初三数学二次函数讲义详细

二次函数

一、二次函数的解析式

1. 二次函数解析式有三种：

(1)一般式：y ax bx c a =++≠2

0() (2)顶点式：()y a x h k =-+2 顶点为()

h k ， (3)交点式：()()y a x x x x =--12 ()()x x 12

0，，是图象与x 轴交点坐标。 2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式.

二、二次函数与一元二次方程

1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠与一元二次方程

()200ax bx c a ++=≠的关系。

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值

0y =时的特殊情况。

2.图像与x 轴的交点个数：

①当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点

()()()1212,0,,0A x B x x x ≠，其中12,x x 是一元二次方程

()200ax bx c a ++=≠的两根；

②当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；

③当0∆<时，图像与x 轴没有交点。

1’ 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >

2’ 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。

板块一 二次函数解析式

1.(1)把函数232

12++=x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________；

(2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为

____________________________；

(3)把函数()2

324y x =-+化为它的一般式的形式为

__________________________；

(4)把函数12)1(32--=x y 化成它的交点式为

__________________________;

(5)把函数22x y =的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的

二次函数解析式是 ；

(6)把抛物线322-+=x x y 向左平移3个单位,然后向下平移2个单位,则

所得的抛物线的解析式为 .

2.(1) 抛物线了

y=a(x+1)(x-3)(a ≠0)的对称轴是直线

( ) A ．x=1 B ．x=－1 C ．x=－3 D ．x=3

(2)二次函数y=(x+1)2+2的最小值是

( )

A ．2

B ．1

C ．－3

D ．2

3

3.(1)已知一个二次函数过(0 ，0)，(-1 ，11)，(1， 9)三点，求二次函

数的解析式。

(2)已知二次函数2y ax bx c =++的对称轴为2x =,且经过点(1，

4),(5,0),求二次函数的解析式。

(3)已知二次函数过点(0，-1)，且顶点为(-1,2)，求二次函数

的解析式，并化成它的一般形式。

(4)已知二次函数的图像与x 轴交于A(-1，0)，B(2，0)，并经

过点M(1，2)求二次函数的解析式。 4.已知二次函数的图象与x 轴交于A(-2，0)、B(3，0)两点，且函数有最

大值是2.

(1)求二次函数的图象的解析式；

(2)设次二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积.

板块二 二次函数与方程

1.(1)二次函数2y ax bx c =++与x 轴的两个交点坐标为(-1,0)、(5,0)，

则一元二次方程20ax bx c ++=的两根为_____________.

(2)如果一元二次方程20ax bx c ++=的两个根是3和-1.则二次函数

2y ax bx c =++的图像的对称轴是直线_________________.

(3)已知二次函数24y x x m =-++的部分图像如右图所示，则关于x 的一

元二次方程

240x x m -++=的解是______________.

2.根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，

判断方程()

200,,,ax bx c a a b c ++=≠为常数的一个解x 的范围是( )

A.6 6.17x <<

B. 6.17 6.18x <<

C. 6.18 6.19x <<

D.

6.19 6.20x <<

3.已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：

……

…

…

则下列判断中正确的是( )

A.抛物线开口向上

B. 抛物线与y 轴交于负半轴

C. 当4x =时，0y >

D.方程20ax bx c ++=的正根在3和4之间

4.(1)已知直线5y x k =+与抛物线235y x x =++的交点的横坐标为1，则

k=________

(2)直线41y x =+与抛物线22y x x k =++有唯一的交点，则k=___________

(3)直线6y ax =-与抛物线243y x x =++只有一个交点，则a=___________

(4)当m 取何值时，抛物线2y x =与直线y x m =+：①有公共交点；②没有

公共点

5.已知关于x 的二次函数()22

2134y x m x m m =--+++，探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图像与x 的交点个数。

6.二次函数()2

0y ax bx c a =++≠的部分图像如图所示，根据图象解答下列问题：