全等三角形经典培优题型(含标准答案)

三角形培优练习题1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C78.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-ABCDBA BC DEF 2 1ADBCA B CD ABACDF2 1 E9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC10．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B12如图：AE 、BC 交于点M ，F点在AM 上，BE∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。

求证：BE =CD ．14在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。

求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF 16．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由17．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．PD ACBF AEDC BPEDCBA DCBAMFECBAACBD EFA EB M CFC DF全等三角形证明经典（答案）1. 延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数,则AD=52证明：连接BF和EF。

因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。

所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE。

在三角形BEF中,BF=EF。

所以∠EBF=∠BEF。

又因为∠ABC=∠AED。

所以∠ABE=∠AEB。

所以AB=AE。

在三角形ABF 和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

所以三角形ABF和三角形AEF全等。

所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

3 证明：过E点，作EG//AC，交AD延长线于G则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC4证明：在AC上截取AE=AB，连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，DE=DB∵AC=AB+BDAC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C5证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF因为CE⊥AB所以∠CEB＝∠CEF＝90°因为EB＝EF，CE＝CE，所以△CEB≌△CEF所以∠B＝∠CFE因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°所以∠D＝∠CFA因为AC平分∠BAD所以∠DAC＝∠FAC又因为AC ＝AC所以△ADC ≌△AFC （SAS ）所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE6证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A 。

AB 平行于CD,则:∠A+∠D=180°。

又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D 。

又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD.7证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E ，（当AD<BC 时，E 点是射线BA,CD 的交点，当AD>BC 时，E 点是射线AB,DC 的交点）。

则：△AED 是等腰三角形。

所以：AE=DE 而AB=CD所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）所以：△BEC 是等腰三角形所以：角B=角C.8作B 关于AD 的对称点B‘，因为AD 是角BAC 的平分线，B'在线段AC 上（在AC 中间，因为AB 较短）因为PC<PB’+B‘C,PC -PB’<B‘C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-AB 9作AG ∥BD 交DE 延长线于GAGE 全等BDEAG=BD=5AGF ∽CDF AF=AG=5所以DC=CF=210证明：做BE 的延长线，与AP 相交于F 点，∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形在三角形ABF 中，AE ⊥BF ，且AE 为∠FAB 的角平分线 ∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF ，∠DEF=∠CEB ，∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC11证明：在AB 上找点E ，使AE=AC ∵AE=AC ，∠EAD=∠CAD ，AD=AD∴△ADE ≌△ADC 。

DE=CD ，∠AED=∠C ∵AB=AC+CD ，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB∠C=∠B+∠EDB=2∠B 12证明：∵BE ‖CF∴∠E=∠CFM ，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF∴△BEM ≌△CFMP D ACB∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.13证明：因为AB=AC，所以∠EBC=∠DCB因为BD⊥AC，CE⊥AB所以∠BEC=∠CDBBC=CB (公共边)则有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE＝CD14（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB，∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE；15（1）证明。

因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=AB AF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F（2）延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F(已证）所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF16在AB上取点N ,使得AN=AC∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD17证明：作CG平分∠ACB交AD于G∵∠ACB=90°∴∠ACG= ∠DCG=45°∵∠ACB=90°AC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG=∠ACG∵CF⊥AD∴∠ACF+∠DCF=90°∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF∵AC=CB ∠ACG=∠B ∴△ACG≌△CBE∴CG=BE∵∠DCG=∠B CD=BD ∴△CDG ≌△BDE∴∠ADC=∠BDE。