天体力学基础(精)

3.6.1 轨道分类
3. 混沌轨道
CJ 3.06, x0 0.29, y0 0, x0 0
3.6.1 轨道分类
3. 混沌轨道:对初值的敏感性依赖
CJ 3.12, x0 0.29, y0 0, x0 0 CJ 3.06, x0 0.29, y0 0, x0 0
x

3.6 限制性三体问题中的混沌运动
以圆型限制性三体问题为例,介绍混沌现象.
圆型限制性三体问题中 m 的运动方程为：
x

2
y

x


1 2
x2 y2

1
r1


r2
,
y

2x

y
其中
r12 x y2 z2 ,
质量单位 m1 1 , m2


1 2
CJ
.
源自文库
如果仅讨论平面模型,因此可将上式中关于 z 的项舍去.
3.6 限制性三体问题中的混沌运动
讨论平面模型,系统是二自由度的,因此其相空间是四维的. 因为存在Jacobi积分,可利用它定义Poincare截面：CJ C, y 0, y 0
此处及以后,都取 103, 对应太阳-木星-小天体这样的三体系统.
3.6 限制性三体问题中的混沌运动
混沌系统的例子
Lorenz系统：
x 10x 10 y
y 28x y xz
z


8 3
z

xy
简化的大气模型
耗散系统 ，奇异吸引子
初值敏感性－蝴蝶效应
3.6 限制性三体问题中的混沌运动
Logist Map: xn1 xn (1 xn )
3.6 限制性三体问题中的混沌运动
将初始值x0转化成二进制表示：
x0 0.a1a2a3 ... 2 j a j
则：
j 1
x1 0.a2a3a4...
x2 0.a3a4a5...
一次相当于映射于一次移位，故称为Bernoulli移位，在该 映射下，第n位有效位数经过n次映射后被掩盖了。这是映 射中轨道对初值敏感性的体现。这样的轨道，如果不是周 期轨道，称为混沌轨道（这里都是有界轨道）。
3.6.2 Lyapunov指数
初始值的微小偏差 x0 在系统演化过程中随时间指数增长:
x0 t x0et
0 称为最大Lyapunov指数. 而系统这样的行为称为混沌.
Lyapunov指数可以通过同时计算动力系统和轨道附近的变分方程系统获得.
x f x,



f x
xxt
,
ln
lim t lim
t
t
0
t
.
t2 t1
t3
t0
天体力学基础
第三章
限制性三体问题
3.6 限制性三体问题中的混沌运动
Bernoulli移位(shift)
我们给出一映射：
x n 1
1
xn1 2xn xnm
混沌的概念
（mod 1)
(1)
xn
1/2
1
2-m
xn
若初值误差为2-m,则经过m次映射后，误差放大到1，即我们已 经不能判断加了误差的初始值，m次映射后轨道位于何处！
长度单位 a 1 m1, m2
z

z
r22 x 1 y2 z2. 时间单位 n 1 m1, m2
此时
G 1,T 2
该运动方程存在Jacobi积分：
1
2
x2 y2 z2

1 2
x2 y2
1
r1


r2
3.6.1 轨道分类
1. 周期轨道
CJ 3.12, x0 0.2693, y0 0, x0 0
3.6.1 轨道分类
2. 拟周期轨道：不变环面
CJ 3.12, x0 0.29, y0 0, x0 0
3.6.1 轨道分类
2. 拟周期轨道：周期岛屿
CJ 3.12, x0 0.26, y0 0, x0 0