偶阶幻方的填法

偶阶幻方的填法

第一种：n=4*m+2, m为自然数

1)将n阶方阵分为四个小魔方阵ABCD如下排列：

B C

D A

因为n*n=4*(2*m+1)*(2*m+1),

记u=n/2=2*m+1,分为1~u*u,u*u+1~2*u*u,2*u*u+1~3*u*u,3*u*u+1~4*u*u

即在调用子函数的时候分别如下面传递参数:

A(0),B(u*u),C(2*u*u),D(3*u*u)

分别在ABCD中按照前面的填法把奇数阶填好(注意加上所传参数作为基数，每一个元素都要加上这个值)，最后做如下交换：

(1)B中第0~(m-1)-1行中元素与C中相对应元素交换

(2)D中第(n-1)-m+1~(n-1)共m行的每行中的元素与A中相对应元素交换

(3)交换D:(u+m,m)与A中对应元素(矩阵中心值)

(4)交换D:(n-1,m)与A中对应元素(实际为矩阵最大值n*n)

所谓对应位置，指相对于小魔方阵的左顶角的相对的行列位置。上面的这些你可以用数学进行证明，利用魔方阵常数(注意n阶的和u阶的关系)

第二种：n=4*m,m为自然数

因为行列都是4的倍数，因而可以将整个矩阵分为每4*4的小矩阵。

先判断一个数是否在划为4*4小矩阵的对角线上，

如果在，则填该位置的数为n*n-i+1(i为该元素的相对位置，从1开始，比如n阶的第s行第t个元素则其i=s*n+t)

如果不在，则填上i。

（4的倍数幻方，4，8，12可以。6、10是不行的。这样才有一般填法，4的方法是先画好格，连接对角线，这样有8格也就是一半的格子被斜线划过，然后从头到尾，数格子，没有斜线的格子就填上数的数，那么第一排就是1不填，2填，3填，4不填，第二排就是5填，6不填，7不填，8填

三四排一样，然后从尾到头数，填划了斜线的格子，就成4介幻方；8阶就是对角线画斜线外，相邻边的中点相连再画4条线，形状就如4个4阶幻方；12阶就是三等分点，画9个如四阶的。

没有图，不知有没有说清楚）

偶阶幻方分两类:

双偶数:四阶幻方，八阶幻方,....,4K阶幻方，

可用<对称交换法>,方法很简单:

1) 把自然数依次排成方阵

2) 把幻方划成4*4的小区,每个小区划对角线,

3) 把这些对角线所划到的数,保持不动,

4) 把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称的方式,进行对调,

幻方完成!

单偶数:六阶幻方，十阶幻方,....,4K+2阶幻方，

方法是很繁的,有一种称<同心方阵法>:

1) 把幻方分成两个区,一是边框一圈,二是里面一个双偶数方阵,

2) 把(3+8K)到(16K^2+8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵,

3) 把余下的数,在边上试填,调整到符合为止.

鉴达法--双偶阶幻方构造之V型定理

一、编者的话

有志不在年高，在数学面前人人平等！

当年仅十一岁的小朋友，原创性地提出“双偶阶幻方构造之V型定理”的时候，作为引导者，我非常震撼！甚至大胆认为，这是与“罗伯法”相媲美的解决双偶阶幻方的最完美的构造方法。尽管一方是名垂史册的大数学家，一方是正在成长的小学生，有理由相信，假以时日与扎实的学习，谢鉴达的未来一定也是大数学家，所以慎重命名为“鉴达法”！

二、作者原创

传统的双偶阶幻方都是把它分解成多个4阶幻方来解。

按传统的双偶阶幻方解法（8阶幻方）：

第一步（把自然数依次排成方阵）：

第二步（把幻方划成4×4的小区）：

第三步（将每个4×4的小区画上对角线）：

第四步（把这些4×4对角线所划到的数,保持不动）：

完成：

我的方法是：

第一步（把自然数依次排成方阵）：

第二步（先给8×8的幻方画上对角线，再画上蓝线）：

蓝色的线条是一个角，一共有 n阶幻方÷4－1＝蓝色线条条数第三步（将每两个没被线划到的数过中点交换）：

中点也就是红点完成：

三、美图赏析

1、8阶幻方

2、12阶幻方

3、16阶幻方

四、专家论证

我们有请学而思教育小奥团队的姜天斌先生对此定理进行严格证明。证明：

对于4n?4n的方阵，如图对其行列编号：

五、交流花絮

发件人：******@ [mailto：*****@] 发送时间：2007年8月31日13：06

收件人：*****************

主题：来自*****的邮件

春雷老师：

您好！

在奥数网上等待了许久，才很幸运地给孩子报上了您的春雷班。

孩子非常喜欢您的课，您的教学肯定充满了一种特殊的魅力。换方课后，孩子还得上英语，一回到家，孩子不顾一切地冲到计算机旁，开始了他的写作。吃饭、看电视、玩游戏全部抛在一边，一直到写完为止。

以前，他也有奇思妙想，督促让他写下来，却从没有实现。真不知道您是采用什么方法，使他如此投入。

非常感谢您带领的这次体验。

谢鉴达家长：熊华

2007.8.31发件人：侍春雷[mailto：*****************]

发送时间：2007年8月31日14：24

收件人：‘*****@’

主题：答复：来自*****的邮件

谢鉴达的妈妈，您好！

恭喜您，鉴达的前途不可限量，通过这件事，虽然不能推断一种速度，但是可以看出他的潜质．

有必要强调，他的发现可以说是“前无古人”，因为我的同事，一个北大数学系的硕士也是首次看到您孩子鉴达的这种构造双偶阶幻方的方法．这种方法，没有比它更简明的了，可以断言，这是双偶阶幻方中最漂亮的一种构造方法．

感谢您的溢美之辞，其实我只是做了我应该做的工作??引领他走进了一座美妙的数学花园，他却从中发现了大家从未见过的花朵，当然，他的汗水洒过花朵下的土壤．

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