菲涅耳圆孔衍射

题4图 解：在自由传播中，波带将全部裸露，即：
Ak
= a1 2
± ak 2
中 k → ∞，a k → 0 ，则：
A∞
=
Ak
=
a1 2
I∞
=
a12 4
� 当圆孔对于 P。点，恰好露出半个半波带时，其振幅矢量图中以 AI / 2 表
示，由图中几何关系可知：
II /2
=
A2 1/2
=
( a1 ) 2 2
似为
1 2
EN
，因此：
+1
1 E ≈ 2 (EN + EN+1 ) ≈ 0
A 点的照度为极小值。
16、点光源 S 和观察点 A 之间放——圆盘，其中心与 S 和 A 点在一条直线上 (图 52)，圆盘一半是透明的，另 —半不透明。圆盘包含头三个菲涅耳带。圆盘 透明部分的厚度为 l = N • λ ，其中 n 是该部分的折射率， N 是整数。试问；
解： a = A / n 2 = 10m；b = B / n 2 = 20m
23、图 34 画出—种观察干涉条纹的装置简图。透镜被切成相等的两半 L1和 L2 ，彼此沿着光轴移开—个相当大的距离。光源 S 置于光铀上。通过半透镜 L1 的光束与通过半透镜 L2 的光束相交于 S′S′′ 段，在此段上两束光发生干涉。若在 那里放置屏或(最好)用显微镜进行观察，就会看到干涉环。问这些环的中心是亮 的还是暗的?
1/ a +1/ b 心是亮的。
21、单色平行光束入射到具有虹膜光阑的长焦距的会聚透镜上、距透镜为 a 处置一屏用以观察衍射环。若透镜焦距为 f，问光阑半径 r 为多大时，环的中心 是暗的？r 又为多大时，中心是亮的？
解：r =
mλ 。若 m 是偶数时，环中心是暗的，若 m 是奇数时，环中
1/ f −1/ a
心是亮的。
22、为得到光源与屏相距很远时衍射图象的照片，B．K．阿尔卡捷夫采用模 拟的方法，用缩小的相似模型代替位于光路上的实际障碍物。需要获得直径 D＝ 50 厘米圆盘衍射图象的照片，点光源位于圆盘轴线上距其 A＝25 千米处，屏远 离圆盘 B＝50 千米(屏面垂直于圆盘的轴线)。为此目的用缩小到直径 d＝1 厘米 的模型代替圆盘。需要得到相似而又缩小 n＝50 倍的衍射图象，问光源与模型的 距离 a 及模型和屏的距离 b 应为多少？
6、1) 当平面波入射到波带片时，求第 m 级菲涅耳带的半径。2) 如上题所
0
设 b＝10 米， λ = 4500 A ，求此时第一带的半径 r1。 解：1） rm ≈ abmλ 2） r1 = 0.212厘米
7、对一半径为 a 的会聚球面波从凹面作菲涅耳带。波面到观察点的距离为b，
求第 m 级菲涅耳带半径 rm 的表达式。 解： rm ≈ abmλ / a − b
D a+b
14、折射率为 n(对被长λ)的玻璃圆盘遮住对观察点 P 而言的一个半菲涅耳 带。问圆盘厚度为多少时，P 点的照度最强？
解： h = 2m + 5 / 4 λ ，其中 m＝0，1，2，…… 2(n − 1)
15、将半圆盘形的不透明遮光板放在点光源 S 和观察点 A 之间，使 O 点与 S 和 A 点在一条直线 l(图 32)。遮光板包含不太多的奇数个菲涅耳半波带，问 A 点的照度为多少？
2n − 1 当 N 为奇数及偶数时，A 点的照度将是多少？
解：在 A 点处，N 是偶数时，照度值为最小(E＝0)，N 为奇数时为最大，近 似于一个中央空带。
17、远离电滋波点源 S 放一无限大的理想反射平面屏 AB（图 33）。若从 屏 上 切去以由 S 到屏面的垂足为圆心的圆盘 CD，并将此圆盘朝光源的方向移动 1/12 个波长，试用矢量图解法求得在点 S 处反射波的强度如何变化?若将 CD 朝相反方 向移动同样距离，结果又怎样变化？圆盘的面积为第一个菲涅耳带面积的三分之 一。
10
－6
＝750mm
则 P 点移动的距离为
∆r = r0 − r ′ = 100 − 75 = 25cm
当 P 点向后移离圆孔时，波带数减少，减少为 2 时，P 点也变成暗点，与此 对应的 P 到圆孔的距离为：
r′′
=
ρ2 kλ
=
2
×
(1.3) 2 563.3 ×10－6
＝1500
mm
则源自文库P 点移动的距离为：
+ ( a1 ) 2 2
=
a12 2
故：
I1/ 2 : I ∞ = 2 :1
5、1) 已知波带片到光源的距离为 a，到观察点的距离为 b，波长为λ，求
0
第 m 级菲涅耳带的半径。2) 若 a＝b＝10 米， λ = 4500 A ，求第一带的半径。 解：1） rm ≈ abmλ /(a + b) 2） r1 = 0.15厘米
入射时，波带数为：
k
ρ2 =
λr0
=
(d / 2)2 λr0
=
(563.3
(1.3) 2 ×10－6（) 10
3）＝3
故 P 点为亮点．
(2)当 P 点向前移向圆孔时，相应的波带数增加，波带数增大到 4 时，P 点
变成暗点．此时，P 点至圆孔的距离为：
r0′
=
ρ2 kλ
=
4
×
(1.3) 2 563. 3 ×
2. 菲涅耳衍射
1、波长为 556nm 的单色平面波经过半径分别为 ρ1 ＝2.5mm， ρ2 ＝5nm 的小
孔．极点到观察点的距离为 60cm．试分别汁算波面包含的菲涅耳半波带数．
解：根据菲涅耳圆孔衍射，合振幅的大小取决于波面上露出带的数目 k，其
数值由下式确定，即：
k = ρ2 (1 + 1) λ R r0
∆r＝r′ − r0 = 150 − 100 = 50cm
3、试证明：若 f ′ 是波带片的焦距、相应决定一个主焦点 F’，则在 f ′／3、 f ′ ／5， f ′／7…处尚有一系列次焦点．
题3图 解：菲涅耳波带片有许多焦点，由于波带片是相对于某一点 F’划分的，换 言之．对 F’而言相邻波带的程差为λ／2．但是对 F’点的一个半波带对较近点 将变为几个，波带片一个环带内所包含的半波带数也相应变多．如果对某一考察 点，波带片一个环带内含有 2j＋1 个，即奇数个半波带，其中的 2j 个因双双位 相相反而抵消，但是仍有一个较小的半波带对考察点的振幅有贡献．而相邻两环 带的有效小波带的光程差为：
（2）
f ′kλ +
f j′ 2
=
f j′ 2
+
f j′
k (2 j + 1)λ + k 2 (2 j +1) 2
λ2 4
由于 r》λ，略去上式中的 λ2 项，则：
f ′kλ = f j′ k (2 j +1)λ
f′
即：
f j′ = 2 j + 1
（3）
式中 j 为整数，显然，j＝0 对应主焦距，当 j＝1、2、3…时，可得对应的
(4 j + 2) λ = (2 j +1)λ 2
为波长的整数倍，故考察点为一较弱的亮点，这就是波带片的次焦点。
如图所示，设对某点 Fj′ ，波带片一个环带内含有 2j＋1 个半波带，由几何 关系得：
ρ
2 1
+
f
′
j
2
=
[
f
′
j
+ k(2 j
+1) λ ]2 2
（1）
由于： 故：
ρ12 = kλf
解：f＝90 厘米， r1＝0.672 毫米，象，即波带片轴上的极大值离开带片。
10、若除第一带外将波带片全遮住，求波带片焦点处的光强 I，已知无波带 片时光强为 I。。
解： I = 4I 0
11、若除第一带的上半部外将波带片全遮住，求波带片焦点处的光强 I。已 知无波带片时光强为 I。。
解： I ≈ I 0
次焦距为：
f j′ = f ′ / 3、f ′ / 5、f ′ / 7…
或者把式（2）代入式（3）得：
f
j′
=
2
1 j +1
ρ12 kλ
波带片的聚光特性与透镜十分相似，因此将把波带片称为菲涅耳透镜，它可
用全息方法制取．现广泛用于微波、宇航技术中。
4、单色平面光波投射到一圆孔上，位于孔的对称轴线上的 P。点进行观察， 圆孔恰好露出半个半波带．试问 P。点的光强为自由传播时的光强的多少倍？
8、光源距波带片 3 米远，波带片在距其 2 米处给出光源的象。若将光源移 向无穷远时，象在何处?
解：在距离为 1.2 米处。
9、若波带片第五环的半径为 1．5 毫米，求波长为 500nm 时波带片的焦距， 求波带片第一环的半径 r1。若波带片与屏之间充满折射率为 n(n＞1)的介质，问 将发生什么现象？
解：以矢量 OC (图 106)表示所有菲涅耳波带产生的振动。以矢量 OA 表示第 一带的三分之一产生的振动。矢量 AC 是孔 CD(图 33)外围屏上反射波产生的振 动。若忽略每转一周螺旋半径的减少，这三个矢量构成等边三角形。当圆盘向波 源移动了λ／l 2 时，被圆盘反射的反射波的周相增加了 2·2 π ／12＝ π ／3， 而其振动用与 AC 相等而方向相反的矢景来表示，全部反射波在点 S 处的强度变 为零。当圆盘 CD 沿反方向移动时，振动 OA 的位相减少了 π ／3，并且矢量 OA 转 到 OC 的位置。由矢量 OC 和 AC 的迭加，可求得合振动。用这种方法求出：点 S
75
2、波长 λ＝563.3nm 的平行光投射在直径 d＝2.6mm 的圆孔。与圆孔相距
r0 ＝1m 处放一屏幕．试问： (1) 屏幕上正对圆孔中心的 P 点是亮还是暗点 7 (2) 使 P 点变成与(1)相反的情况，至少应把屏幕向前(或向后)移动多
少距离? 解：(1)P 点的亮暗取决于圆孔中包含的波带数是奇数还是偶数．当平行光
由 于 入 射 的 是 平 面 波 ， 故 R ＝ ∞ ， 将 ρ1 ＝ 2.5mm ， ρ2 ＝ 5nm ，
λ = 5.56 ×10－5 cm ， r0＝60cm 代入上式，得：
k1
=
0.252 5.56 ×10－8
×
＝18.7 60
≈
19
k2
=
0.52 5.56 ×10－8
＝74.9 × 60
≈
深度 h 约为 0.1 毫米，象会损环吗？可否用圆盘代替球？
解：y’=by/a=10.5 毫米，坡耳用题中所给的参量设计了实验，为使实验成 功， 须 使 刻 痕 不 平 的 深 度 h 满足 h < λ ab = 180λ ≈ 0.1毫米 的条 件 。 当
D a+b
2a y<
abλ ≈ 1米时，可用圆盘代替球。安格列尔曾设计了相应的实验。
12、若圆屏完全遮住第一带，求圆屏衍射图象中心处的光强 I。己知无屏时 光强为 I。。
解： I ≈ I 0
13、在照相底片与强光源之间放一不透明的光滑球后，可对光源照相。解释 这一现象。球的直径 D＝40 毫米，球到光源的距离 a＝12 米，到象的距离 b＝18 米，光源的尺寸 y＝7 毫米，求象的尺寸 y’。若球表面布满许多杂乱的刻痕，其
解：若 E1， E2 ， E3是依次由各菲涅耳整波带在 A 点所产生的场，则待求的
A 点的场 E 是一级数：
1
1
E = 2 (E1 + E2 + …… + EN −1 ) + 2 EN + (EN +1 + EN+2 + .......)
其中 N 为偶数，当 N 不大时，则头一括号部分近似为零，而后一括号部分近
解：环中心是暗的。
24、不透明的屏上有一圆孔，单色平行光束垂直射到屏上，若孔含有一个菲 涅耳带，孔后轴上某点的光强为 I。。若孔的半径减小到原值的 a＝1／3，用矢量 图解法求同一点的光强。
解：若 r 是孔的半 径，则 由孔 边缘和 中心 所发出 光线 之间的 光程 差为 r 2 / 2L ，其中 L 是孔中心到观察点的距离。设开始时 r = r1，而后 r = r1(1 − a) ， 式中 r1 是菲涅耳中央带的半径。此时，相应的位相差为 π ，且 δ = π (1 − a) 2 。由 矢量 图 ( 图 111) 可见 ： 在 所 研 究 的那 两 种 情 况 下 ， 振 幅 A0 和 A 的关 系 为 A = A0 sin( δ / 2) ，
处的振幅增大到 3 倍，而强度增大到三倍。
18、在上题的装置中，今圆盘面积是中心菲涅耳带面积的—半。为使反射波 在 S 点的强度仍然不变，将圆盘朝离开源的方向所应移动的最小距离是多少?
解： h = 3 / 8λ 19、若圆孔(例如虹膜光阑)半径由一个带的半径增加到两个带的半径，则 P 点(P 为光阑所成光源的象)的照度几乎降为零。这一事实如何与通过光阑的光通 量增大为原值的两倍相符合? 解：能量重新分布，并且在象平面上某些点的光通量密度增加，而另一些点 的光通量密度减少，通过象平面的整个光通量增加一倍。 20、单色点光源与圆形光阑的距离为 a，而屏在光阑的另一侧相距为 b。若 由光源向光阑平面作垂线通过光阑中心，问光阑半径 r 具有哪些值时，在屏上所 观察到的衍射环中心将是暗的?半径具有哪些值时，中心是亮的？ 解： r = mλ 。若 m 是偶数时，环中心是暗的，若 m 是奇数时，环中