第十一章习题解答

第十一章 微分方程习题11－11．说出下列各微分方程的阶数：（1）20dy dy x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭； （2）220d Q dQ Q L Rdt dt C -+=； （3）220xy y x y '''''++= ； （4）()d (76)0x y y x y dx ++-=；（5）2sin y y y x '''++= ； （6）2d sin .d ρρθθ+= 解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各函数是否为所给微分方程的解： （1）22 , 5;xy y y x '==（2）0 , 3sin 4cos ;y y y x x ''+==-（3）221, ;y x y y x''=+=（4）21221 , sin cos .2x x d y y e y C x C x e dx +==++解：（1）∵ 10 y x '=，代入方程得 21025x x x ⋅=⋅∴25y x =是方程的解．（2）∵ 3cos 4sin ,3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+，代入方程，得∴ 3sin 4cos y x x =-是方程的解． （3）∵ 2312,y y x x '''=-=，代入方程，得 23221x x x≠+ ∴1y x=是方程的解． （4）∵ 21212211cos sin ,sin cos 22x x dy d y C x C x e C x C x e dx dx =-+=--+，代入方程， 得 121sin cos 2x C x C x e ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭121sin cos 2x x C x C x e e ⎛⎫++= ⎪⎝⎭∴121sin cos 2x y C x C x e =++是方程的解．3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：（1）()2222 , ;x y y x y x xy y C '-=--+= （2）()220 , ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==解：（1）在二元方程22 x xy y C -+=的两边同时对x 求导，得 移项后即得 ()22 x y y x y '-=-故二元方程22x xy y C -+=所确定的函数是所给微分方程的解．（2）在 ln()y xy =两边对x 求导，得11 ()y y y xy xy x y '''=+=+， 即 yy xy x'=- ()()()()()232223122 y xy x y y xy xy y yxy xy xyy xy x xy x xy x ''--+-'--+-+-''===---，代入微分方程，得故 ln()y xy =所确定的函数是所给微分方程的解．4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件： （1）2220 , |1;x x xy y C y =-+==（2）()1200 , |0 , |1;x x x y C C x e y y =='=+== （3）1200cos sin , | 1 , |.t t x C t C t x x ωωω=='=+== 解：（1）∵ 0 |1x y ==∴222 =0011C -+=即 221x xy y -+=（2）()122 x y C C x C e '=++，由00 |0 , |1x x y y =='==，得 1121C C C =⎧⎨+=⎩∴12 =0 , =1C C ， x y xe =（3）12sin cos x C t C t ωωωω'=-+，由00| 1 , |t t x x ω=='==，得 121C C ωω=⎧⎨=⎩∴12 =1 , =1C C ， cos sin x t t ωω=+5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1）曲线在点(,)x y 处切线的斜率等于该点横坐标的平方；（2）曲线上点(,)P x y 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.解：（1）设曲线的方程为()y y x =，则曲线上点(,)x y 处切线的斜率为y '，由条件知2y x '=，此即为所求曲线的微分方程.（2）设曲线的方程为()y y x =，则曲线上点(,)P x y 处法线的斜率为1y -'，由条件知线段PQ 中点的横坐标为0，所以Q 的坐标为(,0)x -，则有即所求曲线的微分方程为 20yy x '+=．习题11－21．求下列微分方程的通解：（1）ln 0;xy y y '-= （2）23550;x x y '+-=（3'= （4）2();y xy a y y '''-=+ （5）cos sin d sin cos d 0;x y x x y y += （6）2d (4)d 0.y x x x y +-= 解：（1）原方程可写为ln 0dyxy y dx-=，分离变量，得d 1,ln y dx y y x = 两端积分，得 11ln dy dx y y x=⎰⎰ 即 ln ln ln ln ln y x C Cx =+=，亦即ln y Cx = ，故通解为Cx y e = （2）原方程可写为235dy x x dx =+，两端分离变量并积分，得 23()5dy x x dx =+⎰⎰， 故通解为231125y x x C =++ .（3）原方程可写为dy dx =,两端分离变量并积分，得=，故通解为arcsin arcsin y x C =+.（4）原方程可写为21dy ay dx x a=--,两端分离变量并积分，得211ady dx y x a =--⎰⎰，故通解为1ln 1a x a C y=+-+.（5）分离变量，得cos cos d d sin sin y x y x y x =- ，两端积分，得 cos cos d d sin sin y xy x y x=-⎰⎰ ， 1ln sin ln sin y x C =-+，1ln sin sin x y C ⋅=，故通解为sin sin x y C = ，其中1C C e =±为任意常数.（6）分离变量，得，24dx dyx x y=-积分，得 1144dy dx x x y ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭⎰⎰， 即 4ln ln(4)ln ln x x C y --+=，故通解为4(4)x y Cx -=． 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）20,|0;x y x y e y -='== （2）0cos sin d cos sin d ,|;4x x y y y x x y π===（3）2sin ln ,|;x y x y y y e π='== （4）0cos d (1)sin d 0,|;4xx y x e y y y π-=++==（5）2d 2d 0,|1;x x y y x y =+== （6）220(+)d ()d 0,| 1.x xy x x x y y y y =+-==解：（1）分离变量并积分得， 2y x e dy e dx =⎰，即通解为 212y x e e C =+，由条件0|0x y ==，得112C =+， 12C =，故满足初始条件的特解 21(1)2y x e e =+ ．（2）分离变量并积分得，sin sin d d cos cos y xy x y x=⎰⎰， 即 ln(cos )ln(cos )ln y x C -=--， 亦即通解为cos cos y C x =， 由条件0|4x y π==，得 coscos 04C π=，C =，故满足初始条件的特解 cos 0x y =． （3）分离变量并积分得，1csc ln dy xdx y y=⎰⎰， 即ln(ln )ln(tan )ln 2x y C =+，亦即通解为ln tan 2xy C =，由条件2|x y e π==，得ln tan 4e C π=，1C =，故满足初始条件的特解ln tan2xy =．（4）分离变量并积分得，tan 1x xe ydy dx e-=+⎰⎰，通解为(1)sec xe y C +=，由条件0|4x y π==，得C =(1)sec x e y +=．（5）分离变量并积分得，12dy dx y x=-⎰⎰，通解为2x y C =由条件2|1x y ==，得4C =，故满足初始条件的特解24x y =． （6）分离变量并积分得，2211y x dy dx y x=+-⎰⎰，通解为22(1)(1)x y C -+= 由条件0|1x y ==，得2C =，故满足初始条件的特解22(1)(1)2x y -+=． 3．求下列齐次方程的通解：（1）0;xy y '-= （2）d ln ;d y yxy x x= （3）22()d d 0;x y x xy y +-= （4）332()d 3d 0;x y x xy y +-=（5） ;y xyy e x '=+ （6）(12)d 21d 0.x xy y x e x e y y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭解：（1）原方程可写为dy y dx x =+y u x =，则 ,y ux =d d ,d d y u u x x x =+代入原方程，得dd uu xu x +=+1dx x =，积分得 ln(ln ln u x C =+，即u Cx =，亦即 y Cx x +=，原方程的通解2y Cx =．（2）原方程可写为d ln d y y y x x x =，令y u x =，则 ,y ux =d d ,d d y uu x x x=+ 代入原方程，得d ln d uu xu u x+=，分离变量积分得 ()11ln 1du dx u u x =-⎰⎰， 即 ln(ln 1)ln ln u x C -=+，亦即 ln1y Cx x =+，原方程的通解ln 1yCx x=+． （3）原方程可写为d d y y x x x y =+，令y u x =，则 ,y ux =d d ,d d y uu x x x=+代入原方程，得d 1d u u xu x u +=+，分离变量积分得 1udu dx x=⎰⎰， 即 22ln u x C =+，，将yu x =代入上式得原方程的通解22(2ln )y x x C =+．（4）原方程可写为22d d 33y y x x x y =+，令y u x =，则 ,y ux =d d ,d d y uu x x x=+代入原方程，得2d 1d 33u u u x x u+=+，分离变量积分得 233112u du dx u x =-⎰⎰， 即 311ln(12)ln 2u x C --=+，亦即 3221Cu x =-，其中1C C e =，将y u x =代入上式，得原方程的通解332x y Cx -=． （5）令y u x =，则 ,y ux =d d ,d d y u y u x x x '==+代入原方程，得d d u uu x e u x+=+，即 ln ueCx --=，将yu x=代入上式，得原方程的通解ln 0yx e Cx -+=．（6）原方程可写为12d d 12xy xyx ey x ye ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，令x u y =，则 ,x u y =d d ,d d x u u y y y =+ 代入原方程，得d 2(1)dy 12u u u e u u y e -+=+，分离变量积分得 1212u u e du dy u e y+=-+⎰⎰， 即 ln(2)ln ln u u e y C +=-+，亦即 (2)u y u e C +=，将yu x=代入上式，得原方程的通解2xyx ye C +=4．求下列线性微分方程的通解：（1）d ;d x yy e x-+= （2）232;xy y x x '+=++（3）tan sin 2;y y x x '+= （4）d 32;d ρρθ+=（5）ln d (ln )d 0;y y x x y y +-= （6）2d (6)20.d yy x y x-+=解：（1）原方程是()1P x =，()x Q x e -=的一阶非齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为()()dx dx x xxx x y e e e dx C e ee dx C e x C -----⎛⎫⎰⎰=⋅+=⋅+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰．（2）原方程可化为123y y x x x '+=++，它是1()P x x =，2()3Q x x x=++的一阶非齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为()11221332dx dx x x y e x e dx C x x dx C x x -⎡⎤⎛⎫⎰⎰⎡⎤=++⋅+=+++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎰⎰213232C x x x =+++； （3）原方程是()tan P x x =，()sin 2Q x x =的一阶非齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为tan tan 2sin 2sin 2cos cos 2cos cos xdx xdx x y e x e dx C x dx C C x x x -⎛⎫⎛⎫⎰⎰=⋅+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰． （4）原方程是()3P θ=，()2Q θ=的一阶非齐次线性方程.由通解公式得333332223333d d C C Ce e d e e dx e θθθθθρθ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰=⋅+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ，即原方程的通解为 332Ce θρ-=+． （5）原方程可化为1=ln dx x dy y y y +，它是1()ln P y y y =，1()Q y y=的一阶非齐次线性方程.由通解公式得112ln ln 11111ln ln 2ln 2ln 22dy dyy y y y C C C x e e dy ydy y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎰⎰⎛⎫=⋅+=⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰， 即原方程的通解为22ln ln x y y C =+． （6）原方程可化为3=2dx x y dy y --，它是3()P y y =-，()2yQ y =-的一阶非齐次线性方程.由通解公式得33323311222dy dy y y y y x e e dy C y dy C y Cy y -⎡⎤⎛⎫⎰⎰⎛⎫=-⋅+=-⋅+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰． 5．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）0d tan sec ,|0;d x y y x x y x =-== （2）21d 4,| 2 ;d x y yx y x x =+==（3）cos 2d cot 5,|4;d x x y y xe y x π=+==- （4）0d 38,| 2 d x yy y x =+==.解：（1）由公式可得一阶线性微分方程通解为()tan tan 11sec sec cos cos cos xdxxdx y e x e dx C x xdx C x Cx x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤=⋅+=⋅+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰由0|0x y ==得0C =，故特解为cos xy x=.（2）由公式可得一阶线性微分方程通解为由12x y==得1C =，故特解为31y x x=+. （3） 由公式可得一阶线性微分方程通解为 由24x yπ==得1C =，故特解为cos 151sin xy e x⎡⎤=-+⎣⎦，即 cos sin 51x y x e +=. （4）由公式可得一阶线性微分方程通解为由0| 2 x y ==得23C =-，故特解为32(4)3x y e -=-.6．求下列伯努利方程的通解：（1）2d (cos sin );d y y y x x x +=- （2）33d 22 .d yxy x y x+=解：方程两边同除以2y ，得21d cos sin d yy y x x x--+=-令1z y =，2d d y dz y x dx -=-，则原方程变为sin cos dz z x x dx-=-，故 将1z y =代入上式，得原方程通解为1sin x Ce x y =-.1sin x x Ce y=-+； （2）方程两边同除以3y ，得323d 22d yy xy x x--+= 令21z y =，3d 1d 2y dz y x dx -=-，则原方程变为344dz xz x dx-=-，故 将21z y =代入上式，得原方程通解为222212x y Ce x -=++． 7．用适合的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解： （1）2d ();d yx y x=+ （2）d 11;d y x x y =+- （3）(ln ln );xy y y x y '+=+ （4）212x y ye +-'=-．解：（1）令u x y =+，则1dy du dx dx =-，从而原方程可化为21duu dx=+，分离变量积分得21dudx u=+⎰⎰，即arctan x u C =+. 将u x y =+代入，得原方程的通解为arctan()x x y C =++，即tan()y x x C =-++．（2）令u x y =-，则1dy du dx dx =-，从而原方程可化为1du dx u-=，分离变量积分得udu dx =-⎰⎰，即2112x u C +=. 将u x y =-代入，得原方程的通解为2()2x y x C -=-+ （其中12C C =）．（3）令u xy =，则2,duxuu dydx y x dx x-==，从而原方程可化为21()ln du u u u x u x dx x x x -+=，分离变量积分得ln dx dux u u =⎰⎰，即 ln ln ln(ln )x C u +=，亦即C x u e =，将u xy =代入，得原方程的通解为1C x y e x=．（4）令21u x y =+-，则2dy du y dx dx '==-，从而原方程可化为u due dx=，分离变量积分得udx e du -=⎰⎰，即u e C x -=-. 将21u x y =+-代入，得原方程的通解为12ln y x C x =---．8．判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：（1）(cos cos )d (sin sin )d 0x y x y y y x x ++-=； （2）2()0x y dx xdy --=； （3）22()0x y dx xydy ++= ； （4）22(1)20e d e d θθρρθ++=． 解：（1）这里(,)sin sin , (,)cos cos P x y y y x Q x y x y x =-=+，cos sin P Qy x y x∂∂=-=∂∂，所以（1）是全微分方程．取000 , 0x y ==， 根据公式00(,)(,)(,)x yx y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰，有于是全微分方程的通解为sin cos x y y x C +=．. （2）这里2(,),(,)P x y x y Q x y x =-=-,于是有1P Qy x∂∂=-=∂∂，所以（2）是全微分方程．取000 , 0x y ==，根据公式00(,)(,)(,)xy x y u x y P x y dx Q x y dy =+⎰⎰，有于是全微分方程的通解为33x xy C =+．（3）这里22(,),(,),P x y x y Q x y xy =+=2P y y ∂=∂，Q y x∂=∂，显然P Q y x ∂∂≠∂∂，所以（3）不是全微分方程．（4）22(1)20e d e d θθρρθ++=．这里22(,)1,(,)2P e Q e θθρθρθρ=+=，显然22P Q e θθρ∂∂==∂∂，所以（4）是全微分方程，取000 , 0ρθ==，根据公式00(,)(,)(,)u P d Q d ρθρθρθρθρρθθ=+⎰⎰ ，有于是全微分方程的通解为2(1)e C θρ+=．9．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于2x y +.9． 2(1)x y e x =--．解：设曲线的方程为()y y x =，由题意知2y x y '=+，0|0x y ==，于是()()222122dx dx x x x x xy e x e dx C e xe dx C e x e C Ce x ---⎛⎫⎰⎰⎡⎤=⋅+=+=-++=-- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰由0|0x y ==，得2C =，于是所求曲线的方程为2(1)x y e x =--10．质量为lg （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比.在10s t =时，速度等于50cm/s ，外力为24g cm/s ⋅，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解 ：已知t F k v =⋅，并且10t s =时50/v cm s =，4/F g cm s =⋅，故10450k =⋅，从而20k =，因此20t F v =⋅.又由牛顿定律F ma =，即201t dvv dt⋅=⋅，故20vdv tdt =，积分得221102v t C =+，即v ，再代入初始条件得2250C =，因此所求特解为v 60t s =时269.3(/)v cm s ==≈．11．镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R 成正比.由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量0R 的一半.试求镭的量R 与时间t 的函数关系. 解： 设比例系数0λ>，则由题意可得dR R dt λ=-⋅.分离变量积分可得dRdt Rλ=-⎰⎰，即1ln R t C λ=-+，从而1()C t R C e C e λ-=⋅=，因为0t =时0R R =，所以0R C =，即0t R R e λ-=⋅.又因为1600t =时02R R =，所以1600002R R e λ-=⋅，从而ln 21600λ=，因此镭的量R 与时间t 的函数关系为ln 20.000433160000t t R R eR e --==，.时间以年为单位．12．设有连结点(0,0)O 和(1,1)A 的一段向上凸的曲线弧»OA，对于»OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧»OP与直线段OP 所围图形的面积为2x ，求曲线弧»OA 的方程. 解： 曲线弧»OA的方程为()y y x =，由题意得 两边求导得11()()()222y x y x xy x x '--=，即4yy x '=-， 令y u x =，则 ,y ux =d d ,d d y u u x x x =+上式可化为4dux dx=-，分离变量积分得4ln u x C =-+.将yu x=代入，得 4ln y x x Cx =-+.由于(1,1)A 在曲线上，因此(1)1y =，代入得1C =，从而曲线弧»OA的方程为(14ln )y x x =-，01x <≤；当0x =时0y =.13．设有一质量为m 的质点作直线运动.从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为1k ）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为2k ）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系. 解 由牛顿定律知12dv mk t k v dt =-，即21kk dv v t dt m m+=，因此 由0t =时0v =得122k m C k =，故22211122222k k k t t t m mm k k m k m v e te e k k k -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即质点运动的速度与时间的函数关系为211222(1)kt m k k mv t e k k -=--．习题11－31.求下列各微分方程的通解：（1）2290;4d y x dx -= （2）;x y xe '''=（3）2(1)2;x y xy '''+= （4）220.1y y y'''-=- 解：（1）原方程变形，得2294d y x dx =，对所给方程接连积分两次，得2198y x C '=+， 31238y x C x C =++ ，这就是所求的通解.（2）对所给方程接连积分三次，得2123(3)x y x e C x C x C =-+++.这就是所求的通解.（3）令(),y p x y p ''''==，原方程可化为2(1)2x p xp '+=，即221dp xdx p x=+，积分得21ln ln(1)ln p x C =++，亦即21(1)p C x =+，21(1)y C x '=+，所以就是原方程的通解．（4）令()y p y '=,则dpy p dy ''=，原方程化为2201dp p p dy y -=-，即201dp p p dy y ⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦， 当0p =时，得原方程的一个解为y C =，它不是通解； 当0p ≠时，约去p ，分离变量积分，得2(1)p y C -=，即2(1)dy Cp dx y ==-，从而2(1)y dy Cdx -=，积分得312(1)y C x C -=+，其中13C C =，因此原方程的通解为312(1)y C x C -=+．2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： （1）111, |||0 ;x x x x y e y y y ===''''''====（2）00| 1 , | 2 ;x x y y y =='''=== （3）2000 , ||0 ;y x x y e y y =='''-=== （4）31110 , | 1 , |0 x x y y y y =='''+===．解：（1）1+C x x y e dx e ''==⎰，由1|0 x y =''=得，1C e =-，即x y e e ''=-，2()+C x x y e e dx e ex '=-=-⎰，由1|0 x y ='=得，20C =，即x y e ex '=-，23()+C 2x x e y e ex dx e x =-=-⎰，由1|0 x y ==得，32eC =-，故222x e ey e x =-- 为 原方程的所求特解 ．（2）令()y p y '=，那末 dp y pdy ''=，得dppdy=pdp =， 积分得3221122p y C =+，由00 | 1 , |2x x y y =='==得10C =，从而342y p y '==±，又y ''=，可知342y y '=，即342y dy dx -=，积分得14242y x C =+， 由0 | 1 x y ==，得24C =，所以4112y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为所求特解．（3）令()y p y '=，那末dp y pdy ''=，得20y dpp e dy-=，即2y pdp e dy =，积分得2211122yp e C =+，由000x x y y =='==得112C =-，从而22()1,y y e y ''=-=，即dx =±，亦即y dx -=±，积分得2arcsin y e x C --=±+，由00x y==，得22C π=-，所以sin()cos 2y e x x π-=±+=，原方程特解为lnsec y x =． （4） 令y p '=,则dp y pdy ''=，原方程变为31dpy pdy=-，从而3pdp y dy -=-，积分得2121p C y =+，即2121()y C y '=+，由111,0x x y y =='==得11C =-，从而221()1y y '=-，即y '=dx =±，积分得2x C =±+，再由11x y ==得21C =m，因此所求特解为(1)x =±-，即221(1)y x -=- 亦即222x y x +=，或y =（舍去y =，因为11x y ==）． 3．试求y x ''=的经过点(0,1)M 且在此点与直线12xy =+相切的积分曲线. 解：由积分曲线经过点(0,1)M 知，01x y ==，又由积分曲线在点(0,1)M 与直线12xy =+相切知，012x y ='=. 对方程y x ''=积分得，2112y xdx x C '==+⎰，利用条件012x y ='=，从而112C =，即21122y x '=+，再积分得，3262x x y C =++，利用条件01x y==，从而21C =，于是3162x xy =++．4．下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？（1）2cos , ;x x （2）22,5 ;x x （3）22,3;x x e e （4）2sin ,1 ;x （5）cos 2,cos sin ;x x x （6）22,;x x e xe（7）ln ,2ln ;x x （8）1212,().x x e e λλλλ≠ 解：（1）、（4）、（5）、（6）、（8）线性无关．因为：对于定义在区间I 上的两个函数1()y x 与2()y x ，如果1()y x 与2()y x 在区间I 上线性相关，则存在两个不全为0的常数12 , k k ，使得对于∀x I ∈恒有1122()()0k y x k y x +=成立，即12()()y x y x 或21()()y x y x 恒为常数．因而如果12()()y x y x 或21()()y x y x 均不为常数，则称1()y x 与2()y x 在区间I 上一定线性无关. （1）、（4）、（5）、（6）、（8）中的两个函数之比均不为常数，所以这五组函数均线性无关.相反地（2）（3）（7）线性相关． 5．验证21x y e -=及62x y e -=都是方程8120y y y '''++=的解，并写出该方程的通解. 解： 因为21x y e -=，22112,4x x y e y e --'''=-=，62x y e -=，66226,36x x y e y e --'''=-=，所以21x y e -=和 62x y e -=都是已知方程的解.由于24162xx x y e e y e--==不为常数，因此1y 与2y 线性无关，所给方程的通解为2612x x y C e C e --=+.6．验证1sin y x =及2cos y x =都是方程0y y ''+=的解，并写出该方程的通解. 解： 因为1sin y x =，11cos ,sin y x y x '''==-，2cos y x =，22sin ,cos y x y x '''=-=-，所以1sin y x =何2cos y x =都是已知方程的解.由于12tan y x y =不为常数，因此1y 与2y 线性无关，所给方程的通解为12sin cos y C x C x =+.7．求下列微分方程的通解：（1）3100;y y y '''--= （2）40;y y '''-= （3）20; y y ''+= （4）8160;y y y '''++=（5）22d d 690;d d x xx t t-+= （6）220y y y '''++=．解：（1）特征方程为23100r r --=，解得122,5r r =-=，故方程的通解2512x x y C e C e -=+．（2）特征方程为240r r -=，特征根为120,4r r ==，故方程的通解为412x y C C e =+． （3）特征方程为220r +=，解得1,2r =，故方程的通解12y C C =+． （4）特征方程为28160r r ++=，特征根为124r r ==-，故方程的通解为412()x y C C x e -=+．（5）特征方程为2690r r -+=，特征根为123r r ==，故方程的通解为312()t x C C t e =+．（6）特征方程为2220r r ++=，特征根为1,21i r ==-±，故方程的通解为12(cos sin )x y e C x C x -=+．8．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）00680,|1,|6;x x y y y y y ==''''-+=== （2）00440,|2,|0;x x y y y y y ==''''++=== （3）00340,|0,|5;x x y y y y y ==''''--===- （4）006130,|3,|1x x y y y y y ==''''++===-．解：（1）特征方程为2680r r -+=，特征根为122,4r r ==，故方程的通解为2412x x y C e C e =+代入初始条件00|1,|6x x y y =='==，得12121246C C C C +=⎧⎨+=⎩，解之得1212C C =-⎧⎨=⎩，从而所求特解为242x x y e e =-+．（2）特征方程为24410r r ++=，特征根为121,3r r ==，故方程的通解为312x x y C e C e =+代入初始条件002,0x x y y=='==，得12126310C C C C +=⎧⎨+=⎩，解之得1242C C =⎧⎨=⎩，从而所求特解为342x x y e e =+．（3） 特征方程为2340r r --=，特征根为121,4r r =-=，故方程的通解为412x x y C e C e -=+代入初始条件000,5x x y y =='==-，得1212045C C C C +=⎧⎨-+=-⎩，解之得1211C C =⎧⎨=-⎩，从而所求特解为4x x y e e -=-（4）特征方程为26130r r ++=，特征根为1,2632i 21r -±==-±⨯，故方程的通解为312(cos 2sin 2)x y e C x C x -=+代入初始条件00|3,|1x x y y =='==-，得1123321C C C =⎧⎨-+=-⎩，解之得1234C C =⎧⎨=⎩，从而所求特解为3(3cos 24sin 2)x y e x x -=+．9．写出下列各微分方程的待定特解的形式（不用解出）： （1）355;x y y y e '''-+= （2）3;y y '''-=（3）2276(521);x y y y x x e '''-+=-- （4）369(1)x y y y x e '''-+=+．解（1）特征方程为2350r r -+=，解得1,2331i 2122r ±==±⨯． 又因为()5x f x e =，1λ=是特征根，故待定特解的形式为*x y ae =． （2）特征方程为20r r -=，特征根为120,1r r ==．又因为()3f x =，0λ=是特征根，故待定特解的形式为*y ax =． （3）特征方程为2760r r -+=，特征根为1216r r ==．又因为22()(521)x f x x x e =--， 2λ=不是特征根，故待定特解的形式为*22()x y ax bx c e =++．（4） 特征方程为2690r r -+=，特征根为123r r ==．又因为3()(1)x f x x e =+，3λ=是特征根，故待定特解的形式为*23()x y x ax b e =+． 10．求下列各微分方程满足已给初始条件的特解： （1）sin 20, |1, |1;x x y y x y y ππ=='''++=== （2）00325, |1, |2;x x y y y y y ==''''-+=== （3）004, |0, |1;x x x y y xe y y =='''-=== （4）0045, |1, |0x x y y y y ==''''-===．解：（1）特征方程为210r +=，解得1,2i r =±，对应齐次方程的通解为12cos sin y C x C x =+因()sin 2f x x =-，i 2i αβ±=±不是特征根，所以设原方程的特解为*cos 2sin 2y A x B x =+，*()2sin 22cos 2y A x B x '=-+，*()4cos 24sin 2y A x B x ''=--，代入原方程得3cos23sin 2sin 20A x B x x --+=，30 , 310A B -=-+=，即10,3A B ==， *1sin 23y x =．故原方程的通解为又122sin cos cos 23y C x C x x '=-++，代入初始条件1,1x x yy ππ=='==，得112211 1,2313C C C C =-⎧⎪⇒=-=-⎨=+⎪⎩，从而所求特解为11cos sin sin 233y x x x =--+．（2）特征方程为210r +=，解得121,2r r ==，对应齐次方程的通解为 因()5f x =，0λ=不是特征根，所以设原方程的特解为*y A =，代入原方程 ，得 25A = 即 52A =，*52y =．故原方程的通解为 又2122x xy C e C e '=+，代入初始条件00 |1, |2x x y y =='==，得121212517 5,2222C C C C C C ⎧++=⎪⇒=-=⎨⎪+=⎩， 从而所求特解为275522x x y e e =-++．（3）特征方程为2320r r -+=，解得121,1r r ==-，对应齐次的通解为 而()4x f x xe =-，1λ=是特征方程的单根，故可设原方程的特解为 代入原方程整理得比较系数,得1,1A B ==-，所以*(1)x y x x e =-．故原方程的通解为 将条件00,1x x yy =='==代入,得12121211 , 111C C C C C C +=⎧⇒==-⎨--=-⎩， 从而所求特解为2()x x x y e e x x e -=-+-．（4）特征方程为240r r -=，解得120,4r r ==，对应齐次方程的通解为412x y C C e =+ 因()5f x =，0λ=是特征方程的单根，所以设原方程的特解为*y Ax =，代入原方程 ，得 45A -= 即 54A =-，*54y x =-．故原方程的通解为又42544xy C e '=-，代入初始条件00|1, |0x x y y =='==，得121221115 ,51616404C C C C C +=⎧⎪⇒==⎨-=⎪⎩， 从而所求特解为4115516164x y e x =+-． 11．设函数()x ϕ连续，且满足求()x ϕ.解： 方程两边同时对x 求导，得()()xx x e t dt ϕϕ'=-⎰，()()x x e x ϕϕ''=-，(0) 1 , (0)1ϕϕ'==从而 ()()x x x e ϕϕ''+=又该方程对应齐次方程的特征方程为210r +=，特征根为1,2i r =±，故齐次方程的通解为通过观察易知*12x e ϕ=为方程()()x x x e ϕϕ''+=的一个特解，从而该方程的通解为将初始条件(0)1,(0)1ϕϕ'==代入,得11221112 1212C C C C ⎧=+⎪⎪⇒==⎨⎪=+⎪⎩， 故总习题十一1．单项选择题：（1）下列微分方程中是线性方程的是（ ）.（A ） cos()y y e x '+= （B ） 22x xy y x y e '''+-= （C ）()250y y '+= （D ）sin 8y y x ''+= （2）下列方程中是一阶微分方程的是（ ）.（A ） 2()20x y yy x ''++= （B ） ()()245750y y y x '''+-+= （C ）0xy y y '''++= （D ）(4)5cos 0y y x '+-= （3）微分方程20ydy dx -=的通解是（ ）.（A ） 2y x C -= （B ） 2y x C += （C ）y x C =+ （D ）y x C =-+（4）微分方程0y y ''+=满足初始条件001 , 1x x y y =='==的特解是（ ）.（A ） cos y x = （B ） sin y x = （C ）cos sin y x x =+ （D ）12cos sin y C x C x =+ （5）下列函数是微分方程20y y y '''-+=的解是（ ）.（A ） 2x x e （B ） 2x x e - （C ） x xe - （D ） x xe解：（1）（B ） ； （2）（A ）； （3）（A ）； （4）（C ）； （5）（D ）. 2．填空题：（1）以22()1x C y ++=（其中C 为任意常数）为通解的微分方程为 22(1)1y y '+=. （2）以212x x y C e C e =+（其中1C 、2C 为任意常数）为通解的二阶常系数齐次线性微分方程为320y y y '''-+=.（3）微分方程x y y e -'=的通解为y x e e C =+.（4）方程cot 2sin y y x x x '-=的通解为2()sin y x C x =+.（5） 设方程()()()y p x y q x y f x '''++=的三个特解是2123 ,,x x y x y e y e ===，则此方程的通解为2212()()x x x y C x e C x e e =-+-+. 3．求下列微分方程的通解：（1）2(12)(1)0y xdx x dy +++=； （2）x yy x+'=-； （3）d d 2(ln )y y x y x =- ； （4）5d d y y xy x-=； （5）20y y y '''+-=； （6）22x y y y e '''+-= ； （7）sin y y x ''+=； （8）25sin 2y y y x '''++=. 解：（1）分离变量积分，得 21121xdy dx y x =-++⎰⎰， 即 ()2ln 12ln(1)ln y x C +=-++，亦即 2(1)(12)x y C ++= 故原方程所求通解为 2(1)(12)x y C ++=. （2） 原方程变形为11y y x'+=-，这是一阶线性方程，其通解为 即原方程通解为22xy x C +=.（3）原方程变形为d 22ln d x y x y y y+=，这是一阶线性方程，其通解为 即原方程通解为21ln 2x Cy y -=+-.（4）这是5n =的伯努利方程. 方程两端同除以5y ，得54dyy y x dx---=，令4z y -=，便有44dz z x dx+=-，此方程为一阶非齐次线性方程，其通解为 将4z y -=代入，得原方程的通解为4414x y Ce x --=-+. （5）特征方程为220r r +-=，解得122,1r r =-=，故方程的通解、212x x y C e C e -=+．（6）特征方程为2210r r +-=，解得1211,2r r =-=，对应齐次的通解为 而()2x f x e =，1λ=不是特征方程的根，故可设原方程的特解为代入原方程整理得 1A =，所以*x y e = 故原方程的通解为212x x x y C e C e e -=++．（7）特征方程为210r +=，解得1,2i r =±，对应齐次方程的通解为因()sin f x x =，i i αβ±=±是特征根，所以设原方程的特解为 ()*cos sin y x A x B x =+，又 ()*()sin cos cos sin y x A x B x A x B x '=-+++，()*()2(cos sin )cos sin y B x A x x A x B x ''=--+，代入原方程，得()()2(cos sin )cos sin cos sin sin B x A x x A x B x x A x B x x --+++=，21, 20A B -==， 即1,02A B =-=， *1cos 2y x x =-．故原方程的通解为 （8）25sin 2y y y x '''++=其特征方程为2250r r ++=，特征根为1,212r i =-±，从而其对应齐次方程的通解为12(cos 2sin 2)x y e C x C x -=+.又()sin 2f x x =，i 2i αβ±=±不是特征根，所以设原方程的特解为*cos 2sin 2y A x B x =+，*()2sin 22cos 2y A x B x '=-+，*()4cos 24sin 2y A x B x ''=--，代入原方程得()()4cos24sin 2sin 2A B x B A x x ++-=，4041 , 411717A B A B B A +=⎧⇒=-=⎨-=⎩，所以*41cos 2sin 21717y x x =-+． 故原方程的通解为1241(cos 2sin 2)cos 2sin 21717x y e C x C x x x -=+-+． 4．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）222(3+2)d (2)d 0 , 1x xy y x x xy y x -+-==时1y =；（2）2cos , 0y y y x x '''++==时30 , 2y y '==. 解：（1）222(,)3+2 ,(,)2P x y x xy y Q x y x xy =-=-,于是有22P Q x y y x ∂∂=-=∂∂，所以方程（1）是全微分方程．因为所以方程（1）的通解为322x x y xy C +-=，又1x =时，1y =，从而1C = 于是原方程的特解为3221x x y xy +-=．（2）特征方程为2210r r ++=，解得121r r ==-，对应齐次方程的通解为 因()cos f x x =，i i αβ±=±不是特征根，所以设原方程的特解为*cos sin y A x B x =+，又 *()sin cos y A x B x '=-+，()*()cos sin y A x B x ''=-+，代入原方程，得()cos sin A x B x -+2sin 2cos A x B x -++cos sin cos A x B x x +=，20, 21A B -==， 即10,2A B ==， *1sin 2y x =．故原方程的通解为1sin 2x y xe x -=+ 由条件0x =时30 , 2y y '==，得210 1322C C =⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩121,0C C == 所以原方程的特解为1sin 2x y xe x -=+.5．已知某曲线经过点（1，1），它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.解：设曲线的方程为()y y x =，其上任一点(,)x y 处的切线方程为()Y y y X x '-=-，切线在纵轴上的截距为y xy '-，由题意有y xy x '-=，即1y y x'-=-，其通解为 又因为曲线过点(1,1) ，所以1C =，从而所求曲线方程为(1ln )y x x =-.6．设可导函数()x ϕ满足求()x ϕ.解：方程两边同时对x 求导得即()cos ()sin 1x x x x ϕϕ'+=，亦即()tan ()sec x x x x ϕϕ'+=，其通解为在0()cos 2()sin 1xx x t tdt x ϕϕ+=+⎰中，令0x =得(0)1ϕ=，故 因此()cos sin x x x ϕ=+.7．一链条挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m,另一端离开钉子12m ，分别在以下两种情况下求链条滑下来所需要的时间:(1)若不计钉子对链条产生的摩擦力；(2)若摩擦力为1m 长的链条的重量.解： (1) 设在时刻t 时，较长的一段链条垂下 m x ，且设链条的密度为ρ，则向下拉链条的作用力由牛顿第二定律可知202(10)x g x ρρ''=-，即 10g x x g ''-=- 该方程对应的齐次方程的特征方程为2010g r -=，特征根为1,2r =的通解为通过观察知*10x =为非齐次方程10g x x g ''-=-的一个特解，因而原方程的通解为又12x e '=且(0)12,(0)0x x '==，可得1212122 10C C C C C C +=⎧⇒==⎨-+=⎩，因此10x e =++；当20x =，即链条全部滑下来，有10e =+，解得所需时间t =+（秒）.(2) 此时向下拉链条的作用力变为(20)1(221)F x g x g g g x ρρρρ=---⋅=-. 由牛顿第二定律可知20(221)x g x ρρ''=-，即 1.0510gx x g ''-=-.类似于(1)中解法可得此方程通解为 1210.5x C e C =++由初始条件得1234C C ==，因而所求特解为 3310.544t tx e =++当20x =时有39.54e ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解之得所需时间为t =（秒）．。