抛物线与几何图形相结合的存在性问题

C B O

A

Q

G

H

Q 4

C B

O A Q 3

M 4

M 3

M 2M 1O

C

B

A x

y

Q C B

O A B

A C(M 1)

F 3

F 2

F 1

O

E

M 2

M 3

y

x

抛物线与几何图形相结合的存在性问题

学习目标：经历探索抛物线与常见几何图形相结合的有关问题的过程，体会知识间的相互联系，运用数形结合、转化、分类讨论等思想，综合运用所学的知识，提高分析和解决问题的能力。复习过程：

已知抛物线的解析式为：y x2 2x 3，现在以此抛物线为原型，结合常见的几何图形，探索一些存在性的问题.

一、直角三角形 探究1、抛物线上是否存在一点Q ，使△QBC 为直角三角形？ 解析：（1）如图1，当∠Q 1BC=90°时，易得Q 1的坐标为(-２，５)；（2）如图2，当∠BCQ 2=90°时，易得Ｑ２的坐标为(1，-4) ；（3）如图3，当∠BQ 3C=90°时，设Q 3 (a ，a 2-2a -3)，由△Q 3HC ∽△BGQ 3 ，有Q 3H BG = HC GQ 3，a - (a 2

-2a -3) = -3- (a 2-2a -3)3- a ，得a 2-a -1 = 0，∴解之得，a 1 =1-5 2 ，a 2 = 1＋5 2 ，即 Q 3 (1＋5 2 ，-5-5 2 ) ，Q 4(1-5 2 ，-5＋5

2 ).

图1 图2 图3 图4 图5 二、等腰三角形

探究2、在y 轴上是否存在一点M ，使△MAC 为等腰三角形.

解析：由勾股定理得AC = 10，分三种情况考虑. （1）当AC = AM 时，易得M 1(0，3). （2)当CA = CM 时，易得M 2(0，-3＋10) ，M 3(0，-3 -10).（3）当MA = MC 时，作线段AC 的中垂线交y 轴于点M 4，如图4，设M 4(0，a )，则由勾股定理得，12＋(-a )2 = (a ＋3)2 ，解得a = -

4 3 ，所以M 4(0，- 4 3

) . 三、平行四边形

探究3、点E 的坐标为(2，-3)，点F 为x 轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使以A 、E 、F 、M 四点为顶点的四边形是平行四边形？

解析: 如图5 ，这样的点有3个，分别是M 1(0，-3)，M 2(1-7，3)，M 3(1＋7，3). 四、相似三角形 探究4、如图6，（1）△DCB 与△AOC 相似吗？（2）延长AC 、BD 交于点E ，求∠E 的度数； 解析: （1）已知点B 、C 、D 三点的坐标，可求出BC =32，DC =2，BD =25，则∠BCD = 90°，易得△DCB ∽△AOC.（2）∠ACB =∠E ＋∠CBE = ∠ACO ＋∠OCB ，又由（1）可知， △DCB ∽△AOC ，所以∠ACO =∠DBC ， 所以∠E =∠BCO = 45°.

（3）如图7，已知点P (-4，0)，点Q 在x 轴上下方的抛物线上，直线PQ 交线段于AC 于点F ，当∠PFA =∠E 时，求点Q 的坐标.

解析：设直线PQ 交y 轴于点H ，交BD 于点M ，延长BE 交y 轴于点G ，易求出直线 y BD = 2x -6，则G (0，-6)，由∠PFA =∠EFM = 45°，又∠E = 45°，所以PQ ⊥BG ，利用△GOB ∽

E

H

D

O B

A C F A B

C O M

D E y x

G N F

M A B

C

O D E

H y

x

G Q F P

E H

D

O B

A C

△POH ，得H (0，-2)，求出直线y PQ = - 1 2 x -2，易得Q 1 (2，-3) 、Q 2(- 1 2 ，- 7 4

). 图6 图7 图8 图9

五、圆

探究5、⊙M 过A 、B 、C 三点，直径BD 与抛物线交于点E ，点F 在⌒

AB 与x 轴下方的抛物线所组成的图形上，求△BEF 面积的最大值.

解析：因为⊙M 过A 、B 、C 三点，易知点M 的坐标是(1，-1).直径BD 过点B 、M ，易求出L BD = 1 2 x - 3 2 ，则与抛物线的交点E (- 1 2 ，- 7 4 )，则BE 2 = (3＋1 2 )2＋(7 4 )2 = 245 16 ，BE =

7

4

5错误！未找到引用源。 ，设△BEF 的面积为S. i.如图8，若点F 在⌒

AB 上.平移直线BE 使其与⊙M 相切于点F ，由直线与圆的位置关系可知，此时MF = MB = 5，且MF ⊥MB ，S 最大，记为S 1 =

1 2 ×7 4 5× 5 = 35 8

.

ii.若点F 在AE 段抛物线上，可知F 与A 重合时，S 最大，记为S 2 ，此时有S 2＜S 1；

iii ．如图9，若点F 在BE 段抛物线上.设点F 的坐标为(n ，n 2-2 n -3)，过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，交BE 于点N ，则点N 的坐标为(n ，1 2 n - 3 2 )，S △BEF = 1

2

(EG ＋BH ) ×FN

=

1 2 (3＋1 2 ) (1 2 n - 3 2 - n 2＋2 n ＋3) = - 7 4 ( n -5 4 )2＋343 64 (- 1

2 ＜n ＜3)， 当n = 5 4 时，S 最大，记为S

3 = 343 6

4 .∵S 1＜S 3，∴△BEF 面积的最大值为343

64 .