6基于Kalman滤波器的状态估计
卡尔曼滤波 公式
卡尔曼滤波公式
卡尔曼滤波是一种用于估计状态变量的数学算法，广泛应用于各种领域，如航空航天、无人驾驶、机器人等。
以下是卡尔曼滤波的公式：
1.状态预测方程：
x[k|k-1] = A[k|k-1] * x[k-1|k-1] + B[k|k-1] * u[k]
其中，x[k|k-1]表示在时间k对时间k-1的状态预测，A[k|k-1]是状态转移矩阵，B[k|k-1]是控制矩阵，u[k]是控制向量。
2.测量更新方程：
z[k|k] = H[k|k] * x[k|k] + v[k]
其中，z[k|k]表示在时间k对时间k的测量更新，H[k|k]是量测矩阵，v[k]是测量噪声。
3.协方差预测方程：
P[k|k-1] = A[k|k-1] * P[k-1|k-1] * A[k|k-1]' + Q
其中，P[k|k-1]表示在时间k对时间k-1的协方差预测，Q是过程噪声协方差。
4.协方差更新方程：
P[k|k] = (I - K[k] * H[k|k]) * P[k|k-1]
其中，P[k|k]表示在时间k对时间k的协方差更新，K[k]是卡尔曼增益矩阵。
5.卡尔曼增益计算：
K[k] = P[k|k-1] * H[k|k]' / (H[k|k] * P[k|k-1] * H[k|k]' + R)
其中，R是测量噪声协方差。
基于Kalman滤波的AUV两位置对准方法
高精度 的初始对准 。这种方法主要是解决静基座条件 下东 向 陀螺漂移的完全不可观测 ，以及 由此导致的方位 失准角精 度
不高的 问题 。一 般情 况下 ，基于 Ｋ ｌ ｎ滤波的静基座对 准 ａ ｍａ
都是在载体完全静止 的情况下进行 的。此时 ，地 理坐标系下
系统的初始对准 。
』（ ） ＝ （０ ｌ０ Ｒ （ ０） ＋ ０） Ｒ Ａ‘ ） ’ ａＭ
从 而可得 ：
‘
（ ４ ）
㈣
即￡ 的相关时间１ 比 的相关时间１ 多 ／ （ 倍。 ／ ／ ０ ）
由此可 得到 陀螺 的误差方程 ：
基金项 Ｉ ：黑龙江省教育厅基金资助项 目（１４ ３ ０ ｉ １ １５ １９ ）
ｔ ｗｏ— ｏ ｉｉ ｎ ｉ ｔ ｇ ａ ｅ ｌ ｎ ｎ ａ ｅ ｎ Ｋａ ｍａ ｌ ｒｎ ｓｐ ｏ ｏ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ． ｅｉ ｅ ｔ ｌ ａ ｉ ａ ｉ ｎ ｅ ｒ ｒｍｏ ｅ ｉ ｎ ｅｐ ｉ ｃ ｐ ｅ ｏ ｐ ｓｔｏ ｅ ｒ ｔ ｄ ａ ｉ ｍｅ ｔ ｓ ｄ ｏ ｌ ｎ ｇ ｂ ｎ ｆ ｔ ｉ ｇ ｉ ｒ ｐ ｓ ｄ ｉ ｓｐ ｐ ｒ Ｔｈ ｒｉ ｖ ｇ ｔｏ ｒｏ ｄ ｌ ｓｂｕ ｌ ａ ｄ ｔ ｒｎ ｉ ｌ ｆ ｉ ｅ ｈ ｎ ａｎ ｉ ｔ ｈ ｔ ｗｏ－ ｏ ｉｉ ｎ ａ ｉ ｎ ｎ ｓ ａ ａｙ ｅ Ｔｈ ｙ ｔ ｍａ ｃ ｏ ｅ ｖ ｂ ｌ ｙ ｉ ｍｐ ｏ ｅ ｙ ｃ ｎ ｇ ｎ ｅ ｓｒ ｐ ｏ ｒ ｘ Ｔｈｅ ｄ ｇ ｅ ｆ ｏ ｅ ｖ ｂ ｌ ｙ ｆ ｒ ｐ ｓｔｏ ｌｇ ｍｅ ｔｉ ｎ ｌ ｚ ｄ． ｅ ｓ ｓｅ ｔ ｂｓ ｒ ａ ｉｉ ｓ ｉ ｒ ｖ ｄ ｂ ｈａ ｉ ｇ ｔ ｔａ ｄ ｗｎ ｍａ ｉ ｔ ｈ ． ｅ ｒ ｅ ｏ ｂｓ ｒ ａ ｉｉ ｏ ｔ
基于Kalman滤波器的状态估计软测量
．
Ｋ ａｍ ａ ｌｅ ｎ ｅｒ ｄ ｓｉ ａｉ ｎ ｏ ｍ ｉ ａ ａ ａ ｅ ｎ ｅ ｌ ｅ ｈ ｒｍ ｅ ｅ ｓｏ ｅ ｓ ｒ ｍ ｅ ｈ ｃ ｃ ｌ ｎ ｆ ｔ ｒｉ ｆ ｒｅ ｅｔｍ ｔｏ ｆｄｏ ｎ ｎｔｖ ｒ ｂｌｓａ ｄ ｒ ａｉ ｄ ｔ ｅｐａ ａ ｔｒ ｆｍ ａｕ ｅ ｎｔｗ ｉｈ ｏｎｖ ｎ ｉ ａ ｉ ｉ ｚ ｅ ｔｏｎ ｌ ｍ ｅ ｈｏ ｅ ｅｄｉ ｃ ｌ ｏ ｍ ｅ ｓ ｅ， ｔ ｎ ｅ ｐｌｉ ｅ ｎｄ ｔ ａ ｐ ｉａｉ ｎ． Ｔｈｅｆ ｔ ｅ ｖｅｏ ｔ ｄｓｗ ｒ ｆ ｕ ｔｔ ａｕｒ ｉ ｈｅ ｘ ａｎ ｄ ｂｙ ｉ ｕｓｒ ｌａ ｐｌｃ ｔｏ ｉ ｕｒｈ ｒｄｅ ｌ ｐｍ ｅ ｔａ ｐｐｉａｉ ｎ ｎ ｎｄ ａ ｌｃ ｔｏ ｏｆｓ ｆ—ｓ ｎｓｎ ｅ ｈｏ ｏ ｙ ｗ ｅ ｅｐｒｓ ｎｔｄ． ｏ ｔ ｅ ｉ ｇ ｔｃ ｌ ｇ ｒ ｅｅ ｅ
ｅｔｍ ａｉ ｎ ｂａｅ ｌｍ ａ ｆｌｅ ． Ｋａｍ ａ ｆｌｅ ｖ ｓｕ ｅ ｏ ｅｔｍ ａｅ ｔ ｙ ｔｍ ｔｔ ｙ ｔ ｂ ｅ ｖ ｂｅ ｉ ｏｒ ａｉ ｅ ｓｉ ｔｏ ｓ ｄ ｏｎ Ｋａ ｎ ｔ ｒ ｉ ｌ ｎ ｔ ｒ＼ ａ ｓ ｄ ｔ ｓｉ ｔ ｈｅｓ ｓｅ ｓａｅ ｂ ｈｅ ｏ ｓ ｒ ａ ｌ ｎｆ ｍ ｔｏｎ ｓ ｔ ｉ Ｔｈｅ ｄｏ ｉ ｎｔｖ ｒａ ｅ ｅ ｅ ｕ ｓ ｓｔ ｅ ｓａｕｓｏ ｏｃ ｓ ｏ ｂｅ ｅｔｍ ａｅ ｍ ｎａ ａ ｂｌｓｗ ｒ ｅ ｄ ａ ｈ ｔｔ ｆｐｒ ｅ ｓｔ ｓｉ ｔｄ． Ｔｈｅ ｅ ｔｎｄｅ ｅｆ ｄａ ｉ ｅ ａｇ ｉｔ ｍ ｆ ｉ ｘｅ ｄ ｓｌ－ａ ｐｔｖ ｌ ｏｒ ｈ ｏ
形成了一个具有 深刻理论背景 又非常 实用 的研 究方 向 ： 测量技术 的理论与应用研究 。 软
常用数字滤波算法
常用数字滤波算法
常用的数字滤波算法包括：
1. 移动平均滤波（Moving Average Filter）：通过对一段时间内的
样本值取平均值来减小噪音的影响。
2. 中值滤波（Median Filter）：通过将一组样本值按大小排序，然
后选择中间值作为滤波结果，从而去除异常值的影响。
3. 限幅滤波（Clipping Filter）：将样本值限制在一个给定范围内，超出范围的值被替换为边界值，从而去除异常值的影响。
4. 卡尔曼滤波（Kalman Filter）：基于状态估计的滤波算法，使用
模型预测和观测值校正的方式，适用于动态系统的滤波和估计。
5. 维纳滤波（Wiener Filter）：根据信噪比的估计，利用频域的自
相关函数和谱估计对信号进行滤波，适用于去除加性噪声。
6. 自适应滤波（Adaptive Filter）：根据输入信号的统计特性不断
更新滤波器参数，以动态调整滤波器的性能，适用于非平稳信号的滤波。
7. 快速傅里叶变换滤波（FFT Filter）：通过将时域信号转换为频
域信号，滤除不需要的频率分量，然后再将频域信号转换回时域信号。
这些算法可以根据具体应用的需要选择合适的滤波方法。
一种基于Kalman滤波器的自适应背景建模改进算法
传感器与微系统 （ ｒｎｄ ｃｒ ｎ ｉｒ ｙｔ ｅｈ ｏ ｇ ｓ Ｔａｓｕｅ ａｄＭ ｃｏ ｓ ｍ Ｔｃ ｎｌ ｉ ） ｓ ｅ ｏｅ
２１ ０２年 第 ３ 卷 第 １期 １
一
种 基 于 Ｋａｍａ ｌ ｎ滤 波器 的 自适 应 背 景 建 模 改进 算 法
伍健 荣 杜 向龙 刘 海涛 ， ，
（ ． 国 科 学 院 上 海微 系统 与信 息技 术 研 究所 无 线 传 感 器 网络 与 通 信 重 点 实 验 室 。 海 ２ ０ ５ １中 上 ００ ０ ２ 无锡 物 联 网产 业 研 究 院 。 苏 无锡 ２４ ３ ） ． 江 １ １５
摘 要 ：基于传统 Ｋ ｌ ａ ａ ｎ滤波器理论的背景建模方法 ， ｍ 不能很好地解决 目标 缓慢 运动导致背景模型 出现 拖影 的问题 。针对该问题 ， 出了一种结合 Ｋ ｌ ａ 提 ａ ｎ滤波器理论与动态区域重构的 自适 应背景建模改进算 ｍ
ｄ ｐｙｔ ＝Ｉ ，， ） ； ｔ Ｉ （ ，， ） ｚ ｙｔ 一 （ ， ） ， ｃ （ ，
（） ７
式 中 ｃ ，， ） （ ｙ ｔ 为基 于 Ｋ ｌａ ａ ｎ滤波器背 景模型 估计 的前 ｍ
景标识 ， 为前景 因子 ， Ｏ ｔ 为背景 因子 ， （ 为前景分 割的 ｔ） 阈值 。Ｏ是在 ｄ ， ， ） ｈ ｔ） ／ （ Ｙ ｔ ＞Ｔ （ 的情况下 的 Ｋ ｌａ ａ ｎ增益 ， ｍ 决定 了当前 帧 图像 前 景 更 新 到背 景 模 型 的 速度 ； 是 在 ３ ／ ｄ ， ， ） ｈ ｔ） （ Ｙ ｔ ≤Ｔ （ 的情况下的 Ｋ ｌ ａ 增 益 ， ａｍ ｎ 决定 了当前 帧 图像背景更新到背景模 型的速 度。Ｏ与 的选择 决定 了背 ／ 景模型 的 自适应性 ， 了让运 动 区域 能够从 背景 中有效地 为 分割 出来 ， 必须足够小 ， 但如果太小会影 响背景模型 的环境 自适应性 ， 实验中一般设置 ／ 比 Ｏ大 １ ３ ／ 个数量级 。
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的强大工具，它在许多领域都有着广泛的应用，包括航空航天、自动控制、金融领域等。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和应用，并探讨其在状态估计模型中的重要性。
首先，让我们了解一下卡尔曼滤波的基本原理。
卡尔曼滤波是一种递归的状态估计方法，它通过将系统的动态模型和测量模型结合起来，不断地更新对系统状态的估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统的动态模型来预测下一个时刻的状态，然后利用测量值来修正这一预测，从而得到对系统真实状态的更准确估计。
在实际应用中，卡尔曼滤波通常用于处理带有噪声的传感器数据，以及对系统状态进行估计。
例如，在飞行器导航系统中，卡尔曼滤波可以用来估计飞行器的位置和速度，从而实现精确的导航控制。
在自动驾驶汽车中，卡尔曼滤波可以用来融合来自不同传感器的数据，以实现对车辆位置和周围环境的准确估计。
除了在航空航天和自动控制领域的应用外，卡尔曼滤波在金融领域也有着重要的应用。
例如，它可以用来对金融市场的波动进行
预测，从而帮助投资者做出更明智的决策。
总之，卡尔曼滤波是一种强大的状态估计方法，它在许多领域
都有着广泛的应用。
通过结合系统动态模型和测量模型，卡尔曼滤
波可以对系统状态进行准确的估计，从而为实际应用提供了重要的
支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解卡尔曼滤波的原理和应用，并在实际工程中加以应用。
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波是一种用于状态估计的强大工具，它在许多现代科
学和工程领域中都得到了广泛的应用。
这种滤波器能够从一系列不
完全、噪声干扰的测量中，估计出系统的真实状态。
它的应用范围
包括但不限于航空航天、导航、无人机、自动控制系统和金融领域。
卡尔曼滤波的核心思想是通过将先验信息（系统的动态模型）
和测量信息（传感器测量）进行融合，来估计系统的真实状态。
它
能够有效地处理测量噪声和模型不确定性，并且能够提供对系统状
态的最优估计。
卡尔曼滤波的工作原理是通过不断地更新系统状态的估计值，
以使其与实际状态尽可能接近。
它通过两个主要步骤实现这一目标，预测和更新。
在预测步骤中，根据系统的动态模型和先验信息，估
计系统的下一个状态。
在更新步骤中，根据测量信息，修正先前的
状态估计，以获得最优的系统状态估计。
卡尔曼滤波的优势在于它能够在计算复杂度相对较低的情况下，提供对系统状态的最优估计。
它还能够有效地处理非线性系统，并
且能够适应不同类型的测量噪声。
总的来说，卡尔曼滤波是一种强大的状态估计工具，它在许多现代应用中都发挥着重要作用。
通过将先验信息和测量信息进行融合，它能够提供对系统状态的最优估计，为科学和工程领域的研究和应用提供了重要的支持。
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器（Kalman Filter）的五个公式如下：
1. 预测状态：
x̂_k = F_k * x̂_k-1 + B_k * u_k
其中，x̂_k为当前时刻k的状态估计值，F_k为状态转移矩阵，x̂_k-1为上一时刻k-1的状态估计值，B_k为外部输入矩阵，u_k为外部输入。
2. 预测误差协方差：
P_k = F_k * P_k-1 * F_k^T + Q_k
其中，P_k为当前时刻k的状态估计误差协方差矩阵，P_k-1为上一时刻k-1的状态估计误差协方差矩阵，Q_k为系统过程噪声的协方差矩阵。
3. 计算卡尔曼增益：
K_k = P_k * H_k^T * (H_k * P_k * H_k^T + R_k)^-1
其中，K_k为当前时刻k的卡尔曼增益矩阵，H_k为观测矩阵，R_k为观测噪声的协方差矩阵。
4. 更新状态估计值：
x̂_k = x̂_k + K_k * (z_k - H_k * x̂_k)
其中，z_k为当前时刻k的观测值。
5. 更新状态估计误差协方差：
P_k = (I - K_k * H_k) * P_k
其中，I为单位矩阵。
基于卡尔曼滤波器的扰动补偿控制研究
(9) Q是过程噪声协方差矩阵，R是观 测噪声协方差矩阵。其中的初始状态 向量x0表述为具有均值x0，方差P0的高 斯随机向量。其中 w k 和 v k 不相关，并 且与x0互不相关。其中的协方差矩阵Q 和R取值：
qθ Q=0 0 0 qω 0 0 0 qτ d
ˈR
= [r ]
图4 补偿前后内框的角位置误差曲线 （中框200 /s） 表1 波形失真度试验结果 状态 频率/Hz 0.5 0.5 1 1 5 5 幅值/(o) 0.02 0.10 0.02 0.10 0.02 0.10 失真度 无扰动补偿 有扰动补偿
2010/3
* 航空科学基金资助项目（2007ZD43002）
航空科学技术
AERONAUTICAL SCIENCE & TECHNOLOGY
39
航空科学基金 Aeronautical Science Fund Science Fund 航空科学基金 Aeronautical
xk +1 = Axk + Bu k + Gwk y k = Cx k + vk
(10)
测量噪声的协方差矩阵 R 和系统 状态初值的统计特性参数可以通过观 测和分析得到，难确定的是过程激励 噪声的协方差Q。如果R和Q为常值， 则 卡 尔 曼 增 益 K k将 收 敛 并 保 持 为 常 量，在这种情况下，相应滤波器系数
卡尔曼滤波器用反馈控制的方法 估计过程状态：滤波器估计过程某一 时刻的状态，然后以（含噪声的）测 量变量的方式获得反馈。因此卡尔曼 滤波器可分为两个部分：时间更新方 程和测量更新方程。时间更新方程负 责及时向前推算当前状态变量和误差 协方差估计的值，以便为下一个时间 状态构造先验估计。测量更新方程负 责反馈——也就是说，它将先验估计 和新的测量变量结合以构造改进的后 验估计。 预测估计方程
基于Kalman滤波器的卫星钟差预报精度分析
基于Kalman滤波器的卫星钟差预报精度分析刘建成;杨睿峰;徐赟;王茂磊;桑怀胜【摘要】Kalman滤波器稳态条件下的卫星钟差预报精度可作为评估星地时间同步性能的重要依据,研究了基于Kalman滤波器的卫星钟差预报精度问题。
在卫星钟差包括3阶白噪声情况下,建立了卫星钟差的状态方程和测量方程,利用离散Riccati方程的非递归代数解,得到了Kalman滤波器的稳态解,进一步得到了卫星钟差预报误差,做了典型参数情况下的数值分析。
%Prediction errors of Kalman filter of satellite clock offset prediction in steadystate condition is taken as an important aspect for performance evaluation of satellite-ground time synchronization, so prediction precision of satellite clock offset based on Kalman filter is studied. In the case of three order white noise of satellite clock offset, the state equation and the measurement equation of satellite clock offset are established, the closed-form steadystate solution is derived by non-recursive solution for the discrete Riccati equation, then the prediction error of satellite clock offset is derived. Finally numerical calculation is done in the case of typical parameters.【期刊名称】《全球定位系统》【年(卷),期】2012(037)004【总页数】5页(P1-5)【关键词】钟差预报;Kalman滤波器;稳态解【作者】刘建成;杨睿峰;徐赟;王茂磊;桑怀胜【作者单位】北京环球信息应用开发中心,北京100094;北京环球信息应用开发中心,北京100094;北京环球信息应用开发中心,北京100094;北京环球信息应用开发中心,北京100094;北京环球信息应用开发中心,北京100094【正文语种】中文【中图分类】P228.40 引言星地时间同步技术对卫星导航系统的导航、授时以及定位精度有着直接的影响。
卡尔曼滤波在电池状态预估中的鲁棒性分析
《电动汽车科技发展“十二五”专项规划》 的提出，对国 内电动汽车“三纵三横”领域的相关技术制定了相关标准。动 力电池作为“三横”领域的重点发展对象，“十二五”专项规 划对其循环寿命、能量密度、功率密度及允许承受最大脉冲充 放电等相关性能提出了更高的要求，并且随着动力电池性能的 提升，电动汽车在对动力电池的使用及使用模式的转换方面拥 有了更大的自由度，同时也给电池管理系统在动力电池状态估 计上造成了相对的难度。由于卡尔曼滤波 （Kalman Filter， KF） 算法是对随机状态空间模型导出的线性动态系统状态的 最小方差估计[1]，并且是具有递归结构的有限维离散时间系 统，适合运用数字处理单元实现，因此目前广泛应用于动力 电池状态估计领域。
时间（s）
（a） 1C （60 A） 恒流放电阶段
时间（s）
（b） 1C （60 A） 恒流充电阶段
时间（s）
（c） SOC=1，1C （60 A） 脉冲放电阶段
电池模型精度及速度的关系，本文选取文献 ［7］ 所提出的一
阶滞后效应等效电路模型作为 KF 算法中的状态方程及测量方
程，如公式 （1） ～ （3） 所示。
蓘 蓡 蓘 蓡 蓘 蓡 hk+1
z k+1
＝
F（ik） 0 01
hk zk
杉山
0
山
＋
山
山 山 山 山 删山
-
浊i吟t Cn
蓘 蓡 ik
M（z，z）
企业技术实践
2018 年第 3 期（总第 437 期）
卡尔曼滤波在电池状态预估中的鲁棒性分析
赵奕凡 （上汽通用五菱汽车股份有限公司，广西 柳州 545007）
【摘 要】卡尔曼滤波器是基于状态空间模型的最小方差估计，广泛应用于动力电池状态估 计领域。而在实际运用中，运用卡尔曼滤波 a 算法对动力电池状态进行估算的结果通常会 出现发散的现象。为了解决这一问题，文章从算法的发散根源出发，根据不同的发散因 子，提出相应的改进措施，确保卡尔曼滤波的鲁棒性，并以扩展卡尔曼滤波估算动力电池 的电荷状态为例，通过算法改进前后的结果对比，验证了改进算法的有效性，同时也为无 迹卡尔曼滤波、中心差分滤波、高斯埃尔米特滤波等相关算法的鲁棒性改进提供了理论指 导与参考。 【关键词】卡尔曼滤波；动力电池；状态预估；收敛；发散 【中图分类号】TN713 【文献标识码】A 【文章编号】1674-0688（2018）03-0166-05
卡尔曼滤波算法(含详细推导)
y ( n ) y ( n y ( 1 ),..., y ( n 1 )) ˆ ˆ 1
（1）、新息过程的性质 y(n)的新息过程定义为：
def
( n ) y ( n ) y ( n )......... .( 6 ) ˆ 1
(n ) 表示观测数据y(n)的新的信息，简称新息。 式中，N 1向量
2、新息过程
新息 (n) 具有以下性质： 性质1 n时刻的新息 (n) 与所有过去的观测数据y(1), ...， y(n-1)正交，即：
E { ( n ) y( k )} 0 , 1 k n 1 .......( 7 )
H
E { ( n ) ( k )} 0 , 1 k n 1 ......... ( 8 )
将式（18）代入（19），并利用新息过程的正交性，得到
H H
E { x ( n 1 ) ( k )} W ( k ) E { ( k ) ( k )} 1 W ( k ) R ( k ) 1
由此可以求出权矩阵的表达式：
H 1 W ( k ) E { x ( n 1 ) ( k )} R (K)......... ...( 20 ) 1
H F ( n 1 , n ) E { x ( n ) ( k )}...... .( 22 )
将式（22）代入式（21）右边第一项（求和项），可将其 化简为：
H 1 E { x ( n 1 ) ( k ) } R (k) (k) k 1 n 1
F(n1 ,n ) E {x(n ) H (k)} R1(k) (k)
将式(27)代入式(24)，便得到kalman增益的计算公式如下：
Kalman滤波器的各种计算方法和平滑方法
其中： Rk diag R1k ,, Rrk
yk H k x k v k k ~ 0,Qk vk ~ 0, Rk
2. 滤波器初值 ˆ0 E x0 x
T x x S0 ˆ0 ˆ0 S0 E x0 x 0 3. 第 k 步时间更新方程
T K k Pk H k H k Pk H kT Rk T Pk H k Rk1 ˆk ˆk Fk 1 x x 1 Gk 1uk 1 prioristateestimate ˆk x ˆ k K k yk H k x ˆk x posterioristateestimate 1 T Pk I K k H k Pk I K k H k K k Rk K k T
其中 H ik 为 H k 的第 i 行。
ˆk ˆ rk (c) 可得后验状态估计值和协方差： x x , Pk Prk 当 Rk 是非对角阵且非时变对称正定阵时， 记为：Rk R 。 存在一个方阵 S 对 R 进 ˆ 1 行约旦分解有： R SRS ˆ 是由 R 的特征值组成的对角阵， S 是由 R 的特征向量组成的正交阵 其中 R
1i N U i, N P i, N D N , N i N 1, N 2, ,1 for j N 1, N 2, ,1
D j , j P j , j fori 1, 2, , N 0i j 1i j N U i, j P i , j D l , l U i, l U j , l l j 1 otherwise D j, j end end 其中 * i, j 表示*中第 i 行 j 列元素。
msckf原理
msckf原理MSCKF（Multi-State Constraint Kalman Filter）是一种多状态约束卡尔曼滤波器，用于实现对机器人或无人机等移动设备的高精度姿态和位置估计。
本文将介绍MSCKF的原理和应用，并探讨其在机器人导航和无人机飞行控制领域中的重要性。
我们来了解一下MSCKF的基本原理。
MSCKF是一种基于滤波器的状态估计算法，它通过融合多个传感器的测量信息，包括IMU（惯性测量单元）和视觉传感器等，来实现对机器人姿态和位置的估计。
与传统的扩展卡尔曼滤波器（EKF）相比，MSCKF通过引入多状态约束来提高姿态和位置的估计精度。
MSCKF的关键思想是通过约束条件将多个传感器的测量信息进行关联。
具体来说，它通过IMU的测量数据来预测机器人的状态，并利用视觉传感器的测量数据来进行误差补偿和状态更新。
同时，MSCKF还引入了特征点的约束条件，将视觉传感器的测量信息与IMU的测量信息进行关联，从而提高对机器人姿态和位置的估计精度。
MSCKF的优势在于它能够处理非线性和非高斯的系统模型和观测模型。
在实际应用中，机器人的运动往往是非线性和非高斯的，传统的EKF无法准确估计机器人的姿态和位置。
而MSCKF通过引入多状态约束和特征点的约束条件，能够更好地适应非线性和非高斯的系统模型和观测模型，提高姿态和位置的估计精度。
除了姿态和位置估计，MSCKF还可以用于机器人导航和无人机飞行控制等应用。
在机器人导航中，MSCKF可以实现对机器人在复杂环境中的精确定位和导航。
通过融合IMU和视觉传感器的测量信息，MSCKF可以提供准确的姿态和位置估计，从而实现机器人的自主导航和路径规划。
在无人机飞行控制中，MSCKF可以实现对无人机的精确姿态和位置控制。
通过融合IMU和视觉传感器的测量信息，MSCKF可以提供准确的姿态和位置反馈，从而实现无人机的稳定飞行和精确操控。
总结起来，MSCKF是一种多状态约束卡尔曼滤波器，通过融合多个传感器的测量信息，实现对机器人姿态和位置的高精度估计。
ckf公式
CKF（Cubature Kalman Filter）是一种基于卡尔曼滤波器的状态估计算法，它通过对非线性系统进行线性化来提高卡尔曼滤波器的性能。
下面我们将详细介绍CKF算法的数学原理及应用。
一、卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器是一种用于估计系统状态的算法，其主要思想是利用系统的观测值和控制量来对系统状态进行预测和更新。
卡尔曼滤波器主要由两个步骤组成：预测和更新。
预测步骤中，根据系统的动态模型和控制量，预测系统的状态，并计算出状态的协方差矩阵。
更新步骤中，根据观测量和预测值计算出卡尔曼增益，并用其来更新预测值和协方差矩阵。
二、CKF算法CKF算法是一种基于卡尔曼滤波器的非线性系统状态估计算法。
CKF算法通过对非线性系统进行线性化来提高卡尔曼滤波器的性能。
CKF算法采用多维高斯积分来对非线性函数进行近似，从而将非线性系统线性化。
CKF算法的数学原理如下：1. 卡尔曼滤波器模型假设系统状态为$x_k$，控制量为$u_k$，观测值为$z_k$。
则卡尔曼滤波器模型可以表示为：预测：$$\hat{x}_{k} = f(\hat{x}_{k-1},u_{k-1})$$$$P_{k} = F_{k-1} P_{k-1} F_{k-1}^T + Q_{k-1}$$更新：$$K_k = P_k H_k^T(H_k P_k H_k^T + R_k)^{-1}$$$$\hat{x}_k = \hat{x}_k + K_k(z_k - H_k \hat{x}_k)$$ $$P_k = (I - K_k H_k)P_k(I - K_k H_k)^T + K_k R_k K_k^T$$其中$f$为系统的动态模型，$F_{k-1}$为状态转移矩阵，$Q_{k-1}$为过程噪声协方差矩阵，$H_k$为观测矩阵，$R_k$为观测噪声协方差矩阵，$K_k$为卡尔曼增益，$\hat{x}_k$为估计值，$P_k$为估计协方差矩阵。
2. CKF算法CKF算法中，首先需要对非线性函数进行线性化，将非线性函数转化为多维高斯分布函数。
锂离子电池soc估算-扩展kalman滤波算法
锂离子电池SOC估算-扩展Kalman滤波算法随着电动汽车和可再生能源的快速发展，锂离子电池作为一种重要的储能设备，受到了广泛的关注。
在锂离子电池的管理系统中，状态的估计是十分重要的，而电池的状态包括了电量和电量对应的SOC即State of Charge。
如何准确地估算锂离子电池的SOC成为了近年来研究的热点之一。
扩展Kalman滤波（EKF）算法是一种常用的估计方法，它利用非线性系统的状态方程和观测方程，通过迭代计算来逼近真实系统的状态。
在锂离子电池SOC的估算中，EKF算法可以通过对电池模型的状态方程和观测方程进行非线性拟合，从而实现对SOC的准确估计。
本文主要分析了锂离子电池SOC估算中EKF算法的应用与改进，具体内容如下：一、锂离子电池SOC估算的背景和意义1. 锂离子电池作为储能设备在电动汽车、航空航天等领域具有重要作用；2. SOC作为电池的重要状态参数，对于电池的使用和管理具有重要意义；3. 准确的SOC估算可以提高电池的使用效率，延长电池的使用寿命，降低系统的故障率。
二、EKF算法的原理和应用1. EKF算法是一种基于线性近似的非线性系统状态估计方法，主要由状态方程和观测方程构成；2. 在锂离子电池SOC估算中，可以通过建立电池的状态方程和观测方程，利用EKF算法对电池的SOC进行估计；3. EKF算法的应用可以通过离散化模型和状态更新得到当前时刻的SOC值。
三、锂离子电池模型的建立1. 锂离子电池模型是SOC估算的基础，包括了电池的电化学特性和动态特性；2. 电池模型可以采用等效电路模型、基于粒子的模型或者电化学动力学模型等；3. 在建立电池模型时需要考虑电池的特性参数、充放电过程、温度变化等因素。
四、基于EKF算法的SOC估算方法1. EKF算法在SOC估算中的应用可以分为离线估算和在线估算两种方式；2. 离线估算是利用电池的历史数据进行参数辨识和模型拟合，得到电池的状态方程和观测方程；3. 在线估算是利用实时的电池数据进行状态更新，通过EKF算法实现对SOC的实时估算。
卡尔曼滤波在电池状态预估中的鲁棒性分析
卡尔曼滤波在电池状态预估中的鲁棒性分析作者：赵奕凡来源：《企业科技与发展》2018年第03期【摘要】卡尔曼滤波器是基于状态空间模型的最小方差估计，广泛应用于动力电池状态估计领域。
而在实际运用中，运用卡尔曼滤波a算法对动力电池状态进行估算的结果通常会出现发散的现象。
为了解决这一问题，文章从算法的发散根源出发，根据不同的发散因子，提出相应的改进措施，确保卡尔曼滤波的鲁棒性，并以扩展卡尔曼滤波估算动力电池的电荷状态为例，通过算法改进前后的结果对比，验证了改进算法的有效性，同时也为无迹卡尔曼滤波、中心差分滤波、高斯埃尔米特滤波等相关算法的鲁棒性改进提供了理论指导与参考。
【关键词】卡尔曼滤波；动力电池；状态预估；收敛；发散【中图分类号】TN713 【文献标识码】A 【文章编号】1674-0688（2018）03-0166-05《电动汽车科技发展“十二五”专项规划》的提出，对国内电动汽车“三纵三横”领域的相关技术制定了相关标准。
动力电池作为“三横”领域的重点发展对象，“十二五”专项规划对其循环寿命、能量密度、功率密度及允许承受最大脉冲充放电等相关性能提出了更高的要求，并且随着动力电池性能的提升，电动汽车在对动力电池的使用及使用模式的转换方面拥有了更大的自由度，同时也给电池管理系统在动力电池状态估计上造成了相对的难度。
由于卡尔曼滤波（Kalman Filter，KF）算法是对随机状态空间模型导出的线性动态系统状态的最小方差估计[1]，并且是具有递归结构的有限维离散时间系统，适合运用数字处理单元实现，因此目前广泛应用于动力电池状态估计领域。
经典的KF算法主要是针对动态系统线性模型中状态向量进行实时估计，而动力电池性能的多变性及运行环境的复杂性决定了模型的高度非线性。
为解决上述问题，文献[1-5]提出了运用扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）[1-3]、无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）[4-5]、中心差分卡尔曼滤波（Central Difference Kalman Filter，CD-KF）[4-5]、高斯埃尔米特滤波（Gaussian HermitianFiltering，GHF）[6]等算法实现动力电池状态的实时估计。
扩展卡尔曼滤波器的状态方程和观测方程
扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter，EKF）是一种针对非线性系统的估计方法。
它基于卡尔曼滤波器的框架，通过引入泰勒级数展开来近似非线性函数的线性化，从而实现对非线性系统的状态估计。
扩展卡尔曼滤波器的核心在于其状态方程和观测方程的非线性处理。
状态方程描述了系统状态随时间的演变。
对于非线性系统，状态方程通常可以表示为：x_k+1 = f(x_k, u_k)其中，x_k 表示k 时刻的系统状态，u_k 表示k 时刻的控制输入，f 是非线性状态转移函数。
扩展卡尔曼滤波器通过对 f 函数进行泰勒级数展开，并保留一阶项，得到近似的线性化状态方程：x_k+1 ≈ x_k + F_k(x_k - x_k−1) + w_k其中，F_k 是 f 函数在x_k 处的雅可比矩阵，w_k 表示过程噪声。
观测方程描述了系统状态与观测值之间的关系。
对于非线性系统，观测方程通常可以表示为：z_k = h(x_k)其中，z_k 表示k 时刻的观测值，h 是非线性观测函数。
同样地，扩展卡尔曼滤波器通过对h 函数进行泰勒级数展开，并保留一阶项，得到近似的线性化观测方程：z_k ≈ H_k x_k + v_k其中，H_k 是h 函数在x_k 处的雅可比矩阵，v_k 表示观测噪声。
扩展卡尔曼滤波器通过迭代更新状态估计值，实现对非线性系统的状态估计。
在每个时刻，它首先根据上一时刻的状态估计值和控制输入预测当前时刻的状态，然后结合当前时刻的观测值进行修正，得到当前时刻的状态估计值。
通过不断迭代，扩展卡尔曼滤波器能够逐渐逼近非线性系统的真实状态。
总之，扩展卡尔曼滤波器的状态方程和观测方程通过泰勒级数展开实现非线性函数的线性化，从而实现对非线性系统的状态估计。
这种方法在导航、控制、机器人等领域具有广泛的应用前景。
轨迹上离散点的角度平滑方法
轨迹上离散点的角度平滑方法在轨迹处理中，我们常常需要对轨迹数据进行平滑处理，以滤除数据中的噪点和抖动，使轨迹更加平滑、连续。
其中，经过离散化后的轨迹点的平滑处理方法，成为了轨迹处理的重要研究领域之一。
本文将从角度平滑的角度，介绍几种常见的离散点平滑方法：1. 三点平均法三点平均法是最简单的一种平滑方法。
其原理是对于每个轨迹点，取其前后若干个点的平均值，得到平滑后的点坐标。
这种方法的优点是简单易懂、处理速度较快，但其对于轨迹抖动的滤除效果有限，且存在数据丢失的问题。
2. B样条曲线平滑法B样条曲线平滑法是一种常见的曲线平滑方法。
其基本思想是将轨迹点插值成一条平滑的曲线，并在曲线上进行位置和方向的调整，以实现平滑效果。
这种方法可以平滑轨迹的整个形状，保留曲线的原有形态，并且处理后的轨迹仍为连续性较高的曲线。
3. 最小二乘平滑法最小二乘平滑法是一种基于优化的平滑方法。
其原理是利用最小二乘法求解出一条曲线，使该曲线与离散点之间的误差最小，从而实现平滑效果。
该方法可以根据不同的优化策略，对于不同的目标进行平滑处理。
但其处理过程复杂，缺点是对于较密集的离散点时，其滤除噪点的效果较差。
4. Kalman滤波器Kalman滤波器是一种基于状态估计的平滑方法。
其原理是通过状态估计来分离真实值与噪声，并根据卡尔曼滤波器的算法进行平滑处理。
这种方法的优点是可以适应不同的噪声分布和高维变量的情况，并且在处理轨迹中的重叠、交叉等情况时，效果较好。
综上所述，不同的离散点平滑方法各有其优缺点，可以根据具体情况选择合适的方法进行处理。
此外，还可以将不同的方法进行组合使用，以实现更好的轨迹平滑效果。
基于Kalman滤波器的故障诊断方法及其在铁道车辆中的应用
一
０
０
０
—１１ ２ ２
０
（ ＋ 五ｆ 一 ｚ ｃ） ２
一
ｃｆ ２ ２
０ ２ ｌ＋ ｃ
０
０ ０
０
０ ０
１１ 铁道 客 车垂 向模 型 ．
ｃｌ ｚ ｃ
２ １＋ Ｃ ０
本文采用 图 １ 所示 的 ４ 轴客 车垂向振动 的动力学 模型 ，其振动方程如下 ： ［ ｛ ｝ ｃ］ ｝ Ｋ］ Ｍ］ ＋［ ｛ ＋［
０
（） ７
（） ８
［ ］＝ Ｃｆ
０ ０ ｑ ０
Ｃ１
Ａ ： ｅ ＾
： ＿（Ａｔ一， 。 Ｔ ｅ ）
Ｏ
—
代人方 程 （ ）就 得 到 了如 下离散 化 的状态 方程 ６ ［ ｋ＋１ ］＝ Ａ ［ ］＋Ｂ ［ ］ ｘｋ ｕ ｋ
１２ 系统模 型 的验 证 ．
Ｃ １ ｌｌ Ｏ
２ ｌ Ｊｆ ｝２
维普资讯
１ ０
Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ ０ ０ ０ ｈ ０
Ｃ１
铁 道 机 车 车 辆
第 ２ 卷 ７
［ ｋ＋１ ］： ｅ ［ ］＋Ａ一（Ａ — １Ｂ ［ ］ Ａ ｋ ｅ ） ｕ ｋ 其 中 Ｔ ＝ｔ＋ 一ｔ，为采 样时 间 间隔 。令 ｋ １
，
［ ］＝
０
Ｍபைடு நூலகம் ０
［ ］： ｃ
０ ０ ０
０
１ １＋ Ｃ ２ ２ 五
０ ＿ ０ ， ｌ
０ ０ 一ｃ ０ ０
的运行故 障特别是 隐性故障进行预测。当由 Ｋｌａ 滤 ａ ｎ ｍ 波器得到的加权平方残差 Ｗ Ｓ ＳＲ超过某一 阈值 时 ， 故障警报就会响起Ｃ 。 ６ ］
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
华东理工大学
ECUST
KF Model - Algorithm
递推公式
如果没有误差，可以认为 则包含全部误差的信息，称为新息 (innovation) K为修正矩阵（ kalman增益），或称混合因 子 (Blend factor)
华东理工大学
ECUST
Blend factor Matrix
修正矩阵的形式有多种，其中一种为：
ECUST
Kalman Filtering
卡尔曼滤波是Kalman在线性最小方差估计的基础 上，提出的在数学结构上比较简单的而且是最优线 性递推滤波方法，具有计算量小、存储量低，实时 性高的优点。特别是对经历了初始滤波后的过渡状 态，滤波效果非常好。 卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则， 来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用 信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计 值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求 出现在时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机 运算。
华东理工大学
ECUST
卡尔曼滤波的实质是由量测值重构 系统的状态向量。它以“预测—实测— 修正”的顺序递推，根据系统的量测值 来消除随机干扰，再现系统的状态，或 根据系统的量测值从被污染的系统中恢 复系统的本来面目。
华东理工大学
ECUST
卡尔曼滤波特点
1. 卡尔曼滤波是解决状态空间模型估计与预测的有力工具之一 ，它不需存储历史数据，就能够从一系列的不完全以及包含噪 声的测量中，估计动态系统的状态。卡尔曼滤波是一种递归的 估计，即只要获知上一时刻状态的估计值以及当前状态的观测 值就可以计算出当前状态的估计值，因此不需要记录观测或者 估计的历史信息。 2. 时域内设计滤波器，适用于多维随机过程的估计； 3. 用状态方程描述状态变量的动态变化规律，信号可以是平稳 的，也可以是非平稳的； 4. 误差准则仍为均方误差最小准则。
华东理工大学
ECUST
Kalman Filtering - Advantages
简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm （最优化自回归数据处理算法）” 对于解决很大部分的问题，他是最优，效率 最高甚至是最有用的
华东理工大学
R 为观测噪声协方差。R->0 => K = 1/H
华东理工大学
ECUST
Discrete KF
(3) (1) (2) (4) (5)
华东理工大学
ECUST
Flow Chart
任意给定初值均可，但P!=0
华东理工大学
ECUST
Experiment
目标：
用KF估计一个常数（电压）
约束：
数据本身有误差（电压不稳） 观测有误差（电压表不准）
假设当前室内温度仅跟上一时刻有关
但变化中可能有噪声
温度计观测（摄氏－〉华氏）
读数会有误差
两种噪声相互无关 根据连续的观测值来推算实际温度变 化
华东理工大学
ECUST
Kalman Filtering – First Sight
KF是根据上一状态的估计值和当前状态的观 测值推出当前状态的估计值的滤波方法
华东理工大学
ECUST
为什么要用状态估计理论?
在许多实际问题中，由于随机过程的存在，常常不能 直接获得系统的状态参数，需要从夹杂着随机干扰的观测 信号中分离出系统的状态参数。例如，飞机在飞行过程中 所处的位置、速度等状态参数需要通过雷达或其它测量装 置进行观测，而雷达等测量装置也存在随机干扰，因此在 观测到飞机的位置、速度等信号中就夹杂着随机干扰，要 想正确地得到飞机的状态参数是不可能的，只能根据观测 到的信号来估计和预测飞机的状态，这就是估计问题。
ˆ 值x，从而实现最优控制u( x )的目的。
华东理工大学
ECUST
卡尔曼滤波形式
模型要求 卡尔曼滤波要求模型已知。即模型的结构与参 数已知，且随机向量的统计特征已知。 Yj 卡尔曼滤波分类 j 记 Y 的向量函数：
ˆ X (k / j ) = E[ X (k ) / Y j ]
为状态X(k)的估计量，分三种情况： 当k<j时，称为预测； 当k=j时，称为滤波； 当k>j时，称为平滑。
⎧ x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) ⎨ ⎩ y (k ) = Cx(k ) + Du (k )
x(k ) 表示 k 时刻的状态向量， (k) 表示 k 时刻的输 u
y 入向量，(k) 表示 k 时刻的输出向量。 A表示状态矩阵，B为控制矩阵或者输入矩阵，C 为观测矩阵，D为输入输出矩阵。
华东理工大学
ECUST
受噪声干扰的状态量是个随机量，不可 能测得精确值，但可对它进行一系列观测， 并依据一组观测值，按某种统计观点对它进 行估计。使估计值尽可能准确地接近真实值 ，这就是最优估计。真实值与估计值之差称 为估计误差。若估计值的数学期望与真实值 相等，这种估计称为无偏估计。
华东理工大学
华东理工大学
ECUST
卡尔曼滤波器与大多数我们常用的滤波器不 同之处，在于它是一种纯粹的时域滤波器， 不需要像低通滤波器等频域滤波器那样，需 要在频域设计再转换到时域实现。
华东理工大学
ECUST
卡尔曼滤波控制系统结构图
由于系统的状态x是不确定的，卡尔曼滤波器的任务 就是在有随机干扰w和噪声v的情况下给出系统状态x ˆ 的最优估算值 x ，它在统计意义下最接近状态的真
华东理工大学
ECUST
Analysis – Matrix Assignment
A=1，B=0，H=1 简化为：
w,v为高斯白噪声
华东理工大学
ECUST
Analysis – Time & Measure Update
测量更新
时间更新
华东理工大学
ECUST
Result - Estimation
华东理工大学
实际温度 温度变化转移 （通常没有） 温度计读数 摄氏度-〉华氏度 温度变化偏差 读数误差
B、uk 状态的控制量
华东理工大学
ECUST
KF Model - Definition
定义 为 先验状态估计， 后验状态估计值 先验误差和后验误差定义如下： 协方差： 为
卡尔曼滤波的任务：选择合适的 H ，使 Pk 取得估计
第五章、基于状态观测器的状态估计 第六章、基于Kalman滤波器（KF)的状态估 计 第七章、基于扩展Kalman滤波器（EKF)的 状态估计
华东理工大学
ECUST
准备知识
状态空间模型：在控制领域中，用输入向量、状态 向量和输出向量描述系统的一种方法，叫状态空间 模型。如下式
华东理工大学
ECUST
对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：你 根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（ 测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪 声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先你要根 据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为你 相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测 值是跟 k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的 高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时 刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的 不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5）。 然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设 是25度，同时该值的偏差是4度。
华东理工大学
ECUST
Signal Processing
数字滤波：通过一种算法排除可能的随机干 扰，提高检测精度的一种手段
线性系统 f(A+B) = f(A) + f(B) 数学方法处理 噪声信号输入-〉尽可能少噪声输出
华东理工大学
ECUST
应用
机器人导航、控制 传感器数据融合 雷达系统以及导弹追踪 计算机图像处理
华东理工大学
ECUST
从以上分析可以看出卡尔曼滤波就是在有随 机干扰和噪声的情况下，以线性最小方差估 计方法给出状态的最优估计值，卡尔曼滤波 是在统计的意义上给出最接近状态真值的估 计值。因此卡尔曼滤波在空间技术、测轨、 导航、拦截与通讯等方面获得了广泛的应用 。
华东理工大学
ECUST
第六章、基于Kalman滤波器（KF)的状态估计
华东理工大学
ECUST
从观测到的信号中估计出状态的估值，并且希 望估值与状态的真值越小越好， ˆ 即要求有： x (t ) − x (t ) = min 成立； 因此存在最优估计问题，这就是卡尔曼滤波。 卡尔曼滤波的最优估计需满足以下三个条件： ·无偏性，即估计值的均值等于状态的真值； ·估计的方差最小； ·实时性。
华东理工大学
ECUST
假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根 据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的， 也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温 度（假设我们用一分钟来做时间单位）。假设 你对你的经验不是100%的相信，可能会有上 下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪 声（White Gaussian Noise），也就是这 些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯 分配（Gaussian Distribution）。另外， 我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计 也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也 把这些偏差看成是高斯白噪声。
内容介绍：
背景简介 一个实际问题 算法描述 实验应用
华东理工大学
ECUST
Rudolf Emil Kalman
匈牙利数学家 BS&MS at MIT PhD at Columbia 博士论文及1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测 问题的新方法）