3 分形理论及其应用
分形理论及其在混凝土材料研究中的应用
分形理论及其在混凝土材料研究中的应用摘要：改革后，我国的科学技术水平不断进步。
其中，混凝土在其形成和服役过程中表现出了一系列分形的特征。
因而，研究人员将分形理论科学地引入混凝土研究之中。
介绍了分形理论，综合评述了分形理论评价混凝土材料的胶凝材料颗粒特征、集料的表面特征、混凝土孔隙的分形特征、混凝土断裂韧性和断裂能的分形效应、分形理论在混凝土材料声发射中的应用，并提出分形理论在混凝土研究中的应用前景。
关键词：混凝土结构；裂缝；分形理论引言随着对混凝土结构方面技术和认识的进步与提高，人们对裂缝所造成的损伤也更加重视。
由于混凝土塑性收缩及沉降、荷载、钢筋腐蚀等原因，混凝土构件很容易产生裂缝，裂缝的出现不仅使混凝土刚度、强度降低，还会影响其美观性和耐久性。
混凝土是多相复合材料，具有不规则性、非线性等特征，导致混凝土裂缝扩展具有随机性，利用传统损伤力学知识并不能恰当地解决这个问题。
而研究表明混凝土材料各相分布以及裂纹演化均具有自相似性，这是分形理论应用于混凝土结构的基础。
运用分形理论，计算混凝土表面裂纹演化的分形维数，分析分形维数与分级荷载、挠度、最大裂缝宽度、损伤变量、断裂能等之间的关系，可以将其作为一种工程应用的参考依据。
1分形理论简介什么是分形呢?事实上,目前对分形还没有严格的数学定义,只能给出描述性的定义。
粗略地说,分形是对没有特征长度(所谓特征长度,是指所考虑的集合对象所含有的各种长度的代表者,例如一个球,可用它的半径作为它的特征长度。
)但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。
曼德尔布罗特最先引入分形(fractal)一词,意为破碎的,不规则的,并且曾建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集合,或者具有某种意义下的自相似集合;他也曾给出一个尝试性的定量刻画,说分形是豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合。
但是所有这些定义都不够精确、不够全面。
英国数学家Falconer在其著作《分形几何的数学基础及应用》一书中认为,分形的定义应该以生物学家给出的“生命”的定义的类似方法给出,即不寻求分形的确切简明的定义,而是寻求分形的特性,将分形看作是具有如下所列性质的集合F:1)F具有精细结构,即在任意小的比例尺度内包含整体;2)F是不规则的,以至于不能用传统的几何语言来描述;3)F常具有某种自相似性,或许是近似的或许是统计意义下的;4)F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的拓扑维数;5)F的定义常常是非常简单的或许是递归的。
分形理论及其在农业学科的应用
农机设备故障主要的特点是不均匀性和差异性、多样性、随机性、可预测性、突变性 和规律性等。毋庸置疑，农机设备故障的许多方面都存在着分形的特征。目前，分形 理论在这方面的应用主要是通过两个途径： 一是分析磨屑的分形特征，间接获得机器的磨损率，为机器故障诊断、 预测磨损状态 提供依据； 二是测量机器运行的特征信号，从中提取信号的分形维数，基于分维数分析机器的故 障状态。 前一种方法多适用于机器摩擦副的故障诊断，后一种方法适用于旋转机械的故障诊断 。对 PEEK 磨屑轮廓进行分析发现，磨屑的磨损率随载荷的增大而增大，这正好与比磨 损率随载荷的变化规律相对应。虽然这种对应关系还不清楚，但可以认为磨屑的分形 维数可度量PEEK 磨损量。即只要预先知道磨屑的分形维数与材料的磨损率的关系， 则 可以从磨屑的分形维数获得磨损率，这就为在线诊断机器故障、预测机器磨损状况提 供条件。蒋东翔等利用计算机模拟了旋转机械6种运行状态下的振动信号时间波形图， 并对它们进行了分维数的计算。研 究发现：分维数对碰磨故障特别敏感，主要是因为 碰摩故障产生的振动波形极不规则、谐波成分非常丰富。另外，对部件松动、油膜涡 动、蒸汽震荡等故障也比较敏感，但对不平衡故障不很敏感，因为不平衡故 障的振动 波基本上是规则的正弦波。
分维可以作为描述农产品表面几何形态的特征参数，农产品的品质与 其表面状况有着显著的相关 性，因此，农产品的分维值可作为农产品 分级的重要依据。任宪忠等采用网格法研究了4 种小麦籽粒的 长度、 宽度、厚度、单粒质量等参数间的分形特性。研 究表明，对于研究的 4 种小麦籽粒，各参数间的分形 维数在 0~1 之间，厚度与宽度间的分 形维数差别较大，因此，计算维数时选择适合的样品数量，可根据厚 度与宽度间的分形维数来区分不同品种的小麦籽粒。水果的外部颜色 是衡量水果品质的一个重要指标，冯 斌等用分形思想来精确描述色度 点的空间分布，把各色度点在水果表面的分布在统计意义上看成一个 分形结构，用分形维数大小来描述色度点的空间分布。研究表明：水 果的色度均匀时，对应的分形维数较 高，色度不均匀时，对应的维数 较低，其正确率平均可达 95%。由此可见，分形维数在各等级间有明 显的变化规律，可作为水果着色分级的特征指标。
分形理论及其应用_刘莹（学术论文）
收稿日期:2005-07-04;修订日期:2006-02-22作者简介:刘 莹(1957-),女,江西南昌人,博士生导师,教授,主要从事微机械与微摩擦学研究。
基金项目:国家自然科学基金资助项目(50275071);南昌大学科研基金项目(z02879)。
第24卷 第2期2006年4月江 西 科 学JI A NGX I SC I ENCEVo.l 24N o .2Apr .2006文章编号:1001-3679(2006)02-0205-05分形理论及其应用刘 莹,胡 敏,余桂英,李小兵,刘晓林(南昌大学机电工程学院,江西南昌 330029)摘要:分形理论是现代非线性科学中的一个重要的分支,是科学研究中一种重要的数学工具和手段。
介绍了分形理论的基本概念,给出了分形理论的重要参数分形维数的几种常见定义和计算方法。
重点介绍了分形理论在从自然科学到社会科学的各个领域,如工程技术、物理、化学、生物医学、材料科学、天文地理、经济管理、计算机图形学等学科领域的应用及其最新的进展情况。
最后,展望了分形理论的应用前景及其发展方向,提出分形理论将面临和有待解决的问题。
关键词:分形理论;分形维数;应用状况中图分类号:TB11;TH3;N 32 文献标识码:ATheory of Fractal and its ApplicationsL I U Y i n g ,HU M i n ,YU Gu-i y i n g ,LI X iao -bing ,L I U X iao -lin(M echan ical and E lectron i c Eng i neering Schoo,l N anchang U n i versity ,Ji angx i N anchang 330029PRC)Abst ract :Fracta l theor y is a branch of non li n ear science and an i m portant m eans for sc ience re -search.This paper introduces t h e basic concept and several calculati n g m ethods of fracta l d i m ension as a m ain para m eter of fractal theory .Pri m aril y ,it is summ arized that fractal t h eory have been used i nvarious fie l d s fr o m nat u re science to soc i a l science such as eng i n eer i n g ,physics ,che m istr y ,b i o m ed-i cine ,m aterial sc i e nce ,astrono m y and geography ,econo m y and m anage m en,t co m puter g raphics ,etc .In the end ,the foreg round and deve l o pm enta l orientation of fractal theory is prospected ,and proble m s i n face of fracta l theory is advanced.K ey w ords :Fractal theory ,Fracta l di m ension ,Applicati o n 分形理论作为一种新的概念和方法,正在许多领域开展应用探索。
分形理论及其应用
结语
• 分形理论是近些年发展起来的一门新学科。已被广泛的应 用到自然科学和社会科学几乎所有的领域，成为当今国际 上许多学科的前沿课题一种，然而我们还需要进行深入研 究： 如何判断一个对象是分形还是多重分形，还给分形一个严 谨的定义还需努力。 分形维数的物理意义。是描述分形特征的定量参数，但如 何理解分维确切的物理意义？ 分形的重构问题。既是任给一个几何上认为是分形的图形， 能否以某个制定的方式生成它？ 分形曲线的导数问题；分形的小波分析及小波变换产生分 形问题；图像的分形压缩问题等等。 • 总之，上面提到的这些问题对分形理论的发展至关重要， 需要人们深入进行探讨和研究。而分型理论作为非线性科 学的一个组成部分，它必将在发展中不断完善和走向成熟。
• 几种典型的分形：
Koch 曲线 Julia 集
三分康托集
1883年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人 知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而， 它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出 发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出 来的(如右图)。其详细构造过程是： • 第一步，把闭区间[0,1]平均分为三段， [0,1] 去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个 闭区间[0,1/3]和[2/3,1]。 三分康托集的构造过程 • 第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同 样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0,1/9]， [2/9,1/3]，[2/3,7/9]和[8/9,1]。 • 第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断 的分割下去， 最后剩下的各个小区间段就构成了三分 康托集。 三分康托集的 Hausdorff维数是0.6309。
Julia 集
Julia 集是由法国数学家 Gaston Julia 和 Pierre Faton 在发展了复变函数迭代的基础 理论后获得的。Julia 集也是一个典型的分形， 只是在表达上相当复杂，难以用古典的数学 方法描述。 • Julia 集由一个复变函数 •
分形概念及应用
对分形理论的综述一、分行理论产生的背景二、分形理论的概念三、分形理论的应用一、分型理论产生的背景长期以来，自然科学工作者，尤其是物理学家和数学家，由于受欧几里得几何学及纯数学方法的影响，习惯于对复杂的研究对象进行简化和抽象，建立起各种理想模型，把问题纳入可以解决的范畴。
线性近似方法在许多学科得到广泛的应用，解决了许多理论问题和实际问题，推动了各学科的发展。
但是，在复杂的动力学系统中，简单的线性近似方法不可能认识与非线性有关的特性，如流体中的湍流、对流等等。
而分形则是直接从非线性复杂系统的本身入手，从未简化和抽象的研究对象本身去认识其内在的规律性，这是分形理论与线形近似处理本质上的区别。
从理论上讲，它是数学思想的新发展，是人类对于维数、点集等概念的理解的深化与推广，所以人们把它称为是一种新的几何学—分形几何学。
然而，它又与现实的物理世界紧密相连，成为研究混沌(chaos)现象的重要工具。
众所周知，对混沌现象的研究正是现代理论物理学的前沿和热点之一。
除了理论上的意义之外，在实际应用中，分形也显示了巨大的潜力。
从气象、生态，直到图形压缩、城市规划，在许多相距甚远的领域里，都发现了分形的概念与方法的用武之地。
人们惊奇地发现，分形现象在自然界是普遍地、大量地存在着。
分形概念的产生与发展，进一步拓宽了我们的视野，使人类的科学思想登上了一个新的台阶。
二、分形理论的概念分形是一个新的概念，不同的专家有不同的定义方法。
当然，不同的说法所描述的还是同一件事物，只是强调其不同的侧面，不同的属性而已。
从直观上来看，所谓分形是指一些无法用常规的、传统的几何方法描述的图形。
例如天空的云彩、曲折的江河和海岸线、树叶、山峰等。
它们不同于正方形、圆、直线等规则的几何图形，表现出某种混乱和不规则。
通常的度量概念，如长度、面积等，对它们来说，不仅很难计算，而且有时根本是无法计算的。
例如，曾有科学家提出了这样一个似乎荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是无穷大。
分形理论及其应用
分形理论及其应⽤分形⼏何及其在城市研究中的应⽤⼀、分形概述1975年，著名科学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）发表了其专著《分形：形态、机遇和维数》，这标志着分形⼏何学的诞⽣。
分形⼏何学是相对于传统欧⽒⼏何学的不⾜⽽建⽴的，由此发展起来的分形理论是现代⾮线性科学研究中的⼀门新兴数学分⽀，在众多学科领域中有着⼴泛的应⽤。
普通的⼏何对象，具有整数维数。
零维的点、⼀维的线、⼆维的⾯、三维的体、四维的时空等。
⽽分形则是具有⾮整数的分维的⼏何对象。
其主要的价值是在极端有序和极端混沌之间提供了⼀种可能性。
其显著的特征是：看来⼗分复杂的事物，事实上⼤多数均可⽤公含很少参数的简单公式来表达。
1、科赫曲线分形⼏何学的研究对象是不光滑的、不规则的，甚⾄⽀离破碎的空间⼏何形态。
分形的典型例⼦，科赫曲线（Koch Curve）便是以初等数学⽅法构造的⼀类处处不可导。
构造过程如下图：取长度为1的直线段，称为初始元（initiator），将该线段的中间1/3⽤⼀个隆起等边三⾓形的另两边替代，得到⼀条由四个等长直线段构成的折线，称为⽣成元（generator）。
再将⽣成元中的四个直线段中的每⼀个，都⽤⼀个缩⼩为1/3的⽣成元代替，从⾯形成了⼀条有次级隆起的折线。
这样⼀直进⾏下去，得到科赫曲线。
显然，科赫曲线的“内部”结构与整体相似。
2．⾃相似性与标度不变性如果⼏何对象的⼀个局部放⼤后与其整体相似，这种性质称为⾃相似性，⽐如树。
地质现象的描述离不开标度，在地质上，对⼀些地质现象拍照时，⼀定要放上⼀个能表⽰尺度⼤⼩的物体，如⼀枚硬币，⼀把锤⼦等。
因为，如果没有这些东西，就很难在确定这些照⽚是反映什么尺度范围内的现象，可能是10⽶还是10公⾥等。
当观测标度变化时，⼏何体的许多性质保持不变，称为标度不变性。
具有⾃相似性或标度不变性的⼏何对象，我们说它们是分形的。
3.分形的定义1．部分以某种形式与整体相似的形状叫做分形。
（B.B.Mandelbrot）2．分形集合是这样⼀种集合，它⽐传统⼏何学研究的所有集合更加的不规则，⽆论是放⼤还是缩⼩，这种集合的不规则性仍然是明显的。
分形理论及其应用
▪分形维数的定义和测算
维数是几何对象的一个重要特征量，传统 的欧氏几何学研究、立方体等非常规整的 几何形体。按照传统几何学的描述，点是 零维，线是一维，面是二维，体是三维。 但仔细观看，对于大自然用分型维数来描
述可能会更接近实际。
几种测定分维数
(1)拓扑维数
一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点 的位置所需要的独立坐标数目。
ln 4 ln 3
1.2618
显然，L(r)与N(r)之间的关系是 L(r) N(r) r
所以海岸线的维数大于它的拓扑维1而小于它所在
的空间维2。长度L(r)随测量尺度r的变小而变长，在 r→0时，L(r)→∞。当海岸线分形的自相似变换程度 复杂性有所增加时，海岸线的分维也会相对地增加。
▪分形的有关概念
(1)分形，是指其组成部分以某种方式与整体相似的 几何形态(Shape)，或者是指在很宽的尺度范围内， 无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分 形是一种复杂的几何形体，唯有具备自相似结构的那 些几何形体才是分形。 (2)特征尺度 ,是指某一事物在空间，或时间方面具 有特定的数量级，而特定的量级就要用恰当的尺子去 量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度, 分形的一个突出特点是无特征尺度。在无特征尺度区， 用来表征的特征量是分形维数 。
Cantor集合 ，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒
从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度
r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其 质量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行 同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为 r12 r1r2 质量分别为 P12 ，P1P2 ，右两段的长度分别为 ， r2r1 r22 ， 质量分别为 ， P2P1 P22 ；如此操作下去就会得到一个不 均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相
分形理论及其在机械工程中的应用
分形理论及其在机械工程中的应用【摘要】分形理论是一种新兴的数学理论，通过研究自相似的结构和规律，揭示了自然界复杂而规律的现象。
在机械工程领域，分形理论为工程师提供了新的视角和方法，可以优化设计、改善材料性能和实现振动控制。
分形几何在机械设计中的应用可以帮助设计出更加紧凑和高效的结构，提高机械设备的性能。
在材料科学中，分形理论可以帮助工程师设计出更加稳定和高效的材料，提高材料的力学性能。
分形模型在振动控制中的应用则可以帮助工程师设计出更加精确和有效的控制系统，减少振动对机械设备的损害。
未来，分形理论在机械工程领域的研究将继续深入，为工程师提供更加丰富和有效的工具，推动机械工程的发展。
分形理论在机械工程领域的重要性日益凸显，将对机械设备的设计、制造和维护产生深远影响。
【关键词】分形理论、机械工程、意义、应用、分形几何、材料科学、振动控制、未来发展方向、重要性1. 引言1.1 分形理论及其在机械工程中的应用分形理论是一种描述复杂自然现象的数学理论，其应用范围涵盖了各个领域，包括机械工程。
分形在机械工程中的应用主要体现在优化设计和振动控制两个方面。
分形理论可以帮助工程师更好地理解和优化机械系统的设计。
通过分析系统的分形特征，可以发现系统中的隐藏规律和优化空间，进而提高系统的效率和性能。
特别是在微机电系统（MEMS）和纳米技术领域，分形理论可以帮助设计出更加紧凑、高效的微型机械系统。
分形理论还可以应用于振动控制领域。
分形几何的不规则性和复杂性可以帮助设计出具有多频率阻尼效应的结构，对振动进行有效控制。
这种分形模型在汽车、航空航天等领域的振动控制中存在巨大的潜力，可以大幅提高系统的稳定性和安全性。
分形理论在机械工程中的应用为工程师提供了新的思路和方法，有助于解决复杂系统设计和振动控制中的难题。
未来随着理论的进一步发展和技术的不断创新，分形在机械工程领域的应用前景将更加广阔，对于推动机械工程领域的发展具有重要意义。
分形理论在生态系统评价中的应用
分形理论在生态系统评价中的应用随着现代生态学领域的不断发展，人们对于生态系统的认知逐渐加深。
为了更加准确地评估生态系统的健康和可持续性，人们逐渐将分形理论应用到生态系统评价中。
分形理论是一种描绘自然系统的新兴理论，通过这种理论，人们能够更加准确地描述自然系统的复杂性和多样性。
本文将介绍分形理论在生态系统评价中的应用，并探讨它的重要性和实际价值。
一、什么是分形理论?分形理论是描述和研究复杂系统的一种数学方式。
这种方式能够更好地描绘自然界的形态和变化过程。
分形理论的基本思想是将整体看作若干个局部的复制，即整体的形态由局部的复制所组成。
和传统数学理论不同，分形理论强调复杂系统的整体具有局部特征的复制物所组成，而不是由整体的简单组成单元所组成。
因此，分形理论适用于自然环境等复杂的系统中，它能真正反映这些系统的真实状态。
二、分形理论在生态系统评价中的应用生态系统的评价是指对某个生态系统的功能、结构和组成要素进行定量和定性的描述与分析。
而分形理论的特点，能够更准确地描述生态系统的复杂性和多样性。
因此，分形理论在生态系统评价中的应用逐渐被人们重视。
1. 生态系统结构分析生态系统的结构是指其中物种、地形、地貌等所有有形无形的且可定性描述的组成部分。
分形理论能够结合计算机图像处理技术，对生态系统的结构进行分析，对生态系统的物理结构和空间分布进行深入了解。
生态系统的分形组成结构的层次增加了对生态系统的理解。
例如，通过分析林分的空间分布结构，我们可以了解到不同种类的植物如何相互作用，以及它们在生态系统中的位置和关系。
这种分析能够对生态系统的结构特征和物种分布规律进行研究，并提供了科学依据，以利于生态系统的保护和管理。
2. 生态系统空间模式分析生态系统的空间模式是指在某一时间和某一空间范围内物种、地貌、地形等有机组成件的构成。
分形理论可以在不同空间尺度上，通过分析这些元素的分布模式，获取生态系统状态和演化的深入了解。
例如，在对一片森林中的中空位置进行分析，分形理论可以通过计算中空区域的边界形态和大小，推测该区域能否成为生物发展的空间场所。
3 分形理论及其在物理学中的应用
2006年4月皖西学院学报Apr.,2006第22卷第2期Journal of West Anhui U niversity Vol.22 NO.2分形理论及其在物理学中的应用3陈 力1,邵 瑞2(1.安庆师范学院物理与电气工程学院,安徽安庆246011;2.巢湖学院物理系,安徽巢湖238000)摘 要:给出了分形的定义、有关概念、分形的描述方法、多重分形理论,以及分形理论在物理学中广泛的应用。
关键词:分形理论;分形维数;多重分形;物理应用中图分类号:O437 文献标识码:A 文章编号:1009-9735(2006)02-0038-031 分形学的创立非线性科学是近几十年在各门以非线性为特征的子学科研究基础上逐渐形成的复杂性科学[1,2]。
它是揭示非线性系统的共同性质、基本特性和运动规律的跨学科的一门综合性基础科学。
分形学[3,4]是非线性的一个活跃分支,它研究的对象是非线性系统中产生的不光滑和不可微的几何形体,对应的参数是分形维数。
分形学的初创形式是分形几何学,它是美籍法国科学家曼德布罗特于1973年在法兰西学院讲学期间首次提出的。
分维数是1977年由曼德布罗特在《分形:形成、机率和维数(Fractals:Form,Chance and Dimension)》一书中创造的一个新的科技英语单词,这里分维数可反映由包含分数在内整个维数所覆盖的空间体系的粗糙程度。
分维数的主要思想可以通过研究一组曲线来说明。
分形是个新概念,分形学是个新的方法论和科学观。
它的问世在科学界产生的影响可以跟牛顿创立微积分学后在科学界产生的重大影响相比拟,可以称作是科学的新里程碑。
物质世界中广泛存在着非线性系统,所以必须寻找适当方法正确处理非线性问题。
原本是非线性问题,若把它按线性系统加以处理,则不能正确解释其基本面貌。
分形学为处理非线性系统问题提出了新思路和新方法。
那么,什么是分形?分形的涵义是什么?分形概念的实质是指那些传统的物理学和几何学排除在外的不规则形体在标度变换下的自相似性。
分形原理及其应用
分形原理及其应用分形是一种几何形状，其结构在不同的尺度上具有相似性。
分形原理是指自然界中许多复杂的现象都可以用分形来描述和解释。
分形原理的应用涉及到许多领域，包括科学、工程、艺术等。
本文将介绍分形原理的基本概念，并探讨其在不同领域的应用。
首先，分形原理的基本概念是指在不同的尺度上具有相似性的几何形状。
这种自相似性使得分形能够描述自然界中许多复杂的现象，如云彩、树叶、河流等。
分形的自相似性意味着无论是在整体上还是在局部上观察，其形状都是相似的，这使得分形成为描述自然界复杂结构的有效工具。
其次，分形原理在科学领域有着广泛的应用。
例如，在地理学中，分形可以用来描述地形的起伏和分布规律。
在气象学中，分形可以用来描述云彩的形状和分布。
在生物学中，分形可以用来描述植物的分支结构和叶片形状。
在物理学中，分形可以用来描述复杂的物理现象，如分形噪声和分形结构的磁性材料等。
此外，分形原理在工程领域也有着重要的应用。
例如，在通信领域，分形天线可以实现多频段和宽带的性能。
在图像处理领域，分形压缩技术可以实现对图像的高效压缩。
在材料科学领域，分形可以用来描述复杂材料的结构和性能。
最后，分形原理在艺术领域也有着独特的应用。
许多艺术家将分形原理运用到他们的作品中，创作出具有分形特征的艺术作品。
这些作品不仅具有美学价值，还能够展现出分形原理的奇妙之处。
总之，分形原理是一种描述自然界复杂结构的有效工具，其应用涉及到科学、工程、艺术等多个领域。
通过对分形原理的深入理解和应用，我们可以更好地理解自然界的复杂现象，同时也可以创造出更多具有分形特征的创新产品和艺术作品。
希望本文能够为读者对分形原理的理解和应用提供一些帮助。
分形理论在经济中的应用的开题报告
分形理论在经济中的应用的开题报告
分形理论是一种近年来在自然科学领域中被广泛探讨的理论，其研究对象主要是一些具有自相似性、非线性和随机性质的复杂现象。
然而，随着人类对经济活动的研究越来越深入，越来越多的人发现，经济活动同样具有上述特点。
因此，分形理论对于经济科学的研究具有十分重要的意义。
本文将从以下几个方面介绍分形理论在经济中的应用：
1. 分形理论在股票市场中的应用。
研究表明，股票市场的波动具有自相似性，其走势可以用分形模型进行预测。
因此，分形理论被广泛应用于股票市场的走势预测和交易策略的制定。
2. 分形理论在汇率市场中的应用。
同样的，汇率市场的波动同样呈现出自相似性和非线性特点，可以用分形模型进行分析和预测。
分形模型可以帮助人们更好地理解汇率市场的波动规律，并制定更加科学的投资策略。
3. 分形理论在货币政策制定中的应用。
货币政策的制定需要考虑到经济周期的变化以及股票市场和汇率市场的波动情况。
分形理论可以帮助人们更好地理解这些变化和波动，并制定相应的货币政策以促进经济发展。
4. 分形理论在财政政策制定中的应用。
财政政策制定同样需要考虑到经济活动的波动和周期变化。
分形理论可以帮助人们更好地理解这些波动和变化，并制定相应的财政政策以促进经济的稳定和发展。
综上所述，分形理论在经济中的应用对于经济科学的发展具有十分重要的意义。
因此，进一步的研究分形理论在经济中的应用，对于提升人们对经济活动的认识，促进经济的稳定和发展有着重要的作用。
3 分形理论及其应用
同样，可以用半径为r的小球来填满一块体积V球体，所需小球的数目 比例于：
V / r3
对于任何严格有确定维数的集合体，若用与它具有相 同维数的“尺”去量度，则可以得到一确定的数值N，若 用低于它维数的“尺”去量它，结果为无穷大；若用高于 它维数的“尺”去量它，结果为零。其数学表达式为
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Sierpinski三角形
什么是分形？
•实例 •定义 •分形特征
分形定义
分形：是一种具有自相似特性的现象、图
像或者物理过程。也就是说，在分形中， 每一组成部分都在特征上和整体相似，只 仅仅是变小了一些而已。
什么是分形？
•实例 •定义 •分形特征
分形特征
自相似性 self－similarity
• 那么，这和分维有什么联系呢？
• 像相对论发展了传统力学一样，分维是对传统维 数概念的进一步发展。它并不和你所了解的分维 知识相冲突，而是一种发展！
一般情况下，分维是一个分数。它反映了一个 分形体的不规则程度，分形维数越大，则分形体 越不规则。
这里我们介绍比较常用的三种分形维数： 相似维数 hausdorff 维数 盒子维数
的小盒子紧邻地去包含A，设 Nn (A)为表示包含A所需
的最小盒子数，则：
D
lim
n
ln
N ln
n ( A) 2n
即为集合A的盒子维。
计算：逐渐增大n，分别计算出 Nn ( A) 相应的值， 这样就得到一组(ln 2n , ln Nn ( A))的数据对，再利用线性 回归等方法求出 ln Nn (A) 相对于 ln 2n的斜率，即为所要 求的盒子维。
• 1967年发表于美国《科学》杂志上的“英国的海 岸线有多长”的划时代论文，是他的分形思想萌 芽的重要标志。
分形理论及其在材料科学中的应用
分形理论及其在材料科学中的应用Ξ郭从容 王雪松 杨桂琴 崔建中 严乐美 张万东(天津大学化学系 300072)摘要:分形是一门正处于迅速发展中的新学科,其影响范围和应用领域也在日益扩大。
本文简要介绍了分形的基本概念,以及分形应用于材料科学中的研究进展情况。
关键词:分形;自相似性;分形维数中图分类号:TN304 文献标识码:A 文章编号:1005-3077(1999)-01-0038-05The Fractal Theory and its Application in Material scienceG uo C ongrong Wang Xues ong Y ang G uiqin Cui Jianzhong Y an Lemei Zhang Wandong(Deparment of Chemistry,Tianjin University,300072)Abstract:Fractal theory is a rapidly developing subject of science.Its influence range and application field are enlarging.In this paper,the concept of fractal was explained,and its application in material science was described.K ey w ords:fractals;self-similarity;fractal dimension1 分形理论简介 Fractal一词,源于拉丁文Fractus。
原译为“不规则的”或“破碎的”,但通常把它译为“分形”。
近年来,分形一直是国内外有关学者们的研究热点,它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金,甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。
1.1 分形理论的提出 众所周知,普通的几何对象具有整数维数。
分形学原理及应用
分形学原理及应用分形学是一种描述自然现象的数学理论，其核心原理是“自相似性”，即自然界中很多事物都有相似的形态和结构，如树叶的分支、云朵的形状、岩石的形态等，这些事物都有很强的自相似性。
通过分形学的研究，可以深入了解事物之间的相互关系，从而推动技术和科学的发展。
分形学的基本原理是一些简单形态的反复复制和缩放，从而形成复杂的图形和结构。
这种缩放可以进行无限次，因此分形图形是无穷大的，即便只看其中的一部分，也可以看到图形中具有类似整体的形态。
对于这些分形图形，我们可以通过数学公式进行描述和模拟，从而进一步了解它们的特点和本质。
分形学在很多领域都有应用，其中最为明显的是在自然科学领域。
例如，通过分形图形的研究，可以深入了解植物的生长规律、地质学中岩石的形成过程、气象学中天气模型等。
此外，分形学还被应用于医学、神经科学、艺术等领域。
在医学领域，分形学被应用于研究人体的生理过程和疾病的形成机理。
例如，通过对心电图的分形分析可以研究心脏的节律和健康状态，通过对癌症断层扫描图像的分形分析可以研究肿瘤的形态和生长规律。
此外，分形学还被用于神经科学中，可以研究神经元的连接方式和神经网络的构造。
在艺术领域，分形学的原理也被用于生成艺术作品。
例如，可以通过分形生成程序来产生各种形态的图形，这些图形可以用于艺术家设计各种艺术形式，如绘画、音乐等。
同时，分形图形也具有美学价值，不少艺术家使用它们来表达自己的情感和思想。
总之，分形学是一种有广泛应用前景的数学理论，在科学、医学、艺术等领域都有着重要的作用。
通过对分形学的深入研究和应用，我们可以进一步了解自然现象和人类社会之间的关系，推进技术和科学的快速发展。
分形理论PPT课件
分形理论
球等简单形状加以组合，就能很好地与其构造近似。
二、非欧氏几何学（分形几何学）
欧几里德几何学（简称欧氏几何学），是一门具有
2000多年历史的数学分支，它是以规整几何图形为研
究图象。所谓规整几何图形就是我们熟悉的点、直线与
线段；平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各
种三角形以及正多边形等。空间中的正方体、长方体、
人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。 在历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密切 相关的。在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观 世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、射影 几何、微分几何等，它们能有效地描述三维世界的许多 现象，如各种工业产品的现状，建筑的外形和结构等。 但是，自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。 例如：海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、 闪电、海浪等等，例如图1.1、图1.2和图1.3所示。用欧 几里德几何学是无能为力的。
精品ppt
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图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状
图1.2 日本传统精绘品画ppt中对海浪的描述
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图1.3 山脉的复杂形态
另外，在科学研究中，对许多非规则性对象建模分 析，如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对 象，都需要 一种新的几何学来描述。
所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态， 是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分 形的几何，称为分形几何精，品又ppt称为描述大自然的几何。 8
分形理论及其应用阅读笔记
《分形理论及其应用》阅读笔记目录一、内容概括 (2)1. 分形理论的起源与发展 (2)2. 分形理论的应用领域 (3)二、分形的基本概念与性质 (4)1. 分形的定义 (5)2. 分形维数 (6)3. 分形几何与拓扑 (7)三、分形函数与映射 (9)1. 贝尔曲线与分形函数 (10)2. 莱布尼茨公式与迭代函数系统 (11)四、分形图像与纹理 (13)1. 纹理的计算机模拟 (14)2. 分形艺术与设计 (15)五、分形在自然科学与工程中的应用 (16)1. 地质学与地球物理学 (18)2. 生物学与医学 (19)3. 计算机图形学与图像处理 (20)六、分形在社会科学与管理中的应用 (21)1. 社会网络分析 (23)2. 经济预测与市场分析 (24)七、分形理论的发展趋势与展望 (26)1. 分形与量子力学 (27)2. 多尺度分析与分形集成 (29)八、结论 (30)1. 分形理论的重要性与价值 (31)2. 对未来研究的展望 (33)一、内容概括《分形理论及其应用》一书深入探讨了分形这一自然界广泛存在的现象，以及其在数学、物理、工程、经济等多个领域的广泛应用。
本书首先介绍了分形的基本概念，包括其几何特征和动力学性质，然后详细阐述了分形生成、分形维数、分形映射等核心理论。
在此基础上，书中进一步探讨了分形在自然景观、生态系统、社会经济系统等方面的应用，展示了分形理论在实际问题中的重要价值。
通过本章节的学习，读者可以更好地理解分形这一复杂而迷人的自然现象，以及它在我们生活中的广泛应用。
1. 分形理论的起源与发展分形理论起源于20世纪60年代，当时数学家们开始对自然界的许多不规则现象产生兴趣。
这些现象包括海岸线的形状、山川的起伏、云朵的图案等。
这些看似随机的形状实际上具有某种内在的规律和结构。
随着数学和计算机科学的发展，分形理论逐渐形成并完善。
Mandelbrot在1975年首次提出了分形的概念，并为一台计算机研制成功第一台光栅显示器。
分形理论及其在生命科学中的应用
分形理论及其在生命科学中的应用摘要：从微观到宏观，生命现象在各个层次都呈现出分形的现象。
分形理论已经广泛应有于生命科学的领域中。
本文主要对分形、及其维数的概念进行介绍，对生物学中分形理论的应用进行综述，同时对在生命科学领域中应用分析理论的前景进行分析和展望。
关键词：生命科学；分形理论；分形维数生物系统以及其过程是非常典型的复杂系统，有随机性、自相似性、自组织性、突变性、多尺度性、非平衡性、非线性等多种属性，因而就需要使用专门进行定量非线性研究的方法来对其特有的规律进行认识。
分形理论被称为大自然的几何学，是现代数学中的新的一个分支，属于三大非线性科学其中之一的内容，在非线性问题的解决中有着重要的作用。
在分形理论提出以来，已经广泛的探索并应用于很多的领域中，在生物学领域的应用已经有近三十年的历史，对定量分析和理解生物系统的机制和机理有着重要的帮助，为研究生物学的过程中加入了更多的活力，对生物学新分支的——生物分形学的诞生具有促进作用。
一、分形理论1.概念分形的概念是在海岸线测量的研究中最早出现的，针对不规则的海岸线图形，如果测量尺度选择的不同，就会导致测量结果相差很大，而且细小的位置也不能得到测量。
这类不规则的形状具有大尺度和小尺度相似的特点，同时在进行无限细分之后还是有这样的自相似性，就被称为分形。
分形有无规分形以及有规分形两各类别。
同时其具有标度不变以及自相似性两个基本性质。
标度不变是指任选分形上的一个局域，将它放大，能够得到和原图形相同的特征形态。
自相似性是指某种过程或者结构在不同的时间尺度或者空间尺度来看都是相似的，或者某种结构或系统的局部结构或者局部的性质是相似的，同时，部分和部分之间或者整体和整体之间也具有自相似的特性。
2.分形維数分形维数是对分形进行定量描述的一个重要参数，其能够实现分形体复杂程度的表征。
分形维数能够是整数值，也能够是分数值，同时其有多种的计算以及定义的方法，例如广义维数、信息维数、相似维数、关联维数、盒维数等。
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其实，远远不止这些。从心脏的跳动、 变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象 都具有分形特性。这正是研究分形的意义 所在。
标度不变性 scale invariance
指在分形上任选一局部区域，对它进行放大， 这是得到的放大图又会显出原图的形态特性。 因此，对于分形，不论将其放大或缩小，它的 形态、复杂程度、不规则性等各种特性均不会 发生变化，所以标度不变性又称为伸缩不变性。
分形植物
Mandelbrot集
分形维数
• 维数是几何学和空间理论的基本概念。例如一维 的直线，二维的平面，三维的普通空间，都是人 们熟知的。但如果想知道雪花、云彩、山脉、树 枝以及烟圈等等复杂自然结构的维数是多少，用 传统的数学是难以回答的，至多是定性的描述。 而分形理论则给出定量的分析，即可用分维（分 形维数、分数维）加以表征。它不是通常欧氏维 数的简单扩充，而是赋予了许多崭新的内涵。
Fractal（分形）一词的由来
据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年 夏天的一个夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子 的拉丁文字典时，突然想到的。
取拉丁词fractus之头，撷英文fractional之尾， 就得到了fractal一词。本意是不规则的、破碎的、 分数的。
曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几 里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何 对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山 脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回 肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满 天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。 直观而粗略地说，这些对象都是分形。
3 分形理论及其应用
•分形展厅
（国内外分形作品）
见山见水
墨韵
纹身
• 火凤凰的诞生
over
主要内容
• 分形的产生背景？ • 谁是分形理论的创始人？ • 什么是分形？特征？ • 分形可以应用于哪些领域？
合肥工业大学 图像信息处理研究室 Tel:2901393 地址：逸夫楼709 Email:images@ /organ/images我们可以用 直线、立方体、圆锥、球等这一类规则的 形状去描述诸如道路、建筑物、车轮等等 人造物体，这是极自然的事情。
• 然而在自然界中，却存在着许许多多极其 复杂的形状，如，山不是锥，云不是球， 闪电不是折线，雪花边缘也不是圆等等， 再如宇宙中的点点繁星所构成集合更非经 典集合所能描述的，它们不再具有我们早 已熟知的数学分析中的连续、光滑（可导） 这一基本性质了。
• 这一类奇形怪状的物体长期以来被认为是 “不可名状的”或“病态的”，从而很容
易被人们忽视了。显然传统的数学已经无
法来描述它们，从而使经典数学陷入了危 机，于是分形几何学（fractal geometry） 便应运而生。
• 分形几何学是一门以非规则几何形态为研 究对象的几何学。由于不规则现象在自然 界是普遍存在的，因此分形几何又称为
• 1967年发表于美国《科学》杂志上的“英国的海 岸线有多长”的划时代论文，是他的分形思想萌 芽的重要标志。
• 1973年，在法兰西学院讲课期间，他提出了分形 几何学的整体思想。
• 1977年，他出版了第一本著作《分形：形态，偶 然性和维数》，标志着分形理论的正式诞生。
• 五年后，他出版了著名的专著《自然界的分形几 何学》，至此，分形理论初步形成。
指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度 或时间尺度来看都是相似的或者某系统或结构的 局域性质或局域结构与整体相似。它不但包括严 格的几何相似性，而且包括通过大量的统计而呈 现出的自相似性。
分形植物
Koch 雪花
Sierpinski 三角形
如果你是个有心人，你一定会发现在自然界 中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相 似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其 它部分都十分形似。
• 问题似乎解决了，但Mandelbrot发现：当 测量单位变小时，所得的长度是无限增大 的。他认为海岸线的长度是不确定的，或 者说，在一定意义上海岸线是无限长的。 为什么？
• 答案也许在于海岸线的极不规则和极不光 滑。此时，长度也许已不能正确概括海岸 线这类不规则图形的特征 。
几种典型的分形图案 KOCH曲线
描述大自然的几何学
分形几何与传统几何相比有什么特点
从整体上看，分形几何图形是处处不规 则的。例如，海岸线和山川形状，从远距 离观察，其形状是极不规则的。
在不同尺度上，图形的规则性又是相同 的。上述的海岸线和山川形状，从近距离 观察，其局部形状又和整体形态相似，它 们从整体到局部，都是自相似的。
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Sierpinski三角形
什么是分形？
•实例 •定义 •分形特征
分形定义
分形：是一种具有自相似特性的现象、图
像或者物理过程。也就是说，在分形中， 每一组成部分都在特征上和整体相似，只 仅仅是变小了一些而已。
什么是分形？
•实例 •定义 •分形特征
分形特征
自相似性 self－similarity
什么是分形？
•实例 •定义 •分形特征
海岸线有多长？
按照传统的科学方法来考虑，这是一个及其简 单的问题，然而曼德勃罗教授在其名为《英国海 岸线有多长？》的文章中作出了令人惊诧的答案：
“英国海岸线的长度是不确定的!其原因在于海 岸线的长度依赖于测量时所使用的尺度。”
• 以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度 将短于1km的迂回曲折都忽略掉了，若以 1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回 曲折，长度将变大，测量单位进一步变小， 测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的 长度将趋近于一个确定值，这个极限值就 是海岸线的长度。
分形人物－ Mandelbrot
分形理论创始人－ 美籍法国数学家 Mandelbrot。
Mandelbrot • 美国IBM（国际商业机器）公司沃特森研
究中心自然科学部高级研究员
• 哈佛大学应用数学兼职教授 • 美国国家科学院院士 • 美国艺术与科学研究员成员 • 欧洲艺术、科学和人文研究院院士。