高等代数课件之第6章线性空间

1.基本概念
这里的加法、数乘是V中的,而 并非普通向量的加法、数乘！
对照n维向量的有关概念，平行地给出线性空间
中的基本概念，如线性组合、线性表示、线性相关、
线性无关、极大无关组、秩、等价等.而且向量空间 中的各主要定理平移过来仍然成立.
比如，在线性空间中有如下概念
设V是数域P上的线性空间，1,2 , ,r (r 1)
(2)满射 设是M到M的映射，以(M)表示M在映射 下的像的全体，如果(M)=M ,称是映上的或满射.
（ M 中每个元素都有原像）如例1中1 、例2中. (3)单射 设是M到M的映射,如果(a)= (b), a,b M ,
则a=b,称是单射.
如例1中2 是单射；例1中1 、例2中不是.
(4)双射(1—1对应):既是满射又是单射的映射称为双射.
R构成线性空间.
证明：首先，对 , R , R
对 R，k R，k k R
即知R对加法与数乘封闭. 又
1)
2)( ) ( ) ( ) ( )
3)1 1 ,则知1为R的零元素
4) 1 1 （1 零元素）,则知存在负元素 1
2!k2 (n 1)(n 2)kn1 xn1 0
(n 1)!kn1 0
该方程组的系数行列式D=11!2! (n-1)!0,方 程组有唯一零解，故1, x, x2, … ,xn-1 线性无关
以下仅讨论有限维的线性空间.
(2)线性空间的基与坐标
定义： n维线性空间V中, n个线性无关的向量1, 2, …,n, 称为V的一组基.
成的实线性空间是无限维的：因对任意的n，都有n
个线性无关的向量 1, x, x2, … ,xn-1.
事实上，设有R中一组数k0,k1, k2, … ,kn-1使
k0 1+ k1x+ k2x2+ …+ kn-1xn-1=0
有
k0 k1 x k2 x2 kn1 xn1 0
k1 2k2 x (n 1)kn1 xn1 0
k1 (k1 2
1) )
(k2s,
k2t
k2 (k2 2
1)
s2
)
(0, 0)
也即
(k1
k2s,
k1
k1 ( k1 2
1)
k2t
k2 (k2 2
1)
s2
k1k2 s )
(0,0)
从而有
k1 k2s 0
k1
k1 ( k1 2
1)
k2t
k2 (k2 1) s2 2
(1) k1k2s 0 (2)
如设M是一个集合,定义(a)=a, a M , 是双射.
(5)映射的乘法
定义 设 、分别是集合M到M及M到M的映射，
规定
()(a)= ( (a)) , aM
称为 与的乘积.
如例1中2 1： A A E 为M到自身的映射. 性质 ()= (), 1M = 1M =
(6)逆映射 设映射:MM .如果存在映射: MM
定义：设V是数域P上线性空间. 如果V中有n个线 性无关的向量,但没有更多数目的线性无关的向量， 则称V是n维线性空间.V的维数记作dimV.
如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量， 则称V为无限维线性空间.
依据线性空间的维数的定义，可知
n 元数组构成的线性空间是n维的；
所有实系数多项式按多项式的加法、数乘运算所
k0 k k(0 ) k ,由(1) k0 0; (1) 1 (1) (1 (1)) 0 0 (1) 4)若k 0,则当k 0时, 1 (k 1k) k 1(k ) k 10 0.
例1
记全体正实数的集合为R ,在其中定义加法与数乘如下：
对 , R , ；对 R , k R, k k .求证：
如果aM，通过，在M中有一个确定的元素a
与之对应，则称为M到M的映射,记作:MM .
特别地，
a在下的像
如果:aa , a M ,a M,也记作 (a)=a.
a在下的一个原像
如果:MM，称为M到自身的变换.
特别地，有如下概念
映射相等: 、是集合M到M的两个映射，如果
aM 都有(a)= (a)，则称它们相等，记作= .
第6章 线性空间
集合 映射 线性空间的定义与简单性质 维数 基与坐标 基变换与坐标变换 线性子空间 子空间的交与和 子空间的直和 线性空间的同构
§6.1 集合 映射
作为本章的准备，介绍一些基本概念.
1.集合（略）
2.映射（mapping）
(1)定义 设M与M是两个集合，是一个对应法则，
5)1 1 6)k (l ) k ( l ) ( l )k kl (kl) 7)(k l) kl k l k l (k ) (l ) 8)k ( ) k ( ) ( )k k k
k k (k ) (k )
因此，R确实构成线性空间.
( s 2, t 2时，当t s(s 1)）.
而向量1
( s 2, t
(1,1),2 (
3时，当t
2,3)2是线性 s(s 1)).
相
关
的.
2
与在通常的线性空间R2中的结论正相反！
2.线性空间的维数、基与坐标 (1)线性空间的维数
对于 n 元数组构成的向量空间，有n个线性无 关的向量，而任意n+1个向量都线性相关. 在一个 线性空间中，最多能有几个线性无关的向量?任意 向量是否都能通过有限个向量线性表示?线性空间 的向量能否与我们熟悉的n元数组发生联系？
使
=1M ， =1M
则称映射 可逆，并称为 的逆映射 .
结论:可逆映射:MM的逆映射: MM 是唯一的;
若映射可逆，其逆映射记为 -1 .
映射:MM可逆的充要条件是 是双射.
(证明略)
§6.2 线性空间的定义与简单性质
在第3章，已看到向量理论对于分析线 性方程组问题所带来的优越性.在本章中, 将 把普通的向量理论加以推广, 建立起线性代 数更一般的基础理论, 从而使向量以及向量 空间的思想超越了一般的线性方程组问题， 在更广泛的领域获得应用.
§ 6.3 线性空间的维数、基与坐标
为什么可以平行地迁移？
第3章关于n 维向量线性相关性的一 系列概念和性质，本节平行地迁移到抽象 的线性空间中，由此给出了线性空间的基、 维数、向量在基下的坐标等一系列重要概 念.
有关线性相关性的一系列概念 和性质，仅仅涉及到向量的线性运 算所满足的规律，而在抽象的线性 空间中，这些运算及运算律都成立.
a 1
1 a
1 1
1 1
G1 1 1,G2 1 1,G3 a 1,G4 1 a
解：设有P中一组数k1, k2, k3, k4使
k1G1 +k2G2 +k3G3+k4G4 =O
比较分量，得
ak1 k2 k3 k4 0
kk11
ak2 k3 k2 ak3
k4 k4
0 0
k1 k2 k3 ak4 0
将(1)代入(2),整理得
s(s 1) [t 2 ]k2 0
当当tts(ss(2s21)1时) 时，，取有k2k2
1,
0, k1 则k1
0,从而1,2线性无关； s，有(s) 1 12 0
从 而1 , 2线 性 相 关.
按本题结论，向量1 (1,1),2 (2,2)是线性无关的;
5)1
6)k(l ) (kl) 7）(k l) k l
称V为数域P上的线性空间.
8)k( ) k k
2.线性空间举例
线性空间中规定的两种运算“加法”和“数乘”仅仅
是名义上的称谓，在不同空间中可能有各自不同的意义
不难验证：
1)全体实数按照普通实数的加法与乘法构成线性空间； 2)Rn中的全体向量按照向量加法与数乘构成线性空间； 3)全体m n阶实矩阵按矩阵加法与数乘构成线性空间； 4)定义在闭区间[a, b]上的全体连续实函数按函数加法 及数与函数的乘法构成线性空间； 5)数域P上次数 n的多项式的全体添加零多项式后按 多项式的加法及数与多项式的乘法构成线性空间.
可见，线性空间确实是向量空间的拓广.
3.线性空间的基本性质 定理 设V是线性空间，则
1)V的零元素唯一; 2)对 V ,的负元素唯一; 3)0 0, k0 0,(1) ;4)若k 0,则k 0或 0.
证明：事实上 1)设01，02都是V的零向量，则01 01 02 02
2)任取 V ,设1, 2都是的负向量，据负向量的性质， 1 1 0 1 ( 2 ) (1 ) 2 0 2 2 3) 0 1 0 (1 0) 1 ,由(1) 0 0;
单位映射:设是集合M的一个变换，如果aM 都
有(a)= a，则称为M的单位映射或恒等映射，记作
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1M. 函数是映射的特殊情形.
是M到P 的映射
例1 M是数域P上全体n级矩阵的集合，定义
1(A)= A A M .
是P 到 M的映射
2(a)= a E a P .
是P[x] 到P[x] 的映射
例2 P[x] 是数域P上的一元多项式环，定义
易知：V,有唯一的一组数a1, a2, …,an,使 =a11+ a2 2+…+ann
称这组数a1, a2, …,an为向量 在基1, 2,…,n下的坐
思考与练习 教材P267 3.
P267 3.(5) 证明：全体实数的二元数列集合V按如下规定的加法 与数乘运算构成线性空间.
(a1, b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 a1a2 )
k
(a1, b1 )
(ka1, kb1
k(k 2
1)
a12 )
解：显然V对定义的加法、数量乘法封闭. 对加法满足交换律、结合律；
(0,0)是零元，任意(a,b)的负元是(-a,a2-b); 对数乘运算有
1 (a, b) (1a,1b 1(1 1) a2 ) (a, b) 2
k (l (a, b)) k (la, lb l(l 1) a2 ) 2
(kla, k[lb l(l 1) a2 ] k(k 1) (la)2 )
是V中一组向量，若P中存在不全为零的数k1, k2 , , kr
使 k11 k22 krr 0 则称向量组1,2 , ,r是线性相关的;换句话说,仅当 k1 k2 ks 0时, 有k11 k22 krr 0,则 称向量组1,2 , ,r是线性无关的.
例1 记数域P上二阶矩阵的全体构成的线性空间为P22, 试讨论P22中所给向量组的线性相关性.
2
2
(kla, klb kl(kl 1) a2 ) (kl) (a, b)
同理，有
2
(k l) (a,b) k (a,b) l (a,b) k [(a1, b1 ) (a2 , b2 )] k (a1, b1 ) k (a2 , b2 )
因此，V构成实数域上的线性空间.
(a1, b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 a1a2 )
k
(a1, b1 )
(ka1 ,
kb1
k(k 2
1)
a12 )
试在该空间中，讨论向量组1=(1,1), 2=(s,t)的线性
相关性.
解：设有实数k1, k2，使 k1 1 k2 2 0,即
(k1 ,
k1
(f(x))= f (x) f (x) P[x]
例3 设M={1,2,3 },M={东,西}.定义 不是M到M 的映射
:1东， :2西
上述例子可以看出，映射具有三个要素：定义 域、到达域和对应法则，其中对应法则起重要作用. 对应法则具有任意性、存在性和唯一性，即对定义 域中的任意元素都有作用，其结果落在到达域中 （存在性），结果是唯一的.
该齐次线性方程组的系数行列式
a111
1 D
a
1
1 (a 3)(a 1)3
11a1
111a
当a-3且a 1时，D 0.该方程组只有零解,从而 G1 ,G2,,G3,G4 线性无关； 当a=-3或a=1时，D0.该方程组有非零解,从而 G1 ,G2,,G3,G4 线性相关.
例2 全体实数的二元数列集合V按如下规定的加法与 数乘运算构成线性空间.
1.定义 设V为非空集合，P为一数域.
对 , V ,规定一种运算 : 加法,记作 ；
对 V ,k P,规定一种运算：数乘,记作k
若V 对这两种运算满足如下运算规则 :
1)
2)( ) ( )
3)0V , 对 V 有 0 (称0为V的零元素）
4)对 V , V使 0(记 ,称为的负元素)