数列求通项公式专题试题汇编

求通项公式专题
一、利用n a 与n S 关系求n a
1-1已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式n a
例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n －1；(2)S n ＝2n 2＋n ＋3.
变式训练1 已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求a n . (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n －2.
1-2已知n a 与n S 的关系式，求n a
例2 已知数列}{n a 的前n 项和32
3
-=
n n a S ，求}{n a 的通项公式. .
变式训练2 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足1=+n n a S ，求}{n a 的通项公式. .
变式训练3 已知数列{a n }前n 项和S n 满足S n ＝1
4(a n ＋1)2且a n >0，(1)求a 1，a 2；(2)求{a n }通项公式．
变式训练4 已知正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足12+=n n a S ，求}{n a 的通项公式.
加强训练（练习册31页例2）5：已知31=a 且()
*
-∈≥+=N n n S a n n n ,221，求n a 及n S 。

二、已知递推公式求通项公式 1公式法：型如()2,
1
1≥==---n q a a d a a n n
n n 2.累加法：型如)(1n f a a n n +=+的数列
例3 已知数列}{n a 满足21=a ，231++=+n a a n n ，求}{n a 的通项公式.
变式训练5(1)已知数列}{n a 满足11=a ，)1
1ln(1n
a a n n ++=+，求}{n a 的通项公式.
(2)已知数列}{n a 满足21=a ，1
2123-+⋅=-n n n a a ，求}{n a 的通项公式.
3.累乘法：型如)(1n f a a n n ⋅=+的数列
例4 已知数列}{n a 满足11=a ，n n a n
n a 2
1+=+，求}{n a 的通项公式.
变式训练6 已知数列}{n a 满足11=a ，12n
n n a a +=⋅，求}{n a 的通项公式.
变式训练7 已知数列}{n a 满足11=a ，)(1n n n a a n a -=+，求}{n a 的通项公式.
4
.对数法：
4-1型如i
n n a a =+1的数列（其中R i ∈且()01≠-i i ，数列{}n a 是正项数列）
例5 已知数列}{n a 满足21=a ，2
1n n a a =+，求}{n a 的通项公式.
变式训练8 已知数列}{n a 满足21=a ，2
12n n n a a a +=+，求}{n a 的通项公式.
4-2型如()1,1≠=+，p q p pa a q
n
n 为常数
例6：已知数列{}n a 中，(),,3,22,111 ===-n a a a n n 试将n a 用n 表达。

5.构造法
5-1型如b ka a n n +=+1(b k 、为常数)的数列构造}{λ+n a 为等比数列▲
例7 已知数列}{n a 满足21=a ，321+=+n n a a ，求}{n a 的通项公式.
变式训练9 已知数列}{n a 满足11=a ，231+=+n n a a ，求}{n a 的通项公式.
变式训练10 已知数列}{n a 满足2171-=a ，)2(52
3
1≥+=-n a a n n ，求}{n a 的通项公式.
5-2型如q
pa r
ma a n n n ++=
+1的数列
5-2-1型如)0(1≠+=
+mp m
pa ma a n n
n 的数列
例8 已知数列}{n a 满足11=a ，1
21+=+n n
n a a a ，求}{n a 的通项公式.
变式训练11 已知数列}{n a 满足11=a ，2
21+=+n n
n a a a ，求}{n a 的通项公式.
5-2-2型如)0(1≠+=
+mpq q
pa ma a n n
n 的数列
解法：将原递推公式化为n n n n ma qa a pa =+++11后两边同时除以n n a a 1+得1
11+⋅=⋅
+n n a m a q p 转化为“6-1型如b ka a n n +=+1(b k 、为常数)的数列构造}{λ+n a 为等比数列”.
例9：已知数列}{n a 满足11=a ，2
1+=+n n
n a a a ，求}{n a 的通项公式.
例10（拓展）.设由()() ,3,21
12,111
1=+-==--n a n a a a n n n 定义数列{}n a ，试将n a 用n 来表示
5-2-3形如：q
pa r
ma a n n n ++=
+1
当特征方程q pa r
ma a n n n ++=
+1有两个不同的根1x 与2x 时，则⎭
⎬⎫⎩⎨⎧--21x a x a n n 是等比数列；当特征方程
q px r
mx x ++=有且仅有一根0x 时，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧-01x a n
是等差数列。

例11设数列{}n a 由下式规定：() ,3,21
22
,2111=++=
=--n a a a a n n n。

（1） 将
1
1
+-n n a a 用n 来表示； （2）求数列{}n a 的通项。

变式训练12：已知数列{}n a ，() ,3,2,131,011=-+==+n a a a a n
n
n 求数列{}n a 的通项。

型如：m ra q pa a n n n ++=
+2
1
转化为：()m ra x a x a n n n +-=-+21条件：p r 2=得：2
2
12111⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=--++x a x a x a x a n n n n 变式训练13设a 为正数，且() ,3,2121,121111=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--n a a a a a a n n n ，试求数列⎭⎬
⎫⎩⎨⎧+-11n n a a 的通项。

5-3型如n n n q m pa a ⋅+=+1的数列
解法：将原递推公式两边同除以1
n q
+得
q m q a q p q a n n n n +⋅=++11，设n n
n
a b q =，得q m
b q p b n n +⋅=+1， 转化为“6-1型如b ka a n n +=+1(b k 、为常数)的数列构造}{λ+n a 为等比数列”.
例12 已知数列}{n a 满足11=a ，123n
n n a a +=+，求}{n a 的通项公式.
变式训练14 已知数列}{n a 满足21=a ，n n n a a 22
1
1+=+，求}{n a 的通项公式.
变式训练15 已知数列}{n a 满足11=a ，1
1232-+⨯=-n n n a a ，求}{n a 的通项公式.
5-4型如001B n A pa a n n ++=+的数列
解法：设1(1)()n n a A n B p a An B ++++=++，去括号整理对比001B n A pa a n n ++=+解出A 、B
的值，构造出}{B An a n ++为等比数列．
理解该数列的构造原理，若出现002
01C n B n A pa a n n +++=+，方法也相同.
例13已知数列}{n a 满足11=a ，1231n n a a n +=+-，求}{n a 的通项公式.
变式训练14 已知数列}{n a 满足11=a ，1321n n a a n +=++，求}{n a 的通项公式.
6.形如：() ,3,211=+=-+n qa pa a n n n 设成()()11-+++=+n n n n xa a x p xa a ，用待定系数法求出x
设数列{}n a 成立着关系() ,3,211=+=-+n qa pa a n n n ，其中
q p ,为常数。

设βα,为二次方程
02=--q px x 的两根，则数列{}n n a a α-+1是以β为公比的等比数列。

例14：设数列{}n a 定义如下：() ,2,1023,2,11110==+-==-+n a a a a a n n n ，求n a 。

例15：设有数列由() ,3,2,11121=+===-+n a a a a a n n n 所定义。

求它的通项公式。

高考试题
1．（2005年广东）设平面内有n 条直线（n ≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f = ；当n>4时，
)(n f = .（用n 表示）
2（2009。

全国）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知.24,111+==+n n a S a
① 设,21n n n a a b -=+证明数列{}n b 是等比数列；②求数列{}n a 的通项公式。

① 数列{}n a 的前n 项和为n S
3．2011年全国高考(广东卷)理科数学第20题 设0b >, 数列{}n a 满足1,a b = 1
122
n n n nba a a n --=
+-()2n ≥.求数列{}n a 的通项公式;
4．2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）第21题．（本小题满分12分）
设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，2
2x p q =-，
12n n n x px qx --=-（34n =，，
…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式；
（3）若1p =，1
4
q =，求{}n x 的前n 项和n S ．。