2、MATLAB统计工具箱中的回归分析命令
matlab多个因变量回归
matlab多个因变量回归Matlab是一种强大的科学计算软件，可以用于多个因变量回归分析。
多个因变量回归分析是一种统计方法，用于探究多个自变量对多个因变量的影响关系。
在本文中，将介绍如何使用Matlab进行多个因变量回归分析，并解释结果的含义。
我们需要准备一组数据，包括多个自变量和多个因变量。
假设我们想要研究一辆汽车的油耗情况，可能的自变量包括车速、引擎排量、重量等，而因变量则是油耗量和二氧化碳排放量。
在Matlab中，可以使用regress函数进行多个因变量回归分析。
该函数的语法如下：```[b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X)```其中，y是因变量矩阵，每一列代表一个因变量；X是自变量矩阵，每一列代表一个自变量。
函数的输出包括回归系数b、回归系数的置信区间bint、残差r、残差的置信区间rint以及回归统计信息stats。
接下来，我们将使用一个具体的例子来说明多个因变量回归分析在Matlab中的应用。
假设我们有一组数据，包括100辆汽车的车速、引擎排量、重量以及油耗量和二氧化碳排放量。
我们的目标是探究车速、引擎排量和重量对油耗量和二氧化碳排放量的影响。
我们需要加载数据并将自变量和因变量分别存储在矩阵X和矩阵y 中。
假设数据存储在一个名为"car_data.csv"的文件中，我们可以使用readmatrix函数来读取数据：```data = readmatrix('car_data.csv');X = data(:, 1:3); % 车速、引擎排量、重量y = data(:, 4:5); % 油耗量和二氧化碳排放量```接下来，我们可以使用regress函数进行多个因变量回归分析，并获取回归系数、残差等信息：```[b,bint,r,rint,stats] = regress(y, X);```回归系数b代表了自变量对因变量的影响程度。
多元回归分析报告matlab
回归分析MATLAB 工具箱一、多元线性回归多元线性回归：p p x x y βββ+++=...110 1、确定回归系数的点估计值： 命令为：b=regress(Y, X ) ①b 表示⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p b βββˆ...ˆˆ10②Y 表示⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n Y Y Y Y (2)1③X 表示⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=np n n p p x x x x x x x x x X ...1............ (1) (12)12222111211 2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：命令为：[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) ①bint 表示回归系数的区间估计. ②r 表示残差.③rint 表示置信区间.④stats 表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r 2、F 值、与F 对应的概率p.说明：相关系数2r 越接近1,说明回归方程越显著；)1,(1-->-k n k F F α时拒绝0H ,F 越大,说明回归方程越显著；与F 对应的概率p α<时拒绝H 0,回归模型成立.⑤alpha 表示显著性水平(缺省时为0.05) 3、画出残差及其置信区间. 命令为：rcoplot(r,rint) 例1.如下程序. 解：(1)输入数据.x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x];Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; (2)回归分析及检验.[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) b,bint,stats得结果：b = bint =-16.0730 -33.7071 1.5612 0.7194 0.6047 0.8340 stats =0.9282 180.9531 0.0000即7194.0ˆ,073.16ˆ10=-=ββ；0ˆβ的置信区间为[-33.7017,1.5612], 1ˆβ的置信区间为[0.6047,0.834]; r 2=0.9282, F=180.9531, p=0.0000,我们知道p<0.05就符合条件, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立. (3)残差分析,作残差图. rcoplot(r,rint)从残差图可以看出,除第二个数据外,其余数据的残差离零点均较近,且残差的置信区间均包含零点,这说明回归模型 y=-16.073+0.7194x 能较好的符合原始数据,而第二个数据可视为异常点.(4)预测及作图.z=b(1)+b(2)*xplot(x,Y,'k+',x,z,'r')二、多项式回归(一)一元多项式回归.1、一元多项式回归：1121...+-++++=m m m m a x a x a x a y(1)确定多项式系数的命令：[p,S]=polyfit(x,y,m)说明：x=(x 1,x 2,…,x n ),y=(y 1,y 2,…,y n )；p=(a 1,a 2,…,a m+1)是多项式y=a 1x m +a 2x m-1+…+a m x+a m+1的系数；S 是一个矩阵,用来估计预测误差. (2)一元多项式回归命令：polytool(x,y,m) 2、预测和预测误差估计.(1)Y=polyval(p,x)求polyfit 所得的回归多项式在x 处的预测值Y ；(2)[Y,DELTA]=polyconf(p,x,S,alpha)求polyfit 所得的回归多项式在x 处的预测值Y 及预测值的显著性为1-alpha 的置信区间Y ±DELTA ；alpha 缺省时为0.5.例1. 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系,得到数据如下表,求s. (关于t 的回归方程2解法一：直接作二次多项式回归. t=1/30:1/30:14/30;s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];[p,S]=polyfit(t,s,2) 得回归模型为：1329.98896.652946.489ˆ2++=t t s解法二：化为多元线性回归. t=1/30:1/30:14/30;s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];T=[ones(14,1) t' (t.^2)'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T); b,stats得回归模型为：22946.4898896.651329.9ˆt t s++= 预测及作图：Y=polyconf(p,t,S)plot(t,s,'k+',t,Y,'r')(二)多元二项式回归多元二项式回归命令：rstool(x,y,’model ’, alpha)说明：x 表示n ⨯m 矩阵；Y 表示n 维列向量；alpha ：显著性水平(缺省时为0.05)；model 表示由下列4个模型中选择1个(用字符串输入,缺省时为线性模型)：linear(线性)：m m x x y βββ+++= 110purequadratic(纯二次)：∑=++++=nj j jjm m x x x y 12110ββββinteraction(交叉)：∑≤≠≤++++=mk j k j jkm m x x x x y 1110ββββquadratic(完全二次)：∑≤≤++++=mk j k j jkm m x x x x y ,1110ββββ例1. 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下,建立回归模型,预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量. 需求量 10075 80 70 50 65 90 100 110 60收入 1000 600 1200500 300 400 1300 1100 1300 300 价格 5 7 6 6 8 7 5 4 3 9解法一：选择纯二次模型,即2222211122110x x x x y βββββ++++=.直接用多元二项式回归：x1=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300]; x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 3 9];y=[100 75 80 70 50 65 90 100 110 60]'; x=[x1' x2'];rstool(x,y,'purequadratic')在左边图形下方的方框中输入1000,右边图形下方的方框中输入6，则画面左边的“Predicted Y ”下方的数据变为88.47981,即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791.在画面左下方的下拉式菜单中选”all ”, 则beta 、rmse 和residuals 都传送到Matlab 工作区中.在Matlab 工作区中输入命令：beta, rmse 得结果：beta =110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 rmse =4.5362故回归模型为：2221218475.10001.05709.261464.05313.110x x x x y +--+=剩余标准差为4.5362, 说明此回归模型的显著性较好.解法二：将2222211122110x x x x y βββββ++++=化为多元线性回归：X=[ones(10,1) x1' x2' (x1.^2)' (x2.^2)'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X); b,stats结果为: b =110.5313 0.1464 -26.5709 -0.00011.8475 stats =0.9702 40.6656 0.0005三、非线性回归 1、非线性回归：(1)确定回归系数的命令：[beta,r,J]=nlinfit(x,y,’model ’, beta0)说明：beta 表示估计出的回归系数；r 表示残差；J 表示Jacobian 矩阵；x,y 表示输入数据x 、y 分别为矩阵和n 维列向量,对一元非线性回归,x 为n 维列向量；model 表示是事先用m-文件定义的非线性函数；beta0表示回归系数的初值.(2)非线性回归命令：nlintool(x,y,’model ’, beta0,alpha) 2、预测和预测误差估计：[Y,DELTA]=nlpredci(’model ’, x,beta,r,J)表示nlinfit 或nlintool 所得的回归函数在x 处的预测值Y 及预测值的显著性为1-alpha 的置信区间Y ±DELTA. 例1. 如下程序.解：(1)对将要拟合的非线性模型y=a x b e /,建立m-文件volum.m 如下：function yhat=volum(beta,x) yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x); (2)输入数据： x=2:16;y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76];beta0=[8 2]'; (3)求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta (4)运行结果：beta =11.6036 -1.0641 即得回归模型为：xey 10641.16036.11-=(5)预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')四、逐步回归1、逐步回归的命令：stepwise(x,y,inmodel,alpha)说明：x 表示自变量数据,m n ⨯阶矩阵；y 表示因变量数据,1⨯n 阶矩阵；inmodel 表示矩阵的列数的指标,给出初始模型中包括的子集(缺省时设定为全部自变量)；alpha 表示显著性水平(缺省时为0.5).2、运行stepwise 命令时产生三个图形窗口：Stepwise Plot,Stepwise Table,StepwiseHistory.在Stepwise Plot窗口,显示出各项的回归系数及其置信区间.(1)Stepwise Table窗口中列出了一个统计表,包括回归系数及其置信区间,以及模型的统计量剩余标准差(RMSE)、相关系数(R-square)、F值、与F对应的概率P.例1. 水泥凝固时放出的热量y与水泥中4种化学成分x1、x2、x3、 x4有关,今测得一组数据如下,试用逐步回归法确定一个线性模型.解：(1)数据输入：x1=[7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10]';x2=[26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68]';x3=[6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8]';x4=[60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12]';y=[78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4]';x=[x1 x2 x3 x4];(2)逐步回归.①先在初始模型中取全部自变量：stepwise(x,y)得图Stepwise Plot 和表Stepwise Table.图Stepwise Plot中四条直线都是虚线,说明模型的显著性不好.从表Stepwise Table中看出变量x3和x4的显著性最差.②在图Stepwise Plot中点击直线3和直线4,移去变量x3和x4.移去变量x3和x4后模型具有显著性虽然剩余标准差(RMSE)没有太大的变化,但是统计量F的值明显增大,因此新的回归模型更好.(3)对变量y和x1、x2作线性回归.X=[ones(13,1) x1 x2];b=regress(y,X)得结果：b =52.57731.46830.6623故最终模型为：y=52.5773+1.4683x1+0.6623x2或这种方法4元二次线性回归clc;clear;y=[1.84099 9.67 23.00 38.12 1.848794 6.22 12.22 19.72 1.848794 5.19 10.09 15.31 ];X1=[60.36558 59.5376 58.89861 58.74706 60.59389 60.36558 59.2 58.2 60.36558 59.97068 59.41918 58. X2=[26.1636 26.35804 26.82438 26.91521 25.90346 25.9636 27.19256 27.42153 26.1636 26.07212 26.5872 X3=[0.991227 0.994944 0.981322 0.98374 1.011865 0.991227 1.074772 1.107678 0.991227 0.917904 1.06043 X4=[59.37436 58.54265 57.91729 57.69332 59.58203 59.37436 57.76722 57.42355 59.37436 59.05278 58.3587format short gY=y'X11=[ones(1,length(y));X1;X2;X3;X4]'B1=regress(Y,X11)% 多元一次线性回归[m,n]=size(X11)X22=[];for i=2:nfor j=2:nif i<=jX22=([X22,X11(:,i).*X11(:,j)]);elsecontinueendendendX=[X11,X22];B2=regress(Y,X)% 多元二次线性回归[Y X*B2 Y-X*B2]plot(Y,X11*B1,'o',Y,X*B2,'*')hold on,line([min(y),max(y)],[min(y),max(y)]) axis([min(y) max(y) min(y) max(y)])legend('一次线性回归','二次线性回归')xlabel('实际值');ylabel('计算值')运行结果：Y =1.8419.672338.121.84886.2212.2219.721.84885.1910.0915.31X11 =1 60.366 26.164 0.99123 59.3741 59.538 26.358 0.99494 58.5431 58.899 26.824 0.98132 57.9171 58.747 26.915 0.98374 57.6931 60.594 25.903 1.0119 59.5821 60.366 25.964 0.99123 59.3741 59.2 27.193 1.0748 57.7671 58.2 27.422 1.1077 57.4241 60.366 26.164 0.99123 59.3741 59.971 26.072 0.9179 59.0531 59.419 26.587 1.0604 58.3591 58.891 27.061 1.1239 57.767B1 =1488.9-4.3582-9.6345-61.514-15.359m =12n =5B2 =3120.4-7129.2-622.23-362.71-105.061388.1120.25199.25379.58170.48-796.41ans =1.841 1.8449 -0.0039029.67 9.67 1.0058e-00923 23 1.397e-00938.12 38.12 3.539e-0101.8488 1.8488 1.6394e-0096.22 6.227.2643e-01012.22 12.22 2.6077e-01019.72 19.72 -2.0489e-0101.8488 1.8449 0.0039025.19 5.19 1.4529e-00910.09 10.09 1.0803e-00915.31 15.31 4.0978e-010由图形可以看出，多元二次线性回归效果非常好，即，相当于Y=3120.4*X1 -7129.2 *X2 + 0*X3+ 0*X4 -622.23*X1*X1 -362.71*X1*X2 -105.06*X1*X3 + 1388.1*X1*X4 +120.25*X2*X2+ 199.25 *X2*X3+ 379.58*X2*X4 + 170.48*X3*X3+ 0*X3*X4 -796.4。
用MATLAB求解回归分析
（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha） ） 2、预测和预测误差估计： 、预测和预测误差估计： [Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J） 求nlinfit 或nlintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显 著性为1-alpha的置信区间Y ± DELTA.
4、预测及作图： [;,x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')
例5 财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、 农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。 下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型。
得结果：b = -16.0730 0.7194 stats = 0.9282 180.9531 0.0000 bint = -33.7071 0.6047 1.5612 0.8340
ˆ ˆ ˆ ˆ 即 β 0 = −16.073, β 1 = 0.7194 ； β 0 的置信区间为[-33.7017，1.5612], β 1 的置信区间为[0.6047,0.834];
回 归 系 数 的 区 间 估 计 F 检验回归模型的 计 数 ： 系数r2、 、 F 的 p 差 区 间 时 为 水 0 平 05 ） . 性 残 信 省 著 置 （缺 显
系数 r2 F > F1F k 的 n-k-1
1
回归 H0 F H0 回归模型 回归 .
p< α
3、 、
区间： 区间：
rcoplot
r2=0.9282, F=180.9531, p=0.0000 p<0.05, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立.
Matlab回归分析：详解+实例
姚明女儿的身高
问 建立父母身高和女儿身高的模型 题 姚明2.26米，叶莉1.90米，预测姚明女儿身高
女孩身高y(cm) 156 172 162 158 164 166 160 155 174 165
父母平均身高 x(cm)
158.5
170.5
166
163.5
166
168.5 165.5
自变量X：用来解释Y的变量，通常有多个。
Y：薪资收入 X:学历、年龄、性别...
注意：（1）自变量可以是定量数据，也可以是定
性数据，它不决定回归模型的类型，决定回归模型 类型的是因变量；
（2）确定自变量的方法可以头脑风暴，但同时也 要看数据的可获得性，有时候可能头脑风暴想的很 好，但是没办法获取这个指标的数据也是不行的， 所以自变量的选取往往看一个数据的可获取性。
1 n
(x0 x)2 Lxx
小结
1.回归分析的任务 研究变量之间的相关关系
2.线性回归的步骤
(1) 推测回归函数; (3) 估计未知参数; (5) 预测.
(2) 建立回归模型; (4) 进行假设检验;
MATLAB中回归分析的实现
多元线性回归
1.确定回归系数的点估计值,用命令:
b=regress(Y,X)
女孩身高y(cm) 156 172 162 158 164 166 160 155 174 165
父母平均身高 x(cm)
158.5
170.5
166
163.5
166
168.5 165.5
159
180.5
169
基本模型
y 0 1x
y ~女孩身高
0, 1 ~回归系数
MATLAB回归分析工具箱使用方法
MATLAB回归分析工具箱使用方法下面将详细介绍如何使用MATLAB中的回归分析工具箱进行回归分析。
1.数据准备回归分析需要一组自变量和一个因变量。
首先，你需要将数据准备好，并确保自变量和因变量是数值型数据。
你可以将数据存储在MATLAB工作区中的变量中，也可以从外部文件中读取数据。
2.导入回归分析工具箱在MATLAB命令窗口中输入"regstats"命令来导入回归分析工具箱。
这将使得回归分析工具箱中的函数和工具可用于你的分析。
3.线性回归分析线性回归分析是回归分析的最基本形式。
你可以使用"regstats"函数进行线性回归分析。
以下是一个简单的例子：```matlabdata = load('data.mat'); % 从外部文件加载数据X = data.X; % 自变量y = data.y; % 因变量stats = regstats(y, X); % 执行线性回归分析beta = stats.beta; % 提取回归系数rsquare = stats.rsquare; % 提取判定系数R^2```在上面的例子中，"regstats"函数将自变量X和因变量y作为参数，并返回一个包含回归系数beta和判定系数R^2的结构体stats。
4.非线性回归分析如果你的数据不适合线性回归模型，你可以尝试非线性回归分析。
回归分析工具箱提供了用于非线性回归分析的函数，如"nonlinearmodel.fit"。
以下是一个非线性回归分析的例子：```matlabx=[0.10.20.5125]';%自变量y=[0.92.22.83.66.58.9]';%因变量f = fittype('a*exp(b*x)'); % 定义非线性模型model = fit(x, y, f); % 执行非线性回归分析coeffs = model.coefficients; % 提取模型系数```在上面的例子中，"fittype"函数定义了一个指数型的非线性模型，并且"fit"函数将自变量x和因变量y与该模型拟合，返回包含模型系数的结构体model。
如何使用Matlab进行线性回归与非线性回归
如何使用Matlab进行线性回归与非线性回归使用Matlab进行线性回归与非线性回归简介：线性回归和非线性回归是统计分析中常用的两种回归模型。
线性回归假设自变量与因变量之间存在线性关系，而非线性回归则假设二者之间存在非线性关系。
本文将介绍如何使用Matlab进行线性回归和非线性回归分析，并分析其应用领域和优缺点。
一、线性回归分析线性回归是一种最基本的回归分析方法，广泛应用于统计学、经济学、金融学等领域。
在Matlab中，可以使用fitlm函数进行线性回归分析。
回归模型的基本形式如下所示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + ε其中Y是因变量，X1，X2等是自变量，β0，β1，β2等是回归系数，ε是误差项。
线性回归模型的参数估计可以采用最小二乘法。
在Matlab中，可以使用fitlm 函数进行参数估计和显著性检验。
显著性检验可以帮助我们确定回归系数的是否显著不等于零，从而判断自变量对因变量的影响是否显著。
二、非线性回归分析在某些情况下，变量之间的关系不是线性的，而是呈现出曲线的形式。
这时，我们需要使用非线性回归模型进行分析。
在Matlab中，可以使用cftool函数进行非线性回归分析。
cftool是一个交互式的拟合工具箱，通过界面操作可以方便地进行曲线拟合。
用户可以选择不同的拟合模型，并根据数据点进行拟合。
cftool提供了各种常见的非线性回归模型，如指数模型、幂函数模型、对数模型等。
用户可以根据实际需求选择合适的模型进行分析。
非线性回归模型的参数估计可以使用最小二乘法、最大似然估计等方法。
在Matlab的cftool中，可以直接进行参数估计，并生成相应的拟合曲线。
三、线性回归与非线性回归的应用领域线性回归和非线性回归分析在各个领域都有广泛的应用。
线性回归常用于预测、趋势分析、经济建模等方面。
非线性回归则更适用于描述非线性关系的数据，常用于生物医学、环境科学、物理学等领域。
以医学领域为例，线性回归可以用于预测患者的生存时间、评估药物的剂量-效应关系等。
matlab回归分析方法
第八章 回归分析方法当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型.如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据,基于对数据的统计分析去建立模型。
本章讨论其中用途非常广泛的一类模型—-统计回归模型。
回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。
变量之间的关系可以分为两类:一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是:一个变量随着其它变量的确定而确定。
另一类关系叫相关关系,变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来。
例如,通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系，人的年龄和血压之间的关系就是相关关系.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法.其解决问题的大致方法、步骤如下： （1）收集一组包含因变量和自变量的数据;(2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数；（3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型； (4）判断得到的模型是否适合于这组数据； （5）利用模型对因变量作出预测或解释。
应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据，工作量非常大,所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上.运用一般计算语言编程也要占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能。
MA TLAB 等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。
MATLAB 统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。
运用MA TLAB 统计工具箱,我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解,同时，其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。
MATLAB统计工具箱中的回归分析命令
佛山科学技术学院上机报告课程名称数学应用软件上机项目 MATLAB统计工具箱中的回归分析命令专业班级一. 上机目的本节课我们认识了用MA TALB统计工具箱中的回归命令，主要有以下内容：regress命令即可用于多元回归分析也可用于一元线性回归，其格式如下：1.确定回归系数的命令是regress，用命令：b=regress(Y,X).2.求回归系数的点的估计和区间估计，并检验回归模型，用命令：[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)3.画出残差及其置性区间，用命令：rcoplot(r,rint)二元多项式回归：[p,S]=polyfit(x,y,2)二. 上机内容1.第十六章课后习题1；2.第十六章课后习题2；3.第十六章课后习题3。
三. 上机方法与步骤给出相应的问题分析及求解方法，并写出Matlab程序，并有上机程序显示截图。
第1题：要求一元线性回归方程及检验其显著性，用命令[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);求置信区间和预测值用命令rstool(x,y,'purequadratic')回归方程及检验其显著性：x=[20 25 30 35 40 45 50 55 60 65]';X=[ones(10,1) x];Y=[13.2 15.1 16.4 17.1 17.9 18.7 19.6 21.2 22.5 24.3]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);b,bint,stats残差分析，作残差图：rcoplot(r,rint)预测及作图：z=b(1)+b(2)*xplot(x,Y,'k+',x,z,'r')预测值及置信区间：x=[20 25 30 35 40 45 50 55 60 65]';y=[13.2 15.1 16.4 17.1 17.9 18.7 19.6 21.2 22.5 24.3]'; rstool(x,y,'purequadratic')第2题：要求二元多项式回归方程用命令[p,S]=polyfit(x,y,2)二元回归方程：用polyfit命令编程：x=0:2:20;y=[0.6 2.0 4.4 7.5 11.8 17.1 23.3 31.2 39.6 49.7 61.7]; [p,S]=polyfit(x,y,2)用regress命令编程：x=[0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20];Y=[0.6 2.0 4.4 7.5 11.8 17.1 23.3 31.2 39.6 49.7 61.7]'; X=[ones(11,1) x' (x.^2)'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);b,stats预测及作图：Y=polyconf(p,x,y)plot(x,y,'k+',x,Y,'r')第3题：要求lny a b x=+型回归方程，用命令[beta,r,J]=nlinfit(x',y','volum3',beta0);function y=volum3(beta,x)y=beta(1)+beta(2)*log(x);x=[2 3 4 5 7 9 12 14 17 21 28 56];y=[35 42 47 53 59 65 68 73 76 82 86 99];beta0=[1 1]';[beta,r,J]=nlinfit(x',y','volum3',beta0);beta四.上机结果学会了编写程序，运用上机语言求出问题结果，验证结果。
(完整word版)matlab回归分析方法
第八章回归分析方法当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型.如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据，基于对数据的统计分析去建立模型。
本章讨论其中用途非常广泛的一类模型——统计回归模型。
回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。
变量之间的关系可以分为两类：一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是:一个变量随着其它变量的确定而确定。
另一类关系叫相关关系,变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来.例如，通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系,人的年龄和血压之间的关系就是相关关系。
回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法。
其解决问题的大致方法、步骤如下：（1）收集一组包含因变量和自变量的数据;（2)选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数；（3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型;(4)判断得到的模型是否适合于这组数据；(5）利用模型对因变量作出预测或解释。
应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据,工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上.运用一般计算语言编程也要占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能.MATLAB等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。
MATLAB统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。
运用MATLAB统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时,其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。
本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理,主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。
MATLAB 回归分析regress,nlinfit,stepwise函数
MATLAB 回归分析regress,nlinfit,stepwise函数matlab回归分析regress,nlinfit,stepwise函数回归分析1．多元线性重回在matlab统计工具箱中使用命令regress()实现多元线性回归，调用格式为b=regress(y，x)或[b，bint，r，rint，statsl=regess(y，x，alpha)其中因变量数据向量y和自变量数据矩阵x按以下排列方式输入对一元线性重回，挑k=1即可。
alpha为显著性水平(缺省时预设为0.05)，输入向量b，bint为回归系数估计值和它们的置信区间，r，rint为残差及其置信区间，stats就是用作检验重回模型的统计数据量，存有三个数值，第一个就是r2，其中r就是相关系数，第二个就是f统计数据量值，第三个就是与统计数据量f对应的概率p，当p拒绝h0，回归模型成立。
图画出来残差及其置信区间，用命令rcoplot(r，rint)实例1：已知某湖八年来湖水中cod浓度实测值(y)与影响因素湖区工业产值(x1)、总人口数(x2)、捕鱼量(x3)、降水量(x4)资料，建立污染物y的水质分析模型。
(1)输出数据x1=[1.376,1.375,1.387,1.401,1.412,1.428,1.445,1.477]x2=[0.450,0.475,0.485,0.50 0,0.535,0.545,0.550,0.575]x3=[2.170,2.554,2.676,2.713,2.823,3.088,3.122,3.262]x4=[0.8922,1.1610,0.5346,0.9589,1.0239,1.0499,1.1065,1.1387]y=[5.19,5.30,5.60，5.82，6.00,6.06，6.45，6.95](2)留存数据(以数据文件.mat形式留存，易于以后调用)savedatax1x2x3x4yloaddata(抽出数据)(3)继续执行重回命令x=[ones(8,1)，]；[b，bint，r，rint，stats]=regress得结果：b=(-16.5283，15.7206，2.0327，-0.2106，-0.1991)’stats=(0.9908，80.9530，0.0022)即为=-16.5283+15.7206xl+2.0327x2-0.2106x3+0.1991x4r2=0.9908，f=80.9530，p=0.00222．非线性重回非线性回归可由命令nlinfit来实现，调用格式为[beta,r,j]=nlinfit(x，y，'model’，beta0)其中，输人数据x，y分别为n×m矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x为n维列向量model是事先用m-文件定义的非线性函数，beta0是回归系数的初值，beta是估计出的回归系数，r是残差，j是jacobian矩阵，它们是估计预测误差需要的数据。
MAAB统计工具箱中的回归分析命令
法二
将 y 0 1 x 1 2 x 2 1 x 1 2 1 2 x 2 2 2
化为多元线性回归：
X=[ones(10,1) x1' x2' (x1.^2)' (x2.^2)'];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X);
b,stats
据可视为异常点
4 预测及作图： z=b1+b2* plotx;Y;'k+';x;z;'r'
Residuals
4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
2
Residual Case Order Plot
4
6
8
10 12 14 16
Case Number
To MATLABliti12 返回
多项式回归
x1p
x2
p
1 xn1
xn 2...ຫໍສະໝຸດ xnp2 求回归系数的点估计和区间估计 并检验回归模型： b; bint;r;rint;stats=regressY;X;alpha
回 归 系
残 差
置 信 区
数
间
显著性水平 （缺省时为0.05）
的
用于检验回归模型的统计量，
区
有三个数值：相关系数r 2、
间 估
法一 直接用多元二项式回归：
x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300; x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9; y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60'; x=x1' x2'; rstoolx;y;'purequadratic'
MATLAB 回归分析regress,nlinfit,stepwise函数
回归分析1．多元线性回归在Matlab统计工具箱中使用命令regress()实现多元线性回归，调用格式为b=regress(y，x)或[b，bint，r，rint，statsl = regess(y，x，alpha)其中因变量数据向量y和自变量数据矩阵x按以下排列方式输入对一元线性回归，取k=1即可。
alpha为显著性水平(缺省时设定为0.05)，输出向量b，bint为回归系数估计值和它们的置信区间，r，rint为残差及其置信区间，stats是用于检验回归模型的统计量，有三个数值，第一个是R2，其中R是相关系数，第二个是F统计量值，第三个是与统计量F对应的概率P，当P<α时拒绝H0，回归模型成立。
画出残差及其置信区间，用命令rcoplot(r，rint)实例1：已知某湖八年来湖水中COD浓度实测值(y)与影响因素湖区工业产值(x1)、总人口数(x2)、捕鱼量(x3)、降水量(x4)资料，建立污染物y的水质分析模型。
(1)输入数据x1=[1.376, 1.375, 1.387, 1.401, 1.412, 1.428, 1.445, 1.477]x2=[0.450, 0.475, 0.485, 0.500, 0.535, 0.545, 0.550, 0.575]x3=[2.170 ,2.554, 2.676, 2.713, 2.823, 3.088, 3.122, 3.262]x4=[0.8922, 1.1610 ,0.5346, 0.9589, 1.0239, 1.0499, 1.1065, 1.1387]y=[5.19, 5.30, 5.60，5.82，6.00, 6.06，6.45，6.95](2)保存数据(以数据文件.mat形式保存，便于以后调用)save data x1 x2 x3 x4 yload data (取出数据)(3)执行回归命令x =[ones(8,1)，]；[b，bint，r，rint，stats] = regress得结果：b = (-16.5283，15.7206，2.0327，-0.2106，-0.1991)’stats = (0.9908，80.9530，0.0022)即= -16.5283 + 15.7206xl + 2.0327x2 - 0.2106x3 + 0.1991x4R2 = 0.9908，F = 80.9530，P = 0.00222．非线性回归非线性回归可由命令nlinfit来实现，调用格式为[beta,r,j] = nlinfit(x，y，'model’，beta0)其中，输人数据x，y分别为n×m矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x 为n维列向量model是事先用m-文件定义的非线性函数，beta0是回归系数的初值，beta是估计出的回归系数，r是残差，j是Jacobian矩阵，它们是估计预测误差需要的数据。
matlab回归分析方法
当然，也可以利用直线拟合得到同一方程。只不过不能得到参数置信区间和对模型进行检验。拟合程序如下：
y=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164];
8.2多元线性回归分析
8.2.1多元线性回归模型的建模步骤及其MATLAB实现
如果根据经验和有关知识认为与因变量有关联的自变量不止一个，那么就应该考虑用最小二乘准则建立多元线性回归模型。
设影响因变量 的主要因素（自变量）有m个，记 ，假设它们有如下的线性关系式：
，
如果对变量 与自变量 同时作n次观察（n>m）得n组观察值，采用最小二乘估计求得回归方程
（1）收集一组包含因变量和自变量的数据；
（2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数；
（3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型；
（4）判断得到的模型是否适合于这组数据；
（5）利用模型对因变量作出预测或解释。
应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据，工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上。运用一般计算语言编程也要占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能。MATLAB等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。MATLAB统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。运用MATLAB统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时，其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理，主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。在此基础上再介绍在建模过程中如何有效地使用MATLAB软件。没有学过这部分数学知识的读者可以不深究其数学原理，只要知道回归分析的目的，按照相应方法通过软件显示的图形或计算所得结果表示什么意思，那么，仍然可以学到用回归模型解决实际问题的基本方法。包括：一元线性回归、多元线性回归、非线性回归、逐步回归等方法以及如何利用MATLAB软件建立初步的数学模型，如何透过输出结果对模型进行分析和改进，回归模型的应用等。
Matlab统计回归详解
统计回归一、一元线性回归回归分析中最简单的形式是x y 10ββ+=，y x ,均为标量，10,ββ为回归系数，称一元线性回归。
这里不多做介绍，在线性回归中以介绍多元线性回归分析为主。
二、多元线性回归（regress ）多元线性回归是由一元线性回归推广而来的，把x 自然推广为多元变量。
m m x x y βββ+++= 110 （1）2≥m ，或者更一般地)()(110x f x f y m m βββ+++= （2）其中),,(1m x x x =，),,1(m j f j =是已知函数。
这里y 对回归系数),,,(10m ββββ =是线性的，称为多元线性回归。
不难看出，对自变量x 作变量代换，就可将（2）化为（1）的形式，所以下面以（1）为多元线性回归的标准型。
1.1 模型在回归分析中自变量),,,(21m x x x x =是影响因变量y 的主要因素，是人们能控制或能观察的，而y 还受到随机因素的干扰，可以合理地假设这种干扰服从零均值的正态分布，于是模型记作⎩⎨⎧++++=),0(~2110σεεβββN x x y m m （3） 其中σ未知。
现得到n 个独立观测数据),,,(1im i i x x y ，m n n i >=,,,1 ，由（3）得⎩⎨⎧=++++=ni N x x y i i im m i i ,,1),,0(~2110 σεεβββ （4） 记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nm n m x x x x X 111111， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n y y Y 1 （5） T n ][1εεε =，T m ][10ββββ =（4）表示为 ⎩⎨⎧+=),0(~2σεεβN X Y （6） 1.2 参数估计用最小二乘法估计模型（3）中的参数β。
由（4）式这组数据的误差平方和为∑=--==ni T i X Y X Y Q 12)()()(ββεβ （7）求β使)(βQ 最小，得到β的最小二乘估计，记作βˆ，可以推出 Y X X X T T 1)(ˆ-=β（8） 将βˆ代回原模型得到y 的估计值mm x x y βββˆˆˆˆ110+++= （9） 而这组数据的拟合值为βˆˆX Y =，拟合误差Y Y e ˆ-=称为残差，可作为随机误差ε的估计，而∑∑==-==n i ni i i iy y e Q 1122)ˆ( （10） 为残差平方和（或剩余平方和），即)ˆ(βQ 。
用MATLAB求解回归分析-文档资料
多元线性回归
y x ... x 0 1 1 p p
1、确定回归系数的点估计值：
b=regress( Y, X )
ˆ 0 ˆ b 1 .. ˆ p
Y1 Y Y 2 ... Y n
3、残差分析，作残差图： rcoplot(r,rint) 从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残 差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明 回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第 二个数据可视为异常点.
Residual Case Order Plot 4
方法一
直接作二次多项式回归： t=1/30:1/30:14/30; s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48]; [p,S]=polyfit(t,s,2) 得回归模型为 ： 2 ˆ s 489 . 2946 t 65 . 8896 t 9 . 1329
1 x1 1 x1 2 1 x x2 2 21 X ... ... ... 1 xn1 xn2
... x1 p ... x2 p ... ... ... xn p
对一元线性回归，取p=1即可。
2、求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型： [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)
法二 化为多元线性回归： t=1/30:1/30:14/30; s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48]; T=[ones(14,1) t' (t.^2)']; [b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T); b,stats 得回归模型为 ： 2 ˆ s 9 . 1329 65 . 8896 t 489 . 2946 t
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3．求回归系数： [beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta 即得回归模型为： 得结果：beta =
11.6036 -1.0641
To MATLAB(liti41)
y = 11.6036e
−
1.0641 x
4．预测及作图： [YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r') To MATLAB(liti42)
j =1
n
β 0 + β 1 x1 + L + β m x m +
1≤ j ≠ k ≤ m
∑
β jk x j x k β jk x j x k
quadratic（完全二次）： y =
β 0 + β 1 x1 + L β m x m +
1≤ j , k ≤ m
∑
例3 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数 据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时 的商品需求量.
得回归模型为 ： ˆ s = 489.2946t 2 + 65.8896t + 9.1329
To MATLAB（liti21）
法二 化为多元线性回归： 化为多元线性回归：
t=1/30:1/30:14/30; s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48]; T=[ones(14,1) t' (t.^2)']; [b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T); b,stats
非线性回 归 1．回归： ．回归： 事先用M文件定义 的非线性函数 （1）确定回归系数的命令： ） [beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0） ， ， （ ） 残差 估计出的 回归系数 Jacobi矩阵 输入数据x．y分别为 n × m 矩阵和n维列向 量，对一元非线性回 归，x为n维列向量.
s (cm)
法一 直接作二次多项式回归： 直接作二次多项式回归：
t=1/30:1/30:14/30; s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48]; [p,S]=polyfit(t,s,2)
例 4 对第一节例2，求解如下：
1. 对将要拟合的非线性模型 y=a e
b/ x
题目
，建立 M 文件 volum.m 如下：
function yhat=volum(beta,x) yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);
2．输入数据：
x=2:16; y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76]; beta0=[8 2]';
Y1 Y Y = 2 M Yn
X )
1 x11 1 x 21 X = M M 1 xn1 x12 L x1 p x22 L x2 p M M xn 2 ... xnp
对一元线性回归，取 p=1 即可
2．求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型： ．求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型： [b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)
在MATLAB工作区中输入命令： beta, rmse
得结果：beta = 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 rmse = 4.5362 2 2 故回归模型为： y = 110.5313 + 0.1464 x1 − 26.5709 x 2 − 0.0001x1 + 1.8475x 2 剩余标准差为 4.5362, 说明此回归模型的显著性较好.
1． 对回归模型建立M文件 ． 对回归模型建立 文件model.m如下 如下: 文件 如下 function yy=model(beta0,X) a=beta0(1); b=beta0(2); c=beta0(3); d=beta0(4); e=beta0(5); f=beta0(6); x1=X(:,1); x2=X(:,2); x3=X(:,3); x4=X(:,4); x5=X(:,5); x6=X(:,6); yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6;
r2=0.9282, F=180.9531, p=0.0000 p<0.05, 可知回归模型 y=-16.073+0.7194x 成立.
3．残差分析，作残差图： ．残差分析，作残差图： rcoplot(r,rint) 从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残 差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明 回归模型 y=-16.073+0.7194x能较好的符合原始数据，而第 二个数据可视为异常点.
回归系数 的初值
（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha） ） 2．预测和预测误差估计： ．预测和预测误差估计： [Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J） 求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的 显著性水平为1-alpha的置信区间Y ± DELTA.
x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x]; Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]';
2．回归分析及检验： ．回归分析及检验： [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) b,bint,stats To MATLAB(liti11)
统计工具箱中的回归分析命令
1．多元线性回归 ． 2．多项式回归 ． 3．非线性回归 4．逐步回归 ．
返回
多元线性回归
y = β 0 + β 1 x1 + ... + β p x p
1．确定回归系数的点估计值： ．确定回归系数的点估计值：
b=regress( Y,
ˆ β0 ˆ β1 b= M β ˆ p
Residual Case Order Plot 4
4．预测及作图： ．预测及作图： z=b(1)+b(2)* plot(x,Y,'k+',x,z,'r')
3 2 1 Residuals 0 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 Case Number 12 14 16
To MATLAB(liti12) 返回
例 2 观测物体降落的距离 s 与时间 t 的关系，得到数据如下表，求 s ˆ 关于 t 的回归方程 s = a + bt + ct 2 .
t (s) 1/30 11.86 8/30 61.49 2/30 15.67 9/30 72.90 3/30 20.60 10/30 85.44 4/30 26.69 11/30 99.08 5/30 33.71 12/30 113.77 6/30 41.93 13/30 129.54 7/30 51.13 14/30 146.48 s (cm) t (s)
需求量 收入 价格 100 1000 5 75 600 7 80 1200 6 70 500 6 50 300 8 65 400 7 90 1300 5 100 1100 4 110 1300 3 60 300 9
2 2 选择纯二次模型，即 y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x 2 + β 11 x1 + β 22 x 2
将左边图形下方方框中的“800”改成1000，右边图形下方的方框 中仍输入6.则画面左边的“Predicted Y”下方的数据由原来的“86.3791” 变为88.4791，即预测出平均收入为1000．价格为6时的商品需求量为 88.4791. 在画面左下方的下拉式菜单中选”all”, 则beta．rmse和residuals都 传送到MATLAB工作区中.
例5 财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、 农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关. 表中列出了1952─1981年的原始数据，试构造预测模型.
解 设国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业 人口、固定资产投资分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6，财政收 入为y，设变量之间的关系为： y= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6 使用非线性回归方法求解.
由下列 4 个模型中选择 1 个（用字符串输入，缺省时为线性模型）： linear（线性）： y = β 0 + β 1 x1 + L + β m x m purequadratic（纯二次）： interaction（交叉）： y =
y = β 0 + β 1 x1 + L + β m x m + ∑ β jj x 2 j
多项式回归 （一）一元多项式回归 y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1 1．回归： ．回归： （1）确定多项式系数的命令：[p，S]=polyfit（x，y，m） ） 其中 x=（x1，x2，…，xn） ，y=（y1，y2，…，yn） ； p=（a1，a2，…，am+1）是多项式 y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1 的系数；S 是一个矩阵，用来估计预测误差. 2） （2）一元多项式回归命令：polytool（x，y，m） 2．预测和预测误差估计： ．预测和预测误差估计： （1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回归多项式 在x处 的预测值Y； （2）[Y，DELTA]=polyconf（p，x，S，alpha） 求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显 著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA；alpha缺省时为0.5.