【山西医科大学大一高数课件】第三章不定积分

处 作切 线， 这些 切线彼 此是 ______的； 5、 若 f ( x )在 某 区 间 上 ______， 则 在 该 区 间 上 f ( x ) 的
原函数一定存在；
a
22
6、 x xdx ______________________；
7、
dx x2 x
_______________________；
证 F ( x ) G ( x ) F ( x ) G ( x )
f(x ) f(x ) 0 F (x ) G (x ) C （C为任意常数）
a
5
不定积分的定义：
在区间I内，函数f(x)的带有任意 常数项的原函数称 为f(x)在 区 间 I内 的
不 定 积 分 ， 记 为 f(x )d. x
解 dyse2x csix n, dx
y s2 e x s cx id nx
ta x c n x o C ,s
y(0)5, C6, 所求曲线方程为 y ta x c nx o 6 .s
a
20
四、 小结
原函数的概念：F (x)f(x)
不定积分的概念：f(x)d xF (x)C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系
d [( F x ) ] f [( x ) ( ] x ) dx
f [( x )( ] x ) d F x [( x ) C ]
[ f(u )d]u u (x) 由此可得换元法定理
a
29
定理1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
则 有 换 元 公 式
f[(x)](x)d x[f(u)d]u u(x)
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
a
15
(2) k(fx)d xk f(x)dx.
（ k是 常 数 ， k0)
例5
求积分
(13x2
2 )dx. 1x2
解
(13x2
2 )dx
1x2
311x2d x2
1 dx
1x2
3arcx t a2a nrcxsiCn
a
16
例6
求积分
1 x x2
a
33
例4
求
x (1 x)3dx.
解
x (1 x)3dx
(x11x)31dx
[(1 1x)2(1 1x)3]d(1x)
1 1xC12(1 1x)2C2
1 1x2(1 1x)2C.
a
34
例5 求
a2
1
x2dx.
解
a2
1
x2dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2d
x a
1arctaxnC.
lnx1 (x0)
x ln x是 1在 区 间 (0,) 内 的 原 函 数 .
x
a
3
原函数存在定理：
如 果 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 内 连 续 ，
那 么 在 区 间 I内 存 在 可 导 函 数 F (x )， 使 x I ， 都 有 F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数.
F u C F x C
实际计算时直接写做：
f[(x)](x)dx fxdx
FxC
a
30
例1 求sin2xd.x
解（一）si1nc2xod2sxx12C;sin2xd(2x)
2
解（二） sin2xdx2six ncoxsdx
2six n(dsix)n six n 2C; 解（三） sin2xdx2six ncoxsdx
1arctxa C n. x
a
18
例8 求积分 1c1os2xdx.
解 1c1os2xdx12c1o2sx1dx
12co1s2
dx1tanxC. x2
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
a
19
例9 已知一曲线y f(x)在点(x, f(x))处的 切线斜率为se2cxsinx，且此曲线与 y 轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程.
2coxs(dcx o)sco x2 sC .
a
31
例2
求
3
1 dx. 2x
解
1 dx 3 2x
12312xd(32x)
1ln|32x|C. 2
a
32
例3
求
1 dx. x(12lnx)
解 x(112lnx)dx121lnxd(lnx)
1 212 1ln xd(12ln x)
1ln1(2lnx)C. 2
的________，它的方 程是 y F (x) ， 这 样不 定积
f ( x )dx 在 几 何 上 就 表 示 _ _ _ __ _ _ _ ， 它 的 方 程 是
y F(x) C ； 4、由 F '(x) f (x) 可 知 ， 在 积 分 曲 线 族
y F ( x ) C ( C 是任意常数 ) 上 横 坐 标 相 同 的 点
a
27
一、第一类换元法
问题 cos2xdxsi2n xC ,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t2xdx 1dt, 2
cos2xdx
12costdt
1sint 2
C1sin2xC. 2
a
28
在一般情况下：
设 F (u)f(u),则 f(u )d u F (u )C .
如果 u(x)（可微）
不定积分的性质
a
21
一 、填 空题 ：
练习题
1、一 个 已 知 的 函 数 ， 有 ______个 原 函 数 ， 其 中 任 意
两 个的 差是 一个 ______；
2、 f (x)的________称为 f (x) 的不 定积 分；
3、把 f (x)的一 个原 函数 F (x)的图形叫做函数 f (x)
a
23
3、co2s2xdx
4、coc2soxs2sixn2 xdx
5、(1x12) x xdx
6、 x2 sin2 xse2cxdx
x2 1
三、一曲线通过点( e 2 , 3 )，且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 .
a
24
练习题答案
一 、 1、 无 穷 多 ,常 数 ； 2、 全 体 原 函 数 ；
coxt 1 C. sin x
a
40
例11 求 si2nxco5x s d.x
解 si2nxco5x s d xsi2x n c4 o xs (d sx i)n s2 ix n (1 s2 ix ) n 2 d (sx )in (s 2 x i2 s n 4 i x n s6 i x ) d n (s x )in
1si3x n 2 si5x n 1si7x n C . 357
xln 1(ex)C .
a
37
例8 求 (1x12)ex1xdx.
解
x1x
1 1x2,
(1x12)ex1xdx
ex1xd(x1)ex1x C.
x
a
38
例9
求
1 2x3
d.x 2x1
原式 2 x 3 2 2 x x 3 1 2 2 x x 3 1 2 x 1 dx
1 4 2x3 d x1 4 2x1 dx
1 8 2 x 3 d ( 2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d ( 2 x 1 )
12 x 3 312 x 1 3 C .
12
12
a
39
例10 求1c1osxdx.
解 1c1osxdx1c1oxcs1o xcsoxsdx
11ccoo2sxsxdx1sicn2oxsxdx
s1 i2n xd xs1 i2n xd(sx i)n
a
a
a
35
例6
求
x2
1 dx. 8x25
解
x2
81x25dx(x41)2
dx 9
1 32
x
3
1 42
1dx13
1
x42
3
d 1
x34
1arcx ta 4nC.
3
3
a
36
例7
求
1 1 exdx.
解
1
1 e
x dx
11exexexdx
11exex dxdx1exexdx
dx 1 1exd(1ex)
第三章 一元函数积分学
a
1
3.1 不定积分
a
2
一、原函数与不定积分的概念
定义： 如 果 在 区 间 I内 ， 可 导 函 数F(x)的 导函数为f(x)， 即 xI， 都 有 F (x)f(x)
或 dF (x)f(x)d， x那 么 函 数 F(x)就 称 为 f(x)
在区间I 内原函数.
例 six ncoxs six n 是 cox的 s原 函 数 .
1 dxarcxsC i;n 1x2
(6) coxsdxsix nC;
(7) six ndxcox sC ; (8) cod2sxxse2cxdxtaxn C;
(9) sidn2xxcs2cxdxco x tC ;
a
12
(1)0se xtca xn d sx excC;
(1)1cs xcco xtd x csx cC ;
3、 积 分 曲 线 ,积 分 曲 线 族 ； 4、 平 行 ；
6、
2
x
5 2
C
；
7、
2
3
x2
C
；
5
3
8、 x 3 3 x 2 2 x C ； 32
9、
x3
2
5
x2
2
3
x2
x
C
、
35 3
10、 2
x
4
x
3 2
2
x
5 2
C
.
35
5、 连 续 ；
a
25
二、1、 x arctan x C ；
3、 x sin x C ； 2
x(1
x2
dx. )
解
1 x x2
x(1
x2
dx )
xx(1(1xx2)2)dx
11x2 1xdx11x2dx1xdx
ar x c lx n t C a . n
a来自百度文库
17
例7
求积分
1 2x2 x2(1 x2
dx. )
解
1 2x2 x2(1 x2
dx )
1 x2 x2
x2(1 x2)dx
x12dx11x2dx
ddxf(x)dxf(x), d[f(x)d]x f(x)d,x
F (x)d x F (x)C , d(F x)F (x)C .
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
a
9
二、 基本积分表
实例
x1 x
1
xdxx1 C. 1
(1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 six ncoxs six n Ccoxs
（C为任意常数）
a
4
关于原函数的说明：
（1）若 F (x)f(x)，则对于任意常数 C， F (x ) C 都 是 f(x )的 原 函 数 .
（2）若F(x) 和 G(x)都是 f (x) 的原函数， 则 F (x ) G (x ) C（C为任意常数）
(1)2exdx ex C;
(1)3axdx lna
x
a
C
;
a
13
例4 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x2dx
根据积分公式（2）
xdx x1 C
1
51
x2 51
C
2
7
x2
C.
7
2
a
14
三、 不定积分的性质
(1 ) [f(x ) g (x )d ] x f(x)d xg(x)d;x
证 f(x)d x g(x)dx f(x )dx g (x )d xf(x)g (x).
a
10
基 (1 )k dkx x C(k 是常数);
本
积
(2)
xd xx1C(1); 1
分
表
(3)说明dx：xlxn|x|0,C ; dxlnxC,
x
x 0 ,[l n x )] (1 (x) 1,
x
x
dxxln(x)C, dxxln|x|C,
a
11
(4) 11x2dxarcxtaC;n
(5)
解 设曲线方程为 yf(x),
根据题意知 dy 2 x, dx
即 f(x)是 2x的 一 个 原 函 数 .
2xdx2C, f(x)x2C,
由曲线通过点（1，2） C1, 所求曲线方程为 yx21.
a
8
函 数 f(x )的 原 函 数 的 图 形 称 为 f(x )的 积 分 曲 线 . 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知
8、 ( x 2 3 x 2)dx _________________；
9、 ( x 1)( x 3 1)dx _____________；
10、
(1
x)2 x
dx
=____________________
.
二、 求下列不定积分：
1、
x2 dx
1 x2
2、
2 3x 5 2x dx 3x
f(x)d xF (x)C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
a
6
例1 求 x5dx. 解 x6 x5,
6
x5dxx6C.
6
例2
求
1 1 x2
dx.
解 arcxta 1n 1x2,
1 1x2d xarcxtC a.n
a
7
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
5、4( x 2 7) C ； 74 x
5(2) x 2、2x 3 C ；
ln 2 ln 3 4. (cot x tan x) C ；
6、tan x arccot x C .
三、 y ln x 1 .
a
26
3.2不定积分的计算
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、 分部积分法