归纳推理与类比推理

归纳推理与类比推理阅读材料

先观察一个例子：

1

910994481114711461

4544111311211+==+=+++=++=+==++=+==

不难发现，从1到10，其中只有7需要用4个平方数（即4=22，1=12）来表示，其余的用一个，两个或三个就够了。由此，人们很自然就会概括出一个结论：对任何一个正整数，或者本身是平方数，或者总是两个、三个或四个平方数之和。首次提出这一命题的是G.B.德·梅齐里亚克（Bachet de meziriac 法国数学家 1581一1638 ），他一直试到325，都未发现反例。由此他相信，上述概括出的结论很可能是正确的。他的发现就是运用归纳推理获得的。这种由一类事物中个别（或部分）事物具有某种属性，推断该类事物中每一个对象都具有该属性的推理，称为归纳推理。归纳推理的一个重要特征是：从部分推断整体，由个别到一般，结论的对象范围超出了已知的对象范围。

在人类认识中，归纳具有十分重要的作用。首先，归纳是人们获得知识的基础。其次，大数学家欧拉说过：“今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的……这类仅从观察为旁证而仍未被证明的知识……是通常所说的用归纳所获得的。”法国数学家拉普拉斯则断言：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”德国天才数学家高斯（Guass ）宣称：“在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。”但是，归纳推理得出的结论不一定是正确的。

几个有名的归纳推理例子： 例1

1131475125510538336224+=+=+=+=+=+= 这是德国数学家哥德巴赫提出的猜想：“所有大于或等于4的偶数都可以写成两个素数之和”这个猜想至今没有得到证明。

例2

65537122571217125124

3

2

1

2222=+=+=+=+

费尔马猜想：“形如122

+n

（n 为正整数）的数都是素数”。瑞士数学家欧拉在验证5

=n 时发现670041764112

5

2⨯=+，推翻了费尔马的猜想。实际上，经后来检验

1212128

7

6

222+++，，也都不是素数。这个例子告诉我们，归纳推理得到的结论有的正确有

的不正确。 例3

微积分的创始人之一德国数学家莱布尼茨证明：对于所有的正整数n ，n n -3

都能被3整除，

n n -5都能被5整除，n n -7都能被7整除。他推测，对于所有的正奇数k ，n n k -都

能被k 整除。这个猜想对不对呢？不久，他就发现510229

=-不能被9整除。

例4

笛卡尔有一部未完成的著作《思想的法则》，这是一本传授如何发现的经典著作。书中有这样一段重要的话：“为了用列举法证明圆的周长比任何具有相同面积的其他图形的周长都小，我们不必全部考察所有可能的图形，只需对几个特殊的图形进行证明，结合运用归纳法，就可以得到与对所有其他图形都进行证明得出同样的结论。”为了理解笛卡尔的话，我们考察一部分图形，并假定它们的面积相同，都是一平方米

图形的周长表

圆 3.55 正方形 4.00 四分之一圆 4.03 矩形3:2 4.08 半圆 4.10 六分之一圆 4.21 矩形2:1 4.24 等边三角形 4.56 矩形3:1

4.64

等腰直角三角形

4.84

这就是等周定理：具有相同面积的所有平面图形中，圆具有最小的周长。古人认为，圆是最完美的图形。现在知道，这句话还有更深刻的数学意义。等周定理在数学史上占有重要的地位。他对数学的一个重要分支——变分法的诞生和发展起了重要作用。很多数学家都研究过这个问题，并给出了各种不同的解法。

例5

在一个凸多面体中，顶点数（V ）、棱数(E)、面数(F)的关系:2=-+E F V ，这就是著名的欧拉公式。欧拉从几个多面体具有的性质猜想并证明了所有的凸多面体都具有这个性质

类比推理：由于两类不同事物在某些属性上相同或相似，在此基础上，根据一类事物的其他特征，推断另一类事物也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。类比推理是两类事物特征之间的推理。但是，利用类比推理得出的结论不一定是正确的。

类比是一种相似，即类比的对象在某些部分或关系上是相似的。考虑两个系统，如果他们各自的部分之间，可以清楚地定义一些关系，在这些关系上，它们具有共性，那么，这两个系统就可以类比。

类比的重要性在于，它是创造的源泉。开普勒说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的奥秘，……”在文学作品与科学中都充满了类比。类比用得好，在文学中可使文章大为生色，在科学研究中可引出新的发明。

在科学中借助类比发现新猜想、新结论、新定理的例子很多。例如，从自然数扩充到整数，分数、实数、复数等。通过类比，整数的运算法则逐渐扩大到更大的数域中去了。

例1 线段，三角形与四面体

线段是直线（1维空间）上最简单的封闭图形，它由两点围成。

三角形是平面（2维空间）上最简单的封闭图形，它由三条线段围成；在平面上两条线段围不成封闭图形。

四面体是空间（3维空间）上最简单的封闭图形，它由四个平面围成；在空间三个平面围不成封闭图形。

这三种图形之间可以类比，这种类比是在不同维数的空间之间进行的。如果我们把线段叫1维单形，三角形叫2维单形，四面体叫3维单形，那么，单形的概念就可以推广到高维空间中去了。例如我们可以考虑4维单形、5维单形，等等。

例2

长方形与长方体

长方形的每一个边恰与对边平行，而与其余的边垂直。

长方体的每一个面恰与对面平行，而与其余的面垂直。

这两种几何图形可以建立类比关系。我们还可以将这种类比一般化。把边称为长方形的边界元素。把面称为长方体的边界元素。据此，我们可以把前面的两个描述合而为一：每一个边界元素恰与相对的边界元素平行，而与其余的边界元素垂直。这样，我们将所比较的两个系统的对象的某些共同关系表达了出来。这两个系统的类比存在于关系的共性之中。并且，这种类比还可以推广到高维空间。

最后需要指出，最精确的类比是数学中定义的同态和同构。

例3

多项式理论是在于整数理论类比的基础上建立的：

整数多项式

加、减、乘加、减、乘

带余除法带余除法

算术基本定理代数基本定理

把整数的理论学透了，再学多项式的理论就不会感到突然，而是自然地事情了。

当然，类比不是等同，不能期望两个不同领域的对象具有完全相同的运算规则和定理。例如，把数的运算推广到多项式时，必然会遇到新的情况，也会出现新的定理。

例4

求均匀四面体的重心

这个问题阿基米德已经解决，它有一定的难度，特别在阿

基米德时代。

如何解？我们采用类比于特殊化的方法。首先借助类比将

其简化，或特殊化。比四面体更简单的几何图形是组成它的面

——三角形，问题简化为求均匀三角形的重心。如果均匀三角

形的重心不会求，我们就再简化，简化为三角形的一边，这是