最新高中数学选修2-2知识点总结(最全版)

高中数学选修2-2知识点总结

第一章、导数

1．函数的平均变化率为

=

∆∆=∆∆x

f

x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =

在0x x =处的瞬时变化率是x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000

，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或

0|'x x y =，即)(0'x f =x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

0000

.

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

5、常见的函数导数 函数 导函数 (1)y c =

'y =0 (2)n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= (3)x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a =

(4)x y e =

'x y e =

(5)log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1

'ln y x a =

(6)ln y x = 1'y x

=

(7)sin y x = 'cos y x =

(8)cos y x = 'sin y x =-

6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 和差的导数运算

[]'

''()()()()f x g x f x g x ±=± 积的导数运算

[]'

''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±

特别地：()()''Cf x Cf x =⎡⎤⎣⎦

商的导数运算

[]

'

''2

()()()()()

(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 特别地：()()2

1'()'g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦

复合函数的导数

x u x y y u '''=⋅

微积分基本定理

()b

a

f x dx =⎰F(a)--F(b)

（其中()()'F x f x =）

和差的积分运算

1

2

12[()()]()()b b

b

a

a

a

f x f x dx f x dx f x dx

±=±⎰⎰

⎰ 特别地：

()()()

b

b a

a

kf x dx k f x dx k =⎰

⎰为常数

积分的区间可加性

()()()()

b

c

b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰

⎰⎰其中

.用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f (x )的导数'()f x

②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f (x )的极值的步骤：

(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根

(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如

果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；

⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤:分割→近似代替→求和→取极限 （“以直代曲”的思想）

10.定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1

a b dx b

a

-=⎰1

性质5 若[]b a x x f ,,0)(∈≥，则0)(≥⎰b a

dx x f

①推广：1212[()()()]()()()b

b b

b

m m a

a

a

a

f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±

±=±±

±⎰⎰⎰⎰

②推广:12

1

()()()()k

b

c c b

a

a

c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++

+⎰⎰⎰⎰

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.

( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x 轴上方的图形面积；

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的

值取负值，且等于x 轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。

第二章、推理与证明知识点

13.归纳推理的定义： 从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体．．，由个别到一般．．的推理。

14.归纳推理的思维过程大致如图：

实验、观察 概括、推广

猜测一般性结论