函数的最大值与最小值90693
函数的最大值、最小值 课件
2.f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈［t,t+1］,t∈R，对称轴为 直线x=1.
当t+1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区 间［t,t+1］上为减函数，所以最小值为f(t+1)=t2+1; 当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值 为f(1)=1; 当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间［t,t+1］ 上为增函数，所以最小值为f(t)=t2-2t+2.
1.已知函数f(x)=x2+2x+a(x∈［0,2］)有最小值-2，则f(x) 的最大值为( ) A.4 B.6 C.1 D.2 2.函数f(x)= 1－1 (x>0).
ax
(1)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)若函数f(x)的定义域与值域都是［ 1 , 2］，求a的值.
2
【解题探究】1.二次函数在闭区间内求最值的关键是什么? 2.题2(1)证明f(x)的单调性的一般步骤是什么？它对解决(2) 是否有作用？ 探究提示： 1.求二次函数f(x)在某区间［m,n］上的最值的关键是判断函 数在［m,n］内的单调性. 2.证明f(x)单调性的步骤为取值→作差变形→定号→判断(结 论)，可以利用其单调性解决(2)中的值域问题，进而求出a的 值.
类型 一 图象法求函数最值(值域)
1.函数y=f(x)，x∈［－4,7］的图象如图，则其最大值、最
小值为( )
A.3，2
B.3，-2
C.3，0
D.2，-2
2.写出函数f(x)=|x+1|+|2－x|，x∈(－∞,3］的单调区间和
函数的最大(最小)值39页PPT文档
25000 元．(12 分)
【名师点评】 (1)解决实际问题，首先要理 解题意，然后建立数学模型转化成数学问题 解决． (2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数 关系式的关键．
变式训练
3．将进货单价为40元的商品按50元一个出售 时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1 元，其销售量就减少10个，为得到最大利 润，售价应为多少元？最大利润是多少？
互动探究
2．本例中，若所给区间是[1,4]，则函数最值 又是什么？ 解：按例题的证明方法，易证f(x)在区间[2,4] 上是增函数，又函数在[1,2]上是减函数，所 以函数f(x)的最小值是4.又f(4)＝5＝f(1)，所 以函数的最大值是5.
题型三 函数最值的实际应用
例3 (本题满分 12 分)某公司生产一种电子仪
想一想 所有的单调函数都有最值吗？ 提示：不一定，如y＝2x＋1没有最值．
做一做 1.函数y＝2x－3在区间[－1,2]上的最小值与 最大值分别为( ) A．－2，－1 B．－5,1 C．－1,2 D．－4,1 答案：B
2．函数y＝－x2＋2x的最大值是________． 答案：1
• 1做优化P30例2 •2
∴x1x2－4<0，x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)． ∴f(x)＝x＋4x在[1,2]上是减函数．
从而函数的最大值是 f(1)＝1＋4＝5，最小值是 f(2)
＝2＋2＝4.
【名师点评】 函数的最值与单调性的关系 若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在 [a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； 若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在 [a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
经济数学34函数的最大值与最小值
LRC33q1q2．
L3q，
2
令 L0，得 q 3(百件).
L(3)10，所以当 q 3 时，函数取
得极大值，因为是唯一的极值点，所以就是最
大值点.
即产量为300件时取得最大利润.
ESC
二、最大值与最小值在经济中的应用
2.最小成本问题 例5 已知某个企业的成本函数为
最大值与最小值统称最值.
a x1 x2
x3 x4 b x
由最大值与最小值的定义知 ymaxf(x4),
ESC
yminf(a).
一 函数的最大值与最小值
极值
最值
ESC
1. 函数的极值是仅就函数
1. 而函数的最值是函数
y f (x)有定义的区间内某
y f(x)在所考察的区间
一点 x0的邻近,即在局部范
y 20，所以 q4.5时， y取得 q4.5
极小值，由于是唯一的极值，所以就是最小 值．
y (4 .5 )2 9 (4 .5 ) 3 0 9 .7(千5元). q 4 .5 即产量为4.5吨时，平均可变成本取得最
小值9 750元.
ESC
二、最大值与最小值在经济中的应用
3．最大收益问题 例6 一家工厂生产一种成套的电器维修工
上比较函数值的大小,故
围内比较函数值的大小,故
y极小 y极大.
区别
必有 yminymax.
2.一个函数在一个区间上
2.一个函数在一个区间上
只能有一个最大值和最小
可以有几个极大值和极小
值.
值.
3.最值可在区间内部取得,
3.极值只能在区间内部取
也可在区间端点处取得.
得.
联系
若在区间内部求函数的最值,则只能在函数的极值中寻找. 特别是在解极值应用问题时,常常是下述情况:
函数的最大值与最小值PPT优秀课件1
函数 f ( x )
1 x
在 (0,∞)内连续。
4
2
-5
5
-2
-4
2.求可导f ( x ) 函数在[a,b]上最值的方法。
例1：求函数 f(x)x42x25在区间[-2，2]
上的最大值与最小值。
解：y' 4x3 4x
令 y ' 0 有 4x34x0 解得：x 1,0,1
当x变化时，y ' ，y的变化情况如下表：
x -2 (-2,1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
y'
-
+ 0 - 0+
y 13
4
5
4
13
从上表可看出，最大值是13，最小值是4。
2.求可导f ( x ) 函数在[a,b]上最值的方法。
例1：求函数 f(x)x42x25在区间[-2，2]
函数的最大值与最小值 高三数学选修（Ⅱ）章导数与微分
Maximumvalue&MinimumvalueofFunction
教出：廖维猛
Teachingout:Lwmeng
Lwmeng@ WangchencontryLeiFeiSchoolHunan
• 函数的最大值与最小值
最小值f(x3)
再见! 感谢各位评委莅临指导！
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
2.函数 yx 4xx2在上的最大值为（ B ）
函数的最值 课件
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收 益＝总成本＋利润) 解 当 0≤x≤400 时，f(x)＝－12(x－300)2＋25 000； ∴当x＝300时，f(x)max＝25 000， 当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数， f(x)＜60 000－100×400＜25 000. ∴当x＝300时 ，f(x)max＝25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大， 最大利润为25 000元.
题型三 闭区间上二次函数的最值问题 例3 已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，x∈[－1,1].
(1)若a＝1，求函数f(x)的最值； 解 当 a＝1 时，f(x)＝x2＋x＋3＝(x＋12)2＋141， 故函数在[－1，－12]上单调递减， 在[－12，1]上单调递增， 又 f(－1)＝3，f(－12)＝141，f(1)＝5， ∴函数 f(x)的最大值为 5，最小值为141.
(2)若a∈R，求函数f(x)的最小值. 解 ∵f(x)的对称轴为 x＝－a2. 当－2a<－1，即 a>2 时，函数 f(x)＝x2＋ax＋3
在[－1,1]上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝4－a. 当－1≤－a2≤1，即－2≤a≤2 时，f(x)min＝f(－a2)＝a42－a22＋3＝3－a42. 当－a2>1，即 a<－2 时，f(x)＝x2＋ax＋3 在[－1,1]上单调递减，f(x)min＝f(1)＝4＋a.
4－a，a>2， 综上可知，f(x)min＝3－a42，－2≤a≤2，
4＋a，a<－2.
题型四 函数最值的实际应用 例 4 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元，每生产一台仪器需 增加投入 100 元，已知总收益满足函数：R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400，
经济学专业数学函数的极值与最大值、最小值配套课件
说明：
由定理 1 可知： 1、 可导函数的极值点必为驻点。 2、 函数的驻点（Stagnation Point）不一定为极值 点. 3、 驻点和导数不存在的点是函数可能的极值 点。
下面给出判断极值点的两种不同方法.
2017年4月14日星期五
4
3.第一充分条件
（The First Sufficient Condition）
2017年4月14日星期五 10
4.第二充分条件
（The Second Sufficient Condition
定理 3（第二充分条件） 设函数 f ( x) 在点 x0 处具有 二阶导数，并且 f ( x0 ) 0 ， f ( x0 ) 0 ．则
（1）若当 f ( x0 ) 0 时，函数 f ( x) 在点 x0 处取得极大值；
（2）若当 f ( x0 ) 0 时，函数 f ( x) 在点 x0 处取得极小值；
注 1：本定理可利用极限的保号性加以证明；
注 2：当 f ( x0 ) 0 时，本定理失效！
例如，函数 f ( x) x3 时，本定理失效！
2017年4月14日星期五 11
解题步骤：
（1）求出 f ( x), 并求出 f ( x) 全部驻点；
2017年4月14日星期五 15
3 2 例 4 求函数 y x x 6 x 2 在闭区间 [2, 1] 的最 2 大值与最小值.
3
函数的导数为 y 3x2 3x 6 3( x 2)( x 1) ， 令 y 0 ， 在 闭 区 间 [2, 1] 内 ， 函 数 的 驻 点 为 ： x1 1 ，函数无不可导点 . 3 3 当 x 2 时， y (2) (2) 2 6 (2) 2 4; 2 3 3 3 2 当 x 1 时， y (1) (1) 6 (1) 2 ; 2 2
高等数学3.5函数的极值与最大值最小值（PDF）
定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
定理1(必要条件) 设 f ( x) 在 x0 有导数，且在 x0 处
取得极值，则f (x0 ) 0
则 f ( x) 在 x0 取得极大值.
(2) 如果 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0 而 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0;
则 f ( x) 在 x0 取得 极小值.
y
o
x0
y
(是极值点情形)
xo
x0
x
一、函数极. 值的求法
定理2(第一充分条件)
设f
x
3
x 2, f ( x) 不存在. 但f ( x)在 x 2 连续
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1 是f ( x) 的极大值
一、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点 x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0, x0 )时, f '( x)
若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值 为所求的最值
三、应用举例
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，
§3.5 函数的最大值和最小值
§3.5 函数的最大值与最小值一、函数的最大值与最小值定义定义 3.3 设函数()f x 在D 上有定义,0x D ∈.若对任意x D ∈,恒有0()()f x f x >，则称0()f x 为()f x 在D 上的最大值; 若对任意x D ∈,恒有0()()f x f x <，则称0()f x 为()f x 在D 上的最小值.图2.若连续函数()f x 在区间[,]a b 上单调增加(或单调减少),则()f a 是()f x 在区间[,]a b 上的最小(或最大)值,()f b 是()f x 在区间[,]a b 上的最大(或最小)值.图二、闭区间上连续函数的最大值与最小值的存在性1.闭区间上连续函数一定有最大值与最小值3.若连续函数()a b内有f x在区间(,)且仅有一个极大(或极小)值,则此极大(或极小)值就是函数()a b上f x在区间[,]的最大(或最小)值.图三、求连续函数()f x 在闭区间[,]a b 上最大值与最小值步骤1.求出()f x 在(,)a b 内的所有驻点i x (1,2,,i k = )和所有导数不存在的点j x '(1,2,,j l = );2.比较1()f x ,2()f x , ,()k f x ,1()f x ',2()f x ', ,()l f x ',()f a ,()f b ;其中最大值即为()f x 在[,]a b 上的最大值，其中最小值即为()f x 在[,]a b 上的最小值.例1 求函数32()23f x x x =-在[1,2]-上的最大值和最小值.解：2()666(1)f x x x x x '=-=-令()0f x '=,得10x =,21x = 而(1)5f -=-,(2)4f =,(0)0f =,(1)1f =-所以max ()(2)4f x f ==min ()(1)5f x f =-=-图例2设有一长8cm和宽5cm的矩形铁片,在每个角上剪去同样大小的正方形,问剪去正方形的边长多大,才能使剩下的铁片折起来做成开口盒子的容积最大. 图解：设剪去的正方形的边长为x,则盒子的容积是()(52)(82)V x x x x=--,其中52x≤≤;由于(1)280V ''=-<,所以1x =时()V x 取极大值，即最大值,(1)18V =.答：剪去的正方形的边长为1cm 时,做成的盒子的容积最大,最大容积是18cm 3.()2(82)2(52)(52)(82)V x x x x x x x '=----+--.4(1)(310)x x =--. 令()0V x '=,得驻点11x =,2103x =(舍去) ()4(310)12(1)2452V x x x x ''=-+-=-.例3如图，铁路线上AB段长100公里,工厂C到铁路的距离CA是20公里.在AB上某一点D处向C修一条公路.已知铁路与公路的运费之比为3:5,问点D选在何处,才能使原料从供应站B到工厂C的运费最省?图解：设铁路每吨公里运费为3,公路每吨公里运费为5,设DA x =,于是100BD x =-,2220CD x =+则将原料从点B 运到点C ,每吨的总运费为22()3(100)520(0100)f x x x x =-++≤≤22222253205()32020xx x f x x x -++'=-+=++.令()0f x '=得驻点15x =±(15-舍去)32222520()0(20)f x x ⨯''=>+，(15)0f ''>所以15x =时()f x 有极小值,由于15x =是[0,100]内惟一极值点,所以15x =时()f x 有最小值.答：点D 选在距离A 点15公里处运费最省.四、导数的经济应用1.成本总成本函数：01()()C Q C C Q =+,其中0C 为固定成本,1()C Q 为变动成本. 平均成本函数：()()C Q C Q Q=. 边际成本函数：()C x '.2.收益需求函数：()Q f P=(P为商品价格) 价格函数：()P P Q=总收益函数：()()R Q Q P Q=⋅平均收益函数：()()()R QR Q P QQ==边际收益函数：()R Q'3.利润总利润函数：()()()=-L Q R Q C Q'边际利润函数：()L Q例6已知某产品当产量为x时的总成本函数为2()1004xC x=+(元)求(1)当产量10x=时,总成本、平均成本、边际成本；(2)产量为多少单位时,平均成本最小?解：(1)210(10)1001254C =+=(元) (10)(10)12.510C C ==(元) 因为()2x C x '=， 所以10(10)52C '==(元)(2)()100()4C x x C x x x ==+ 21001()4C x x '=-+. 令()0C x '=得20x =±(20-舍去) 因为3200()C x x''=，所以(20)0C ''>所以20x=单位时()C x有极小值,即有最小值.答:(1)当10x=时总成本、平均成本、边际成本分别为125元,12.5元,5元.(2)产量为20单位时平均成本最小.例7 已知某产品的需求函数为505Q P =-(Q 为产量,P 为单价),总成本函数为()502C Q Q =+(元),求产量为多少单位时总利润最大?最大利润是多少?解：由505Q P =-得()105Q P Q =- 所以2()()105Q R Q Q P Q Q =⋅=-所以2()()()8505Q L Q R Q C Q Q =-=-- 2()85L Q Q '=-.令()0L Q '=得20Q =2()5L Q ''=-. 于是(20)0L ''<所以20L Q有极大值,即有Q=时()最大值,最大值为(20)30L=(元) 答：当产量为20单位时总利润最大,最大利润是30元.。
函数的最大值和最小值PPT优秀课件
+a2 b3 当 ff(/(xx)x ) 可 能 小 a0 时 2.最 30 -大 可 能 小3 ， 值 - 求 -b 为 10-23 9.得 2
五已、知练函习数题: yx33x29xa
一般地,在闭区间[a,b]上连续的 函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最 小值.
如何求函数在闭区间上的最大值 和最小值?
问题 如果函数f(x)在[a,b]上连 续,在(a,b)内可导,那么如何求f(x) 在[a,b]内的最大值和最小值呢?
三、求函数的最大值与最小值的步骤:
①函数f(x)在(a,b)内的极值; ②求函数f(x)在区间端点的值f(a),f(b); ③将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
当 若在x 区 间 [-22 ，时 2]上,f的( 最2 大)值 为2 20 ，a， .
y 当 求/它 x在 该3 x 区22 间时 上6 ,x 的f 最(9 2小 )值 ？3 ( 2x 2 1 )ax ,( 3 ) 0 xf (1 2 、 )xf3.(2)
时，
．
所以值域为 1 5 2+b在区间
［－1，2］上的最大值为3，最小值为 －29，求实数a、b的值.(a>0)
当 x 1 时 ,f( 1 ) 7 a b ， .
y/当 3 a x2 x 2 1 时 a2 , fx 3 (a 2)( x x 1 4) a 60 b, x 0、 fx ( 1 4). f(2)
（1）函数f(x)定义在闭区间[a,b]上,
但有间断点,或定义在开区间(a,b)上但连 续是否就一可定能没有有最最大大或或最最小小值值! 呢?
函数的最大值与最小值90694
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3.9 函数的最大值与最小值
例题讲解
例2 求函数 f(x ) 5 x 2x 3 4 x 的值域．
解：由
x 3 0 4 x 0
得
f (x) 的定义域为
3x4
因为
y f ( x ) ( 5 x ) ( 2 x 3 ) (4 x ) 5 1 1 0 x 3 2 x 4
f (x) 有最大值与最小值的充分条件而非必要条件． 2、求最值的方法和步骤 ． 作业：
P140 习题3.9 1．
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中央电教馆资源中心制作
2019.11
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谢谢
所以 f (x) 在 3,4上单调递增，
故当 x3时，y最 小 1 57,x4 y最大 20 27
时，
．
所以值域为 1 5 7 ,2 2 0 7 ．
ห้องสมุดไป่ตู้
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3.9 函数的最大值与最小值
练习 课后练习（1）（2） 课堂小结
1、函数 f (x)定义在闭区间 a,b上且在 a,b上 连续是使得
2021届高中数学新人教版高中数学第一册函数的最大值、最小值含解析
函数的最大值与最小值值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数的最大值是0，有f(0)＝0.4．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0 B．0,2C．f(－2)，2 D．f(2)，2解析：由图象知点(1,2)是最高点，故y max＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故y min＝f(－2)．答案：C类型一图象法求函数的最值例1如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调递减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)．方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练1已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图象如图所示．x －1|＋2的最大值为．时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－4a.时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，由于二次函数的最值与其图象的对称轴有关，而题中函数图象的，位置不确定，所以应按对称轴与区间3(x－2)2－7.2)2－7≥－7，无最大值．的图象如图所示，由图可知，在的单调区间；⎦⎥⎤－1，12上的最大值．⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0的图象如图所示．[0，＋∞) 上是增函数，上是减函数， 的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，[0[能力提升](20分钟，40分)11．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1] B．(－∞，0]C．(－∞，0) D．(0，＋∞)解析：令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0.答案：C12．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．解析：在同一坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，由图象可知，函数f(x)在x＝2时取得最大值6.答案：613．求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，其图象的对称轴为x＝1.当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t ＋1]上为减函数，所以最小值g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，最小值g(t)＝f(1)＝1；第11 页共11 页。
函数的最大(小)值课件
正解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知， 当－1≤x<1时，y随x的增大而减小； 当1≤x≤2时，y随x的增大而增大． 并且当x＝－1时，y取最大值3； 当x＝1时，y取最小值－1. 从而知－1≤y≤3， 即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3]． 纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意
函数的单调增区间为(－1.5,3]，(5,6]，
单调减区间为[－4，－1.5]，(3,5]，(6,7]．
题型二 利用单调性求函数最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋3(x∈[2，＋∞))． (1)求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)>a 恒成立，求 a 的取值范围．
思路点拨：本题可先求函数f(x)的单调性，再求最小值．
误区解密 因忽略函数的定义域而出错
【例4】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域． 错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0， 所以y＝(x－1)2－1≥－1. 从而可知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)． 错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二
解：(1)任取 x1，x2∈[2，＋∞)且 x1<x2，f(x)＝x＋3x＋2， 则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x13x2.
∵x1<x2，∴x1－x2<0. ∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－x13x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 故 f(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴当 x＝2 时，f(x)有最小值，即 f(2)＝121.
函数的极值与最大值最小值
f (n) (x0 ) 0,
是极大点 .
2) 当 n为奇数时, 不是极值点 .
证 利用 在 点的泰勒公式 , 可得
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0)
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
当 充分接近 o((时x ,x上0 )式n ) 左端正负号由右端第一项确定 ,
第三章 微分中值定理与导数的应用
第五节
第五节 函数的极值与最大值最小值
第三章
函数的极值与
最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值 三、最优化问题及其应用
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
一、函数的极值及其求法
第五节 函数的极值与最大值最小值
定义
在其中当
时,
(1)
则称 为 的 极大值点,
说明： 这里没有直接以 为自
变量，是为了使计算简便. 如果以
1 2
O r
hR O
为自变量建立目标函数，可能会更方便些.
最简便的方法是是以h 为自变量建立目标函数
V (R2 h2 )h, 0 h R.
5x 400
x2
(k
3) ,
为某常数 )
y 5k
400 (400 x2 )32
令
得
又
所以 x 15为唯一的
极小值点 , 从而为最小值点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第五节 函数的极值与最大值最小值
函数的最大值与最小值》课件
在资源分配、投资决策等场景中，企业需要找到 最优决策，这通常涉及到最大化或最小化某个目 标函数。
在物理中的应用
能量最小化
01
在物理问题中，能量通常是最小化的目标，例如在弹性力学中，
物体的变形能就是最小化的目标。
振动分析
02
在分析物体的振动时，通常需要找到振幅的最大值和最小值，
这涉及到求函数的极值问题。
率至关重要。
电流的最大值和最小值取决 于电路中的电阻、电压和电
感等参数。
通过分析电路中的电流最大值 和最小值，工程师可以优化电 路设计，提高电路的性能和稳
定性。
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凹凸性判定法
在极值点处，函数的凹凸性发生改变。
如果函数在某点之前为下凸，之后为上凸，则该点为极大值点；如果函数在某点之前为上凸，之后为下 凸，则该点为极小值点。
凹凸性可以通过绘制函数图像或计算二阶导数来判断。
特殊函数的极值判定法
对于一些特殊函数，如常数函数、一次函数、二次函数等，可以根据函数的特性直接判断极值点。
商品价格的最优策略分析
在商品价格最优策略分析中，企业需要确定商品 价格的最大值和最小值，以实现利润最大化。
企业பைடு நூலகம்以根据市场需求、竞争状况、成本等因素， 制定最优的商品价格策略。
商品价格的最优策略需要考虑市场需求的变化、 竞争对手的价格策略以及成本等因素。
电路中的电流最大值与最小值分析
在电路分析中，电流的最大值 和最小值对于电路的安全和效
二阶导数判定法
01
二阶导数大于0的点可能是极 小值点，二阶导数小于0的点 可能是极大值点。
02
在二阶导数等于0的点两侧， 判断函数的凹凸性，如果凹凸 性发生改变，则该点为极值点 。
函数最大值和最小值课件
2．函数的最小值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M， ②存在x0∈I ，使f(x0)＝M. 那么称M是函数y＝f(x)的最小值 ．
思考 函数最大值、最小值的几何
意义是什么？ 【提示】 函数最大值或最小
值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图 象最高点或最低点的纵坐标．
利用函数图象求最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象， 指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解析】 观察函数图象可以知道，图象 上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1， －3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大 值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值 ，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2] ，[5,7]．
二次函数最值问题
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的 最大值和最小值．
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息 ①所给函数为二次函数； ②在区间[－2,2]上求最值． 解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单 调性，再求最值．
【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x －3)2－5，
(2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
思考
当一个函数有多个单调增区间 和多个单调减区间时，我们该如何 简单有效的求解函数最大值和最小 值呢？
那么称M是函数y＝f(x)的最小值．
准确理解函数最大值的概念
②存在x0∈I ，使f(x0)＝M.
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例 2 有一块宽为2a的长方形铁片，将他的两 个边缘向上折起成一个开口水槽，使其横截面为一
矩形，矩形高为 x，问 x取何值时，水槽的截面积
2 面积最大
二，小结 注意最值与极值的区别； 最值是整体概念而极值是局部概念； 实际问题求最值的步骤；
为 g(x1)，极大值为 g(x2) ； g ( x 2 ) 最小值为 g(b) ，最大值 g ( x 1 )
为 g(a) 。
g(b)
O a x1 x2
bx bx
在闭区间[a,b]上最大值最小 值可能在哪些地方取到呢？
y
我最大
我最小
y 我最大 O a
bx y
我最大
我最小
O a 我最小 b x
aO
x b
解 f '(x) 6x2 12x 18 6(x 3)(x 1)。
令 f '(x) 0，得驻点 x1 1, x2 3，
f (1) 14, f (3) 50, f (4) 148, f (3) 36.
则函数 f (x)在 x 1处取得它在[4,3]上的最大 值 14，在区间端点 x 4处取得它在[4,3]上的 最小值-148，
练习 1 求函数 f (x) 2x3 9x2 12x 3在闭区 间[0, 3]上的最大值与最小值
二、应用问题举例
在科学技术和生产实践中常常会碰到最大、最 小值问题，例如在一定条件下，如何使“产量最高”， “成本最低”，“原料最省”，“能耗最小”等等.求解 这类问题的一般步骤是：
（1）分析题意，理解题意，确定自变量和因 变量,建立一元函数的关系式 y f (x)及其定义域.
区间[a, b] 上的图像，
在 区 间 [a,b] 内 的 极 小 值 f ( a )
为 f(x1) ，极大值为 f(x2) ；f ( b )
最小值为 f(x1) ，最大值 f ( x 1 )
为 f(x2) 。
O a x1
x2
观察图二，函数 y g(x)在
区间[a, b] 上的图像，
y
在 区 间 [a,b] 内 的 极 小 值 g ( a )
一、函数在闭区间上的最大值与最小值
若函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，则 f (x)在 [a, b] 上的最大值与最小值存在。
求函数最大值最小值的步骤：
1、求驻点和不可导点；
2、求区间端点及驻பைடு நூலகம்和不可导点的函数值， 比较大小，最大者为最大值，最小者为最小 值
例 1 求函数 f (x) 2x3 6x2 18x 4在闭区间[4,3] 上的最大值与最小值
第四节 函数的最大值与最小值；
一、教学内容：
函数的最大值与最小值
二、教学目标：
1、会求函数的最大值与最小值；
2、会求实际问题的最大（小）值；
三、教学任务 1、求下列函数在给定区间上的最大值和最小 值 （1） f (x) x2 2x 5,[0,3];
(2) f (x) x3 3x2 2,[1,1];
（3） f (x) x4 2x2 5,[2,3]; (4) y x2 ,[ 1 ,1];
1 x 2
2、在边长为48cm的正方形铁皮的四角各切 去一个大小相等的正方形，再把它的边沿虚 线折起，做成一个无盖的方底箱子，截去的 正方形边长为多少时，箱子容积最大？最大 容积是多少？
48
48
观察图一，函数 y f (x) 在 f ( x2 ) y
最大，
解：水槽的截面积 S 是 x的函数 S(x) x(2a 2x),0 x a, S '(x) 2a 4x. 令S '(x) 0,
x 2a2x x
得唯一驻点 x a . 2
a 实际问题中水槽的最大截面积一定存在，所以S ( )是
2 函数 S (x)的最大值，即当两边缘各折起 a 时，水槽截