非线性 时间序列 模型

3 t t
平滑转移模型
第三步：计算F统计量，检验线性零假 设 H 0′ : δ i = 0 , i = 1,2,3 。在转换变量 zt 服 从平稳时间序列时，如下结论成立：
F=
( SSR0 − SSR1 ) 3m SSR1 ( T − 4 m −1)
F (3m, T − 4m − 1)
平滑转移模型
平滑转移模型
为了求解模型参数的方便，我们通常 把一般意义下的STR模型写成一个线 性模型与一个非线性部分的和的形式：
yt = α0 + α ′wt + ((θ0 − α0 ) + (θ − α )′wt ) F ( zt ) + ε t （2） = α0 + α ′wt + ( β 0 + β ′wt ) F ( zt ) + ε t
Bollerslev(1986)引进了广义自回归条件 异方差（GRACH）模型
σ =a 0 +a1σ
2 t 2 t −1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + a pσ
2 t− p
+ b1 X
2 t −1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + bq X
2 t −q
,
其中 a j ≥ 0, b j ≥ 0
门限模型
由H.Tong 提出的门限自回归（TAR） 模型假定在状态空间的不同区域，模 型有不同的线性形式，状态空间的划 分通常由一个门限变量来描述。
谢谢
Page 31
非线性时间序列模型
线性模型
AR模型 MA模型 ARMA模型 ARIMA模型
非线性模型
ARCH模型 门限模型 Markov 区制转移模型 平滑转移模型STR
自回归条件异方差（ 自回归条件异方差（ARCH）模型 ）
ARCH模型首先由Engle（1982）为建模 英国的通货膨胀的预报方差而引进， 用于建模时间序列变化的（条件）方 差或波动性，从此这个模型被广泛地 用来建模金融和经济时间序列的波动 率。
平滑转移模型
检验原模型（2）的线性原假设 H 0 : γ = 0 就 相当于检验辅助回归（6）式中H ′ : δ = 0 , i = 1, 2,3 而备择假设此时变为 H ′ : δ 不都为0 , i = 1, 2,3 。同 理，当进行ESTR形式的模型设定检验的时 候，只要令转换函数如下即可 将转换函数带入到（2）式后可得简化形为：
自回归条件异方差（ 自回归条件异方差（ARCH）模型 ）
X t = σ tε t
和
σ t2 = a0 + b1 X t2−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + bq X t2−q
其中
a 0 ≥ 0, b j ≥ 0, {ε t } ~ IID(0,1)
广义自回归条件异方差（ 广义自回归条件异方差（GARCH）模型 ）
γ >0
（4 ）
平滑转移模型
以上两式中的c可以认为是在两个状态 之间发生转换的临界值，用来确定状 态转换发生的时间，γ 是平滑参数， 当 γ 很大时，转换变量相对于临界值 很小的变化都能导致剧烈的状态转换， F ( zt ) 当其趋于无穷时， 取值在临界值c周 γ →0 围的变化是瞬时的，当 时，上述 两种非线性模型的非线性部分消失， 变为一个线性模型。
（1）
平滑转移模型
其中，模型自变量的滞后阶数可通过 AIC或SIC准则判断，并综合考虑参数 估计值的T统计量和残差的自相关检 验，从较大的阶数逐一剔除。 wt = ( yt −1 ,L, yt − p , x1t , x2t ,L xkt ) 是自变量组成 的向量，既包含因变量滞后值又可以 包含其他的外生解释变量，p+k=m，
Markov区制转移模型 区制转移模型
Markov区制转移模型能够给出数据生 成过程中结构变化的转移概率，并模 拟出时间序列的内生变化过程，能够 更好的模拟动态变化过程；Markov区 制转移模型能够详细的给出研究变量 的区制和区制转移时间，可以分阶段 对比政策对经济的作用效果。
平滑转移模型
平滑转移模型（smooth transition regression）主要解决经济过程的机制 转化行为，将数据生成过程中的非线 性信息转换成可控制的模型机制，它 可以通过选取不同的转移变量或转移 函数形式较为准确的捕捉经济过程中 对称与非对称的转换。
平滑转移模型
F 是 与θ 对应不同状态的参数向量。( zt ) 取值范围在0-1之间的一个连续、有 界函数，起到链接两个线性模型的传 z 递作用， t 是转换变量，既可以是向 量wt 的一个元素，也可以是时间趋势、 因变量的前定变量或两者的一个线性 ε 组合， t 是服从独立同分布的误差序 列。
α α 0与θ 0是两种不同状态下的截距项，
平滑转移模型
根据转换函数形式的不同，Granger和 Teräsvirta把STR模型具体分为逻辑形式 STR模型（Logistic STR，LSTR）和指数 形式的STR模型（Exponential STR， ESTR）两大类。
平滑转移模型
在LSTR模型中，转换函数F ( zt ) LSTR模型中， 模型中 被认为是服从逻辑函数的形式： 被认为是服从逻辑函数的形式：
0 i 1 i
yt = δ 0 +δ1′wt ht +δ 2′wt ht 2 +et ∗
（7）
平滑转移模型
Baidu Nhomakorabea
整个检验过程按照下面的步骤进行： 第一步：建立 yt 对带有截距 wt 项的最优 线性模型，并计算残差 ε t 和残差平方 ˆ 和 SSR0 。 w w wt ht ，t ht 2 ， h 第二步：以 εˆt 为因变量，对 进行有截距的回归，计算此时的残差平 方和 SSR1。
平滑转移模型
Teräsvirta（1994）提出了一个通常可以检 验STR模型框架的构想，这种方法也可用 于确定序列能否被模型化为最优的LSTR模 型或ESTR模型。这个检验基于（2）式模 型转换函数的三阶泰勒展开。
平滑转移模型
假定正确设定的模型应该是LSTR形式的， 现将 F ( zt )写为：
yt = δ 0 +δ 1′wt ht +δ 2′wt ht 2 +δ 3′wt ht 3 +et ∗
（6）
平滑转移模型
e δ 其中， i , i = 1, 2,3 是m维的系数向量，t ∗ = ε t + β ′wt R( zt ) R( zt ) 为泰勒展开的余项，在线性零假设成 立时 R( zt ) 恒为零，所以这个余项不影响零 假设成立时残差的统计性质，也就不会影 响统计量的分布。
平滑转移模型
一般的STR模型可用两个线性模型的 加权平均形式表出，权数可由某个分 布函数来充当，而转换变量则可以控 制因变量在不同状态之间的转换。经 典的具有m个解释变量的STR模型可 以写成如下形式：
yt = (α0 + α ′wt )(1 − F ( zt )) + (θ0 + θ ′wt ) F ( zt ) + ε t
第四步：若上一步的检验结果拒绝了原假 设，肯定了非线性的STR模型，接下来就 要在LSTR模型和ESTR模型中进行选择。 Teräsvirta(1998)提出了一种有效的方法， 对（6）式进行如下的序贯检验，这一检验 具有递归性，原检验和备择假设分别为: H 01 : δ 3 = 0 |
H 02 : δ 2 = 0 | δ 3 = 0 H 03 : δ1 = 0 | δ 2 = δ 3 = 0
平滑转移模型
就选择LSTR模型， LSTR模型 若拒绝 H 01 ，就选择LSTR模型，若接 受 则选择ESTR模型， H 01但拒绝 H 02 则选择ESTR模型，当接受 ESTR模型 H 01 和 H 02但拒绝 H 03 时，应选择LSTR模 应选择LSTR LSTR模 由于STR模型展开式没有考虑高阶项， STR模型展开式没有考虑高阶项 型。由于STR模型展开式没有考虑高阶项， 严格按上述步骤作出的选择也可能犯错误， 严格按上述步骤作出的选择也可能犯错误， 这时普遍的做法是上式的三个检验， 这时普遍的做法是上式的三个检验，选择 有最小P值对应的模型形式， 有最小P值对应的模型形式，检验统计量 的形式仍使用渐进F统计量。 的形式仍使用渐进F统计量。
平滑转移模型
在对STR模型进行参数估计之前，我们需要 知道一个经济行为是否可以用STR模型去拟 合，即首先要检验非线性的STR模型设定是 否正确。Luukkonen和Saikkonen等（1988） 提出可以将转换函数用适当的泰勒级数展开 χ 2 分布的 式近似替代，同时使用渐进服从 LM统计量检验模型的线性和非线性性质， LM统计量可以用于检验特定的非线性类型， 这有助于我们选择具体的非线性函数。
F ( zt )=(1 + exp( −γ ( zt − c))) −1 =(1 + exp( −ht ))−1 γ > 0 ,设γ ( zt − c) = ht
（5）
h 当线性原假设成立，即 H 0 : γ = 0 时，t = 0 也成立，现求 F ( zt ) 在 ht 为0附近的三阶泰 勒展开最后可得
LSTR转换函数和 转换函数和ESTR转换函数的区别 转换函数和 转换函数的区别
LSTR转换函数随 zt 的增加而单调递 增，yt在超过 zt 或没超过临界值c时有不 对称的动态行为，只要 zt 大于c，其对因 变量 yt 的影响就是持久的；但在ESTR模 y 型转换函数中， t 当 zt 在临界值周围运动 F z 时呈对称分布， t 越靠近c， ( zt )越逼近于0， F ( zt ) 越远离c， 越向1靠近，也就是说此时 zt yt 在不同的状态中有相同的动态行为但在临 界值附近却有不同的动态过程， 对 zt 并 yt 没有长期的影响。
F ( zt ) = (1 + exp( −γ ( zt − c))) −1
γ >0
（3 ）
F 而在ESTR模型中， 而在ESTR模型中，转换函数 ( zt ) ESTR模型中 又可以采用指数函数的形式： 又可以采用指数函数的形式：
F ( zt ) = 1 − exp( −γ ( zt − c)2 )
θ - α 是斜率参数在不同状态间的差异。
STR模型建模步骤 模型建模步骤
一、模型的线性部分，通常采用VAR模型通过滞 后阶数进行判定 二、模型的非线性部分，利用LM统计量检验模型 的非线性；当确定为非线性之后，进行序贯检验， 确定转换变量以及STR模型的形式（LSTR1或者 LSTR2）。 三、进行参数估计（位置参数和平滑参数）。 四、得到STR模型的具体形式后，进行模型评价。 主要包括模型的残余非线性检验，残差的自相关 性检验，异方差性检验以及正态性检验等。
门限自回归模型（ 门限自回归模型（TAR） ）
具有k ( k ≥ 2 )分段的门限自回归（TAR）模型 定义为 X = ∑{b + b X + ⋅⋅⋅ + b X + σ ε }I ( X ∈ A ) 其中 {ε t } ~ IID ( 0,1) , d , p1, ⋅⋅⋅, pk 是一些未知的正整 {A 数，σ i > 0 且 bij 是未知参数， } 构成( −∞, +∞ ) 的 一个分割，其含义是对所有的 k i ≠ j , Ai I Aj = ∅, 且U i =1 Ai = ( −∞, +∞ )
k t i =1 i0 i1 t −1 i , pi t − pi i t t −d i
i
门限自回归模型（ 门限自回归模型（TAR） ）
TAR模型的有用性归因于逐段线性函数类 实际上可以为更复杂的非线性函数提供简 单和易于操作的逼近。
Markov区制转移模型 区制转移模型
Markov区制转移模型最早由Hamilton （1989）提出并应用到经济周期阶段 性的转变研究，随后被广泛应用于宏 观经济分析和金融行为分析当中。