( z)
r (t ) R ( z )
A( z ) e ( z ) (1 z 1 )m 1 m (1 z )
（3）确定 ( z ) 1 e ( z ) ； （4）写出 D ( z )
( z ) e ( z) G ( z )
7.2 典型题解
【例 7-1】 试求下列函数的 Z 变换 （1） e(t ) a n （2） e(t ) t 2 e3t （3） e(t )
闭环脉冲传递函数为
( z ) G ( z) (4 e 5 ) z 2 (1 6e5 ) z 2 1 G ( z ) 25( z 1) ( z e5 ) (4 e 5 ) z 2 (1 6e5 ) z 4.0067 z 2 0.9596 z 25 z 3 46.1617 z 2 26.2966 z 0.1684
e(nT ) 10 1 10 2n 10(2 n 1)

e* (t ) 10(2n 1) (t nT )
n 0
②幂级数法：用长除法可得
E (z)
10 z 10 z 2 10 z 1 30 z 2 70 z 3 ( z 1)( z 2) z 3z 2
2
由实数位移定理得：
2 3 t Z t e
T 2 ze3T ( ze3T 1) ( ze3T 1) 2
1 T 3 ( z 2 4 z 1) （3）查表得： Z ( t 3 ) 3! 6( z 1) 4
（4） E ( s )
s 1 1 1 2 s s s2
1 3 t 3! s 1 （4） E ( s ) 2 s
1 es （5） E ( s ) 2 s ( s 1)
解题技巧：利用 Z 变换定义或性质解题 解：

（1） E ( z ) a n z n
n 0
1 z 1 za 1 az
T 2 z ( z 1) t （2） Z ( z 1) 2