矩阵应用

≤ 2000 ≤ 3000
，
⎪⎩ X1, X 2 ≥ 0
用单纯形法，引进松弛变量 X J ≥ 0( j = 3,4,5) 令 s = −s' ，即可得单纯形矩形迭代表. 迭代表：
X1
X2
X3
X4
X5
X3
9401
0
3600
X4
4501
0
2000
X5
3 (10) 0 0
1
3000
S'
70 120 0 0
元.第三年收入 2.0 亿元，支出 1.8 亿元.用过这组数据来研究支出和收入的关系.
根据这一组统计数字求出 a, b .将 u, v 的值代入 u = a + bv 中，得到一个以 a, b 为 未知数的三个方程式的矛盾线性方程组.
数据表：
年
1
2
3
u
1.6
1.7
2.0
v
1.2
1.4
1.8
根据矛盾线性方程组建立矩阵：
在《线性代数》和《高等代数》中主要讨论矩阵加减法、数乘、乘法、转置、 矩阵的逆等运算.这些运算不仅符合数学逻辑，而且在现实生活中都有其实际意义.
在一般的《线性代数》和《高等代数》的教材中，对矩阵的运算都进行了较详 细的介绍.但是，在解决实际问题时，常常不仅要用到矩阵的运算方法，还要涉及 行列式、线性方程组等诸多知识点，这常常使学习者觉得无从下手.因此，对矩阵 在现实生活中的应用进行总结和整理是十分必要的.
1.2 研究矩阵在现实生活中的应用的意义 对矩阵在现实生活中的应用进行讨论、归纳、总结是一件非常有意义的事情. 1、通过对矩阵在现实生活中的应用进行总结和整理，可以加深对矩阵的理解 和认识，从而对深刻理解矩阵的加减法、数乘、乘法、转置和矩阵的逆等运算的内 容有很大的帮助. 2、可以将矩阵的知识熟练地应用在《数值分析》、《运筹学》等相关学科中， 有助于今后解决某些跨学科综合性的问题.
A
9吨
B
4吨
C
3吨
我们就可以用矩阵：
乙
4吨 5吨 10 吨
计划期预备原料
3600 吨 2000 吨 3000 吨
⎛ 9 4 3600 ⎞
⎜ ⎜⎜⎝
4 3
wenku.baidu.com
5 10
2000 3000
⎟ ⎟⎟⎠
，
来表示这些复杂的数据.若给出产品的单价向量 P (单位：千克／件)，原材料，
成本的向量 C (单位：千元／吨)， X 是订单向量(单位：件).
0.5 1.0
2.0 2.0
0.5 0.8
⎟ ⎟⎟⎠
,b
=
⎜⎜⎜⎝19000
⎟ ⎟⎟⎠
建立饲料每公斤营养成分含量矩阵， P1, P2, P3, P4 分别代表四种饲料:
⎛ 3.0⎞ ⎛ 2.0⎞ ⎛ 6.0 ⎞ ⎛1.0 ⎞
P1
=
⎜ ⎜
1.0
⎟ ⎟
,
P2
=
⎜ ⎜
0.5
⎟ ⎟
,
P3
=
⎜ ⎜
2.0 ⎟⎟
500 240
⎟
⎟ ⎟
⎯⎯→
⎜ ⎝
70
120
0
0
0
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
34
0
0
0
−1.2
−3600
⎟ ⎠
⎛ 0 0 1 −3.12 1.16 840 ⎞
⎜ ⎜
1
0
0
0.4
−0.2
200
⎟ ⎟.
⎜ 0 1 0 −0.12 −0.16 240 ⎟
⎜ ⎝
0
0
0
−13.6
−5.2
−42800 ⎟⎠
通过对表中的数据进行分析，我们就可得出以下结果：当生产甲、乙两种产品
矩阵的运算及其在现实生活中的应用
摘要
论文研究目的是初步探讨矩阵的运算如何运用在现实生活当中，并找出几种矩 阵的应用方法.
论文研究方法就是通过对文献的总结和比较，在文献中进行筛选. 论文研究结论如下：本论文在第一部分，利用矩阵的乘法和转置的方法求线性 规划问题中的最优解；第二部分，利用矩阵乘法、转置和矩阵的逆的方法求解矛盾 线性方程组的最小二乘解；第三部分是利用矩阵乘法、减法和矩阵的逆的方法求线 性规划的最优解；第四部分利用矩阵加法、减法和矩阵转置的方法计算投入产出分 析中的直接消耗系数和完全消耗系数；第五部分利用矩阵减法实现矩阵在企业设备 更新中的应用；第六部分利用矩阵乘法和减法实现矩阵在产品成本核算中应用. 论文研究结果最终得出这六种矩阵的运算在现实生活中应用的方法. 相信读 者看完之后会对矩阵的运算有个更深的理解，对它在现实生活中的应用会有很熟练 的掌握，在类似相关问题时会有更清晰的思路.
下表所示： 饲料
蛋白质（克） 矿物质（克） 维生素（毫克） 价格（元/斤）
1
3
1
0.5
0.2
2
2
0.5
1
0.7
3
6
2
2
0.3
4
1
0.5
0.8
0.4
要求既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料方案.
设 4 种饲料分别需要 x1, x2 , x3, x4 斤，则数学模型为：
⎧ 3x1 + 2x2 + 6x3 + x4 = 300
⎧ a11x1 + a12 x2 +L + a1n xn = b1
⎪⎪ ⎨ ⎪
a21x1
+
a22 x2 +L + LLL
a2n xn
=
b2
，
⎩⎪am1x1 + am2 x2 +L + amn xn = bm
其矩阵形式 AX = b .
“最小二乘解”的问题是：
矩阵的运算及其在现实生活中的应用
mn
∑ ∑ 求 X ，使 ( aij x j − bi )2 最小 i=1 i=1
矩阵的运算及其在现实生活中的应用
第二章
2.1 利用矩阵求利润问题
利用矩阵的方法求线性规划问题中的最优解. 一个工厂生产甲、乙两种产品，需用 A, B,C 三种原料.为了监控生产，使企业 利润最大.在满足下面数据表的条件下，如何确定计划期甲、乙两种产品的产量， 才能使获得的利润最大?
数据表： 原料
产品 甲
⎧a11x1 + a12 x2 +L + a1n xn = b1 ⎪⎪⎪⎨La21Lx1L+ a22 x2 +L + a2n xn = b2 ⎪⎪am1x1 + am2 x2 +L + amn xn = bm ⎪⎩x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,L, xn ≥ 0
并且使目标函数 S = c1x1 + c2 x2 +L + cn xn 的值最小.
分别为200件和240件时，工厂可获得最大利润42800千元.
通过以上实例，让我们看到矩阵解决实际问题是非常简单的，对于处理类似的
经济问题时，都有它独特的方法.
2.2 调运问题的矩阵方法
我们先来研究一下利用矩阵方法如何求矛盾线性方程组的最小二乘解. 在大量的经济问题中，人们常常会遇到求解所谓的“矛盾线性方程组”的问题， 一般来说，为了使得到的结果更好地符合各种情况，往往要求统计数字多一点，测 量或试验的次数多一些，这样必然会使线性方程组中方程式的个数大大超过未知数 的个数，从而出现矛盾线性方程组.比如 1994 年春运期间我铁道部调运火车中归结 出一个 1.4 万个未知数，1.5 万个方程式组成的矛盾线性方程组，由于不可能求得 矛盾线性方程组的精确解，因此我们要求是：求未知量的值，使得各个方程的平方 和最小.这就是所说的“最小二乘解”.下面利用矩阵方法求出最小二乘解. 设有矛盾线性方程组
⎛1⎞
p
=
⎛ 90 ⎞
⎜⎝144
⎟ ⎠
,
C
=
⎜ ⎜⎜⎝
2 1
⎟ ⎟⎟⎠
,
X
=
⎛ 30⎞
⎜ ⎝
50
⎟. ⎠
设甲、乙产品的单位成本向量Y = ( y1, y2 ) ，则
⎛9 4 ⎞
Y
=
CT
⎜ ⎜⎜⎝
4 3
5 10
⎟ ⎟⎟⎠
=
(
20
24).
售出甲、乙产品所获的利润为： PT X − YX = (PT − Y ) X = 9900 −1800 = 8100 千
⎧a +1.2b = 1.6 ⎪⎨a +1.4b = 1.7 ， ⎪⎩a +1.8b = 2.0
⎛1 1.2⎞
A = ⎜⎜⎜⎝11
1.4 1.8
⎟ ⎟⎟⎠
，
⎛1.6 ⎞
b
=
⎜ ⎜⎜⎝
1.7 2.0
⎟ ⎟⎠⎟
，
( ) 可计算求得 X =
A' A
−1
A'b
≈
⎛ 0.77 ⎞
⎜ ⎝
0.68
⎟ ⎠
.
于是收入和支出之间的关系为:
可推得， X = ( A' A)−1 A'b 就是要找的解.
我们进行举例来讨论利用矩阵方法求矛盾线性方程组的最小二乘解问题.
例:设某市收入与支出之间的关系可用下列线性关系来表示： u = a + bv ， u 表
示收入，v 表示支出，a, b 为常数.假定现有一组统计数字表示三年中每年的收入与 支出情况.第一年收入 1.6 亿元，支出 1.2 亿元.第二年收入 1.7 亿元，支出 1.4 亿
元.
矩阵的运算及其在现实生活中的应用
现在若已知甲、乙产品的单位利润 K = (70 120) （单位：千元／件）.
若用 S 表示利润，变量 X1, X 2 分别表示甲、乙两种产品的件数. 列出方程组：
求 max S = 70X1 +120X 2
⎧ 9 X1 + 4 X 2 ≤ 3600
s .t
⎪⎪⎪⎨34XX11++150XX22
u = 0.77 + 0.68v .
可以看出，通过运用矩阵可以很简单的求出收入与支出之间的关系.
2.3 最优问题的矩阵方法
我们先来探讨一下，如何解决线性规划问题的原理，线性规划问题的数学模型 都具有如下形式：
求一组变量 x1, x2 ,L, xn 的值，使它满足约束条件：
矩阵的运算及其在现实生活中的应用
⎪⎪⎨⎪0x.15+x10+.5xx22
+ 2x3 + 0.5x4 + 2x3 + 0.8x4
= 90 = 100
⎪⎩ x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0
矩阵的运算及其在现实生活中的应用
根据数学模型建立矩阵：
⎛ 3.0 2.0 6.0 1.0 ⎞ ⎛ 300⎞
A = ⎜⎜⎜⎝10..05
0
0
X3
7.8 0 1 0 -0.4
2400
X4
(2.5) 0 0 1 -0.5
500
X5
0.3 1 0 0 0.1
300
S'
34 0 0 0 -1.2
-3690
X3
0 0 1 -3.12 1.16
640 最
X1
1 0 0 0.4 -0.2
200 优
X2
0 1 0 -0.12 -0.16
240 解
0 0 0 -13.6 -5.2
-42800 最优解
S'
如果把表中相关的变量去掉，就是对矩阵进行初等行变换，即
矩阵的运算及其在现实生活中的应用
⎛ 9 4 1 0 0 3600 ⎞
⎛ 7.8 0 1 0 −0.4 2400 ⎞
⎜ ⎜
4
⎜3
5 10
0 0
1 1
0 0
2000
⎟ ⎟
3000 ⎟
⎯⎯→
⎜ ⎜
2.5
⎜ 0.3
0 1
0 0
1 −0.5 0 −0.16
⎜⎟
⎝ bm ⎠
满足
⎧ ⎨ ⎩
AX X≥
= 0
b
,
该系数矩阵 A 的秩为 m ，则 A 的任一个 m 阶可逆矩阵 B 即为该线性规划问题的
一个基，则对应于基 B 的基础解便是最优解.
例：某动物园饲养动物，设每头动物每天需要 300 克蛋白质，90 克矿物质，
100 毫克维生素.现有 4 种饲料可供使用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如
N
=
若令
⎛ a11 a12 L
A
=
⎜ ⎜ ⎜
a21 L
a22 L
L
⎜ ⎝ am1
am2
L
则此线性规划问题可简记为：
求 min S = CX （ C 为常数）,
a1n ⎞
a2n
⎟ ⎟
L⎟ ⎟
amn ⎠
⎛ x1 ⎞
X
=
⎜ ⎜ ⎜
x2 M
⎟ ⎟ ⎟
⎜⎟
⎝ xn ⎠
⎛ b1 ⎞
b
=
⎜ ⎜ ⎜
b2 M
⎟ ⎟ ⎟
.
关键词：矩阵,线性运算,乘法,转置,逆矩阵,应用
矩阵的运算及其在现实生活中的应用
第一章 前 言
1.1 矩阵的重要性
矩阵是《线性代数》和《高等代数》的主要研究内容之一. 在《线性代数》和 《高等代数》中，矩阵的理论与方法贯穿于行列式、线性方程组、线性空间、线性 变换、二次型等各个方面，高等代数的许多问题都可以转化为相应的矩阵问题来处 理.同时矩阵也是许多其他数学分支和学科中研究问题的重要工具.
1.3本文将解决的主要问题 1. 介绍矩阵运算的基本方法，包括矩阵的加法，乘法，矩阵与数的乘法以及
矩阵的逆. 2. 以具体的例子说明矩阵的运算在现实的经济生活中发挥的作用. 通过对大
量论文的总结和比较，本论文中在第一部分，研究如何利用矩阵的方法求线性规划 问题中的最优解从而求企业的利润问题；第二部分，研究如何利用矩阵方法求矛盾 线性方程组的最小二乘解，研究的是调运问题的矩阵方法；第三部分是研究如何在 实际经济问题中利用矩阵求线性规划问题的最优解；第四部分研究如何利用矩阵方 法计算投入产出分析中的直接消耗系数和完全消耗系数.第五部分研究如何利用矩 阵实现矩阵在企业设备更新中的应用.第六部分研究如何利用矩阵实现矩阵在产品
,
P4
=
⎜ ⎜
0.5 ⎟⎟ .
⎜⎝ 0.5⎟⎠
⎜⎝1.0 ⎟⎠
⎜⎝ 2.0⎟⎠
⎜⎝ 0.8⎟⎠
建立 A 的任一个 m 阶可逆矩阵 B ，它即为该线性规划问题的一个基.
⎛ 3.0 2.0
B = ⎜⎜⎜⎝10..05
0.5 1.0
建立各种饲料每公斤的单价矩阵：
6.0 ⎞ ⎛1.0 ⎞
2.0 2.0
⎟⎟⎟⎠ ,