高等数学第2版课件第3章 导数的应用

知x 2是函数的唯一一个极大值点. 所以函数的最大值即为此极大值，
最大值为f (2) 1.
思考
1.若函数 f (x)在[a,b]上是单调的， 如何求最值 ? 2.若函数 f (x)在[a,b]上是可导的， 且在(a, b)上只有一个极值， 如何求最值 ?
( 二 ) 函数的最值应用举例
在利用导数研究实际应用问题的最值时， 如果在(a,b)内函数f (x) 有唯一的驻点x0, 又从实际问题本身可以知道, 函数f (x)的 最大值或最小值必在区间(a, b)内部取得, 则 f (x0 ) 就是所要求的最大值或最小值.
可能的极值点：x1 1, x2 0, x3 1.
x (, 1) 1 (1, 0) 0 (0,1) 1 (1, )
f (x)
0
0 0
极小值 f (x)
0
f (0) 0,极小值； 没有极大值点和极大值
第三节 函数的最大值与最小值 一、函数的最值
y
如图
y f (x)
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
y
y
(0, )
注意
由以上例题可见，求函数 f (x) 单调区间 的一般步骤是:
（1）确定函数 f (x)的定义域
（2）求出f (x)的全部驻点（即使 f (x) 0 的x值）
和使f (x)不存在的点，并利用这些点 将定义区间分成若干个小区间； （3）列表讨论f (x)在所分小区间上的单调性。
例3 讨论函数 f (x) ex x 7 的单调区间．
[例1] 求lim(1+x) 1（为任意实数）
x0
x
[解] lim (1 x) 1
x0
x百度文库
lim (1 x) 1
x0
1
“ 0 ”型 0
1
[例2]
求极限
lim
x0
1
cos x2
x
“ 0 ”型 0
[解]
lim 1 cos x lim sin x
x x0
2
x0 2x
1 lim sin x 1
2 x0 x
2
[例3]
求极限 lim
2
arctan x
x
1
x
[解] 这 是 “ 0 ” 型
0
lim
x
2
arctan
1 x
x
lim x
1 1 x2 1 x2
x2
lim
x
x2
1
1
2、“ 型”未定式
定理3：设函数f (x)和g(x)在点x0的左右近 旁都有意义,且满足条件：
(1)lim f ( x) , lim g( x) ;
[例] 显然有lim cos x 1 x0 1 x
cos x
(cos x)
sin x
lim
lim
lim
0
x0 1 x x0 (1 x) x0 1
这显然是一个错误的结果!
第二节 函数的单调性与极值 一、函数单调性的判定
观察下列图形,能否发现其规律性?
f0
f0 f0
f0
函数单调性的判别方法
极大值
f (x)
4
3
f (1) 4 ,极大值; 3
极小值
12 f (3) 12,极小值
[例7] 求 f (x) (x2 1)3 1的极值.
[解] 函数f (x)的定义域为(, )
而 f (x) 3(x2 1)2 2x 6x(x 1)2 (x 1)2
令 f (x) 0, 得驻点x1 1, x2 0, x3 1 又，导数不存在的点没有。故有三个
❖
[例3] 设有一块边长为48cm的正方形铁皮，
(1)lim f ( x) 0, lim g( x) 0;
xa
xa
(2)在U0(a, )内, f ( x)和 g( x)存 在, 且 g( x) 0;
(3)lim f ( x) A (或), 则有 xa g( x)
lim f ( x) lim f ( x) A (或) xa g( x) xa g( x)
y
C
B
A
oa
bx
图3-1
拉格朗日（1736－1813），
法国籍意大利裔数学家和天文 学家。在数学、物理和天文等 领域做出了很多重大的贡献， 他的成就包括著名的拉格朗日 中值定理，创立了拉格朗日力 学等等。
近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或 间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认 为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。
则 lim f (x) 称为 型未定式
x g(x)
lim[ f (x) g(x)] “ ”未定式
x
lim[ f (x) g(x)] “0”未定式
x
lim [ f (x)]g(x) “1 ”“0 ”“00 ”未定式
x
1、 型0 未定式
0
定理2：设函数f (x)和g(x)在点x0的左右近旁 有意义, 且满足条件：
x0 sin x x x0 x sin x
lim 1 cos x x0 sin x x sin x
lim
sin x
0
x0 2 cos x x sin x
注意1： 0 或 型才可直接使用洛必 0
达法则, 其他未定式要先化成这两
种类型之一, 然后再用洛必达法则。
注意2：洛必达法则只说明
当lim f (x) A时,有lim f (x) A
则 lim f ( x) A g(x) B
如 果B 0, A 0,则 lim f ( x) 不 存 在 g( x)
如果 B A 0 四则运算法则不能用！
(1) 如果 lim f (x) 0, lim g(x) 0
则 lim f (x) x g(x)
称为0 型未定式 0
(2) 如果 lim f (x) , lim g(x)
内的单调性．
[解] 定义域： (, )
练一练
因为y 3x2，所以
对于任何不等于0的x，y恒为正值。
x (, 0)
0
(0, )
y
0
y
例2. 判断函数 y 1 在其定义域
x
内的单调性．
[解] 定义域： (, 0) (0, )
因为y 1 ，所以 x2
练一练
对于任何定义域内的x，y恒为负值。
x (, 0)
[解] 函数f (x)的定义域为(, )
而 f (x) x2 2x 3 (x 1)(x 3)
令 f (x) 0, 得驻点 x1 1, x2 3
又，导数不存在的点没有。故有两个 可能的极值点：x1 1, x2 3.
x (, 1) 1 (1, 3) 3 (3, )
f (x)
0
0
（2）若在点x0的左近旁有f (x) 0,在点x0的 右近旁有f (x) 0，则 f (x0 )是f (x)的极大值; （3）若在点x0的左右近旁有f (x)同号, 则 f (x)在x x0处无极值;
根据定义，结合下边图形，你 是否能对极值做几点说明?
y
o
x1 x2 x3 x4 x5
x
注意
第三章 导数的应用
第一节 拉格朗日定理 洛必达法则
一、拉格朗日(Lagrange )定理
定理1: 设函数f (x)满足条件：
(1)在闭区间[a, b]上连续;
(2)在开区间(a, b)内可微,
则在(a, b)内至少存在一点 , 使得
f (b) f (a) f ( )
ba
(a b)
拉格朗日中值定理可由下图来说明
定理1: 设函数 f (x)在闭区间a,b上连续，
在开区间(a, b)内可导． (1) 若在区间(a,b)内，f (x) 0，则函数 f (x) 在(a, b)内是单调递增的． (2) 若在区间(a,b)内，f (x) 0，则函数 f (x) 在(a, b)内是单调递减的．
例1. 判断函数 y x3 4 在其定义域
端点处的函数值为f (1) 10、f (2) 7. 所以函数在[1, 2]上的最大值为f (1) 2，
最小值为f (1) 10.
[例2] 求函数f (x) x2 4x 3的最大值.
[解] f (x)的定义域为(, )
f (x) 2x 4 2(x 2)
令 f (x) 0, 得驻点x 2 因：当x 2时, y 0；当x 2时, y 0.
ba
拉格朗日中值公式
二、洛必达法则
洛必达(1661-1704)法国的数学家，又音译为罗必塔。
洛必达的《无限小分析》(1696)一书是微积分学方面最 早的教科书，他最重要的著作是《阐明曲线的无穷小于 分析》(1696)，这本书是世界上第一本系统的微积分学 教科书，这对传播新创建的微积分理论起了很大的作用。
[解]
xn
lim
x
e
x
lim
x
nx n1 ex
n(n 1) xn2
lim x
ex
lim
x
enx！
0
“ ”型
[例5] 求极限 lim ln x x x 3
[解]
lim
x
ln x x3
lim
x
1 x
3x2
lim
x
1 3x3
0
“ ”型
3、其他未定型极限
(1) “0 ” “ ”
化为“0 ”或“ ”型
（3）比较所求出的极值和f (a)、f (b) 的大小，其中最大者为最大值， 最小者为最小值。
[例1] 求 f (x) x5 5x4 5x3 1在[1, 2]上的最值.
[解] f (x) 5x4 20x3 15x2 5x2 (x2 4x 3)
5x2 (x 1)(x 3)
令 f (x) 0, 在[1, 2]上得驻点x1 0, x2 1 得：驻点处的函数值为f (0) 1、f (1) 2，
拉格朗日中值定理的证明:
构造辅助函数
F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a) ba
容易验证 :F(x)在[a, b]上连续,在(a, b)内 可导,且 F(a) F(b).
由图知,在(a, b)内至少存在一点 , 使得其切线斜率为f ( )，并且与AB平行
所以有f ( ) f (b) f (a)
0
(2) “1 ”“00”“0”
取对数, 化为“0 ”或“ ”型
0
[例6] 求极限 lim xex x
[解]
lim xex
x
lim
x
x ex
lim 1 0 e x x
“”
“0 • ”型
[例7] 求 lim( 1 1) x0 sin x x
“ ”型
[解]
11
x sin x
lim( ) lim
注意
（1）最大值与最小值统称为最值； （2）极值是一个局部性的概念，
而最值是一个整体性的概念； （3）最值可能在区间内取得，
也可能在区间端点处取得。
可见
求函数 f (x) 在[a,b]上的最值的一般步骤是:
（1）求出函数 f (x)在定义区间内的所有 极值（或可能极值点处的函数值）；
（2）求出函数f (x)在区间端点处的 函数值f (a)、f (b)；
在书中第九章记载了瑞士数学家约翰‧伯努利发现并在 1694年7月22日告诉他的一个著名定理：洛必达法则， 即求一个分式当分子和分母都趋于零时的极限的法则。 后人误以为是他的发明，故洛必达法则之名沿用至今。
现在，洛必达法则也被叫作伯努利法则 。
回忆极限的四则运算法则:
如果 lim f (x) A, lim g(x) B 且 B 0
例4 讨论函数 f (x) x3 6x2 9x 5
的单调区间．
例5 讨论函数 f (x) 3 (x 1)2的单调区间．
二、函数的极值
定理3 (极值存在的充分条件)
设函数f (x) 在点 x0处连续，在x0的近旁可导
（1）若在点x0的左近旁有f (x) 0,在点x0的 右近旁有f (x) 0，则 f (x0 )是f (x)的极小值;
xa
xa
(2)在U0(a, )内, f ( x)和 g( x) 存 在, 且 g( x) 0;
(3)lim f ( x) A (或), 则有 xa g( x)
lim f ( x) lim f ( x) A (或) xa g( x) xa g( x)
[例4] 求极限 lim xn (n N ) e x x
g(x)
g(x)
当lim f (x) 不存在时,并不能断定 g ( x)
lim f (x) 不存在.只能说明这时不能 g(x)
使用洛必达法则.
例 如 lim x sin x lim(1 sin x ) 1
x
x
x
x
而 lim x sin x lim(1 cos x)不存在！
x
x
x
注意3：只有未定式才能使用洛必达法则, 非未定式极限应使用极限运算法则来处理. 有些未定式,使用多次洛必达法则之后,已经 成为非未定式极限, 就不能再使用洛必达法 则了.
求函数 f (x) 极值点和极值的一般步骤是:
（1）确定函数 f (x)的定义域； （2）求出导函数f (x)，在定义域内确定
驻点和f (x)不存在的点； （3）利用定理，列表讨论确定f (x)的极值点； （4）将极值点代入函数 f (x)，求出极值。
[例6] 求 f (x) 1 x3 x2 3x 3的极值. 3