3 分形理论及其应用

Fractal（分形）一词的由来
据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年 夏天的一个夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子 的拉丁文字典时，突然想到的。
取拉丁词fractus之头，撷英文fractional之尾， 就得到了fractal一词。本意是不规则的、破碎的、 分数的。
曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几 里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何 对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山 脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回 肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满 天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。 直观而粗略地说，这些对象都是分形。
• 这一类奇形怪状的物体长期以来被认为是 “不可名状的”或“病态的”，从而很容
易被人们忽视了。显然传统的数学已经无
法来描述它们，从而使经典数学陷入了危 机，于是分形几何学（fractal geometry） 便应运而生。
• 分形几何学是一门以非规则几何形态为研 究对象的几何学。由于不规则现象在自然 界是普遍存在的，因此分形几何又称为
分形的产生背景
• 在经典的欧几里德几何学中，我们可以用 直线、立方体、圆锥、球等这一类规则的 形状去描述诸如道路、建筑物、车轮等等 人造物体，这是极自然的事情。
• 然而在自然界中，却存在着许许多多极其 复杂的形状，如，山不是锥，云不是球， 闪电不是折线，雪花边缘也不是圆等等， 再如宇宙中的点点繁星所构成集合更非经 典集合所能描述的，它们不再具有我们早 已熟知的数学分析中的连续、光滑（可导） 这一基本性质了。
3 分形理论及其应用
•分形展厅
（国内外分形作品）
见山见水
墨韵
纹身
• 火凤凰的诞生
over
主要内容
• 分形的产生背景？ • 谁是分形理论的创始人？ • 什么是分形？特征？ • 分形可以应用于哪些领域？
合肥工业大学 图像信息处理研究室 Tel:2901393 地址：逸夫楼709 Email:images@hfut.edu.cn http://www1.hfut.edu.cn/organ/images
指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度 或时间尺度来看都是相似的或者某系统或结构的 局域性质或局域结构与整体相似。它不但包括严 格的几何相似性，而且包括通过大量的统计而呈 现出的自相似性。
分形植物
Koch 雪花
Sierpinski 三角形
如果你是个有心人，你一定会发现在自然界 中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相 似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其 它部分都十分形似。
分形植物
Mandelbrot集
分形维数
• 维数是几何学和空间理论的基本概念。例如一维 的直线，二维的平面，三维的普通空间，都是人 们熟知的。但如果想知道雪花、云彩、山脉、树 枝以及烟圈等等复杂自然结构的维数是多少，用 传统的数学是难以回答的，至多是定性的描述。 而分形理论则给出定量的分析，即可用分维（分 形维数、分数维）加以表征。它不是通常欧氏维 数的简单扩充，而是赋予了许多崭新的内涵。
其实，远远不止这些。从心脏的跳动、 变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象 都具有分形特性。这正是研究分形的意义 所在。
标度不变性 scale invariance
指在分形上任选一局部区域，对它进行放大， 这是得到的放大图又会显出原图的形态特性。 因此，对于分形，不论将其放大或缩小，它的 形态、复杂程度、不规则性等各种特性均不会 发生变化，所以标度不变性又称为伸缩不变性。
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Sierpinski三角形
什么是分形？
•实例 •定义 •分形特征
分形定义
分形：是一种具有自相似特性的现象、图
像或者物理过程。也就是说，在分形中， 每一组成部分都在特征上和整体相似，只 仅仅是变小了一些而已。
什么是分形？
•实例 •定义 •分形特征
分形特征
自相似性 self－similarity
分形人物－ Mandelbrot
分形理论创始人－ 美籍法国数学家 Mandelbrot。
Mandelbrot • 美国IBM（国际商业机器）公司沃特森研
究中心自然科学部高级研究员
• 哈佛大学应用数学兼职教授 • 美国国家科学院院士 • 美国艺术与科学研究员成员 • 欧洲艺术、科学和人文研究院院士。
什么是分形？
•实例 •定义 •分形特征
海岸线有多长？
按照传统的科学方法来考虑，这是一个及其简 单的问题，然而曼德勃罗教授在其名为《英国海 岸线有多长？》的文章中作出了令人惊诧的答案：
“英国海岸线的长度是不确定的!其原因在于海 岸线的长度依赖于测量时所使用的尺度。”
• 以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度 将短于1km的迂回曲折都忽略掉了，若以 1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回 曲折，长度将变大，测量单位进一步变小， 测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的 长度将趋近于一个确定值，这个极限值就 是海岸线的长度。
描述大自然的几何学
分形几何与传统几何相比有什么特点
从整体上看，分形几何图形是处处不规 则的。例如，海岸线和山川形状，从远距 离观察，其形状是极不规则的。
在不同尺度上，图形的规则性又是相同 的。上述的海岸线和山川形状，从近距离 观察，其局部形状又和整体形态相似，它 们从整体到局部，都是自相似的。
• 1967年发表于美国《科学》杂志上的“英国的海 岸线有多长”的划时代论文，是他的分形思想萌 芽的重要标志。
• 1973年，在法兰西学院讲课期间，他提出了分形 几何学的整体思想。
• 1977年，他出版了第一本著作《分形：形态ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ偶 然性和维数》，标志着分形理论的正式诞生。
• 五年后，他出版了著名的专著《自然界的分形几 何学》，至此，分形理论初步形成。
• 问题似乎解决了，但Mandelbrot发现：当 测量单位变小时，所得的长度是无限增大 的。他认为海岸线的长度是不确定的，或 者说，在一定意义上海岸线是无限长的。 为什么？
• 答案也许在于海岸线的极不规则和极不光 滑。此时，长度也许已不能正确概括海岸 线这类不规则图形的特征 。
几种典型的分形图案 KOCH曲线