第3章效用函数
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后来经济学家多数认为，消费理论可以基本上在 序数效用理论基础上展开。实际上，序数效用和 偏好映照是等同的概念。
•Chapter 1效用函数
基数效用和序数效用
序数效用(ordinal utility) 认为效用是心理现象，不可以度量，即不能用基数表 示，只能根据偏好的程度排列出顺序，即以序数第一 、第二、第三、…表示效用的高低。
•Chapter 1效用函数
消费者均衡的条件是使最后一单位货币购买各种商 品的边际效用都相等。钻石的边际效用高，所以价 格高昂，水的边际效用低，所以价格低廉，这样购 买水和钻石的每单位货币的边际效用相等。
或者说，人们愿意为边际效用高的钻石支付高价格 ，愿意为边际效用低的水支付低价格是理性行为。
效用最大化。 这被称作相等边际原则。
•Chapter 1效用函数
边际效用和边际替代率
边际效用均等法则 在既定的收入与商品价格下，消费者使得其花在所购买的每一种 商品上的最后一元钱所得到的边际效用相等。
• 数学证明
•Chapter 1效用函数
消费者行为的比较静态学
在经济学中将消费者选择的问题用一个 最优化模型来表示，即在预算约束下最
第3章效用函数
2020年6月6日星期六
本章概要
基数效用和序数效用 边际效用和边际替代率 预算约束下的效用最大化 凹效用函数和凸无差异曲线
•Chapter 1效用函数
效用与边际效用
效用Utility
人们在物品与劳务消费过程中（更一 般地在从事的行为中）所得到的欲望 的满足。
因人而异 因地而异 因时而异 不具伦理学意义：毒品 “多多益善”、 “过多则滥” 与“越多越糟”
•Chapter 1效用函数
•Chapter 1效用函数
基数效用和序数效用
基数效用(cardinal utility) 认为效用可以计量并加总求和，其大小可用基数1、2
、3…来表示。 总效用与边际效用
总效用TU指消费者从事某一行为或消费某一定量的某 物品中所获得的总满足程度。 边际效用MU指消费物品一定数量中最后增加或减少的 那一单位所感受到的满足的变化。
“物以稀为贵”的道理在于“稀”的物品边际效用 高
•Chapter 1效用函数
案例分析
案例说明 汽车需要四个轮子才能开动起来。一辆
汽车有了三个轮子，不能开动，装上第 四个轮子才能开动
•Chapter 1效用函数
案例分析
案例问题 那么是不是第四个轮子的边际效用高于
第三个轮子？这是不是违反了边际效用 递减规律？
效用函数U1=XY与效用函数U2=XY＋10表示相同的偏 好顺序，因为U2是U1的单调变换。
•Chapter 1效用函数
边际效用和Leabharlann 际替代率•边际效用边际效用度量了每增加一单位物品消费所带来 的满意程度的增量。
•Chapter 1效用函数
边际效用和边际替代率
•递减的边际效用
边际效用递减规律表明随着消费物品量的增加 ，消费的增量将会产生越来越少的额外效用。
•Chapter 1效用函数
基数效用和序数效用
基数效用(cardinal utility) 19世纪包括边沁（Benthem）在内的社会科学家都希
望开发出测量效用的设备。 比如把电极接在头部读出幸福程度的器械等 但这一直是一种空想
•Chapter 1效用函数
基数效用和序数效用
效用理论发展
后来，帕累托（Vilfredo Pareto）提出消费理论可 以建立在序数效用基础上。所谓序数效用就是指 效用值的大小或者说效用程度的高低大致上可以 用效用值大小的次序来表明，而效用值的准确的 大小并没有任何意义。因为，他认为，效用次序 对于消费中的偏好选择是有意义的，而效用值的 具体大小程度却意义不大。
案例分析
案例说明 亚当•斯密200多年前提出著名的“价值
悖论”，又称“价值之谜”，即有些东 西效用很大，但价格很低，比如人的生 命必不可少的水，而有些东西效用不大 ，但价值很高，如钻石
•Chapter 1效用函数
案例分析
案例问题 这是为什么呢？请用经济学原理加以解
释
•Chapter 1效用函数
•Chapter 1效用函数
对偶问题
消费者在预算约束下的效用最大化问题，实际 上也可以看作是在效用一定下的支出最小化问 题，这被称为对偶问题
对偶问题的解是相同的 第四章会求解马歇尔需求函数和补偿需求函数 同样的还有成本一定下的产出最大化问题和产
出一定下的成本最小化问题
•Chapter 1效用函数
案例分析
案例提示 边际效用
•Chapter 1效用函数
案例分析
参考答案 解释“价值悖论”的关键是要区分总效用与边际
效用。水给人们带来的总效用是很大的，但人 们对水的消费也是很多的，因此水给人们带来 的边际效用就微不足道了。相对于水而言，钻 石带给人们的总效用就小得多了，但由于人们 购买的钻石极少，所以钻石的边际效用就很大 了。
优化消费者的效用。
max u(x)
•
s.t. pxM, x 0；
•
•Chapter 1效用函数
用拉格朗日微分法
L=u(x)+[M-pixi]
•Chapter 1效用函数
•
一阶条件是:
•Chapter 1效用函数
预算约束下的效用最大化
例：
已知某消费者的收入为I，其效用函数为U=x1ax2b， a和b均为大于零的常数。如果商品价格分别为P1和 P2，求该消费者对这两种商品的需求函数。
•Chapter 1效用函数
预算约束下的效用最大化
•Chapter 1效用函数
凹效用函数和凸无差异曲线
最优化问题的一阶条件通常只是必要条件，而 不是充分条件。
如果效用函数是凹的，那么一阶条件不仅是最 大化的必要条件，而且是充分条件。
必须要求效用函数是凹的。 效用函数的凹性正对应于无差异函数的凸性。
•Chapter 1效用函数
边际效用和边际替代率
同一条无差异曲线上:
•Chapter 1效用函数
边际效用和边际替代率
因为:
•Chapter 1效用函数
边际效用与边际替代率
给出效用最大化的等式：
•Chapter 1效用函数
边际效用与边际替代率
当预算约束的分配使花在每一种商品上 的每一元所带来的边际效用相同时，总
•Chapter 1效用函数
基数效用和序数效用
序数效用(ordinal utility) 认为效用是心理现象，不可以度量，即不能用基数表 示，只能根据偏好的程度排列出顺序，即以序数第一 、第二、第三、…表示效用的高低。
•Chapter 1效用函数
消费者均衡的条件是使最后一单位货币购买各种商 品的边际效用都相等。钻石的边际效用高，所以价 格高昂，水的边际效用低，所以价格低廉，这样购 买水和钻石的每单位货币的边际效用相等。
或者说，人们愿意为边际效用高的钻石支付高价格 ，愿意为边际效用低的水支付低价格是理性行为。
效用最大化。 这被称作相等边际原则。
•Chapter 1效用函数
边际效用和边际替代率
边际效用均等法则 在既定的收入与商品价格下，消费者使得其花在所购买的每一种 商品上的最后一元钱所得到的边际效用相等。
• 数学证明
•Chapter 1效用函数
消费者行为的比较静态学
在经济学中将消费者选择的问题用一个 最优化模型来表示，即在预算约束下最
第3章效用函数
2020年6月6日星期六
本章概要
基数效用和序数效用 边际效用和边际替代率 预算约束下的效用最大化 凹效用函数和凸无差异曲线
•Chapter 1效用函数
效用与边际效用
效用Utility
人们在物品与劳务消费过程中（更一 般地在从事的行为中）所得到的欲望 的满足。
因人而异 因地而异 因时而异 不具伦理学意义：毒品 “多多益善”、 “过多则滥” 与“越多越糟”
•Chapter 1效用函数
•Chapter 1效用函数
基数效用和序数效用
基数效用(cardinal utility) 认为效用可以计量并加总求和，其大小可用基数1、2
、3…来表示。 总效用与边际效用
总效用TU指消费者从事某一行为或消费某一定量的某 物品中所获得的总满足程度。 边际效用MU指消费物品一定数量中最后增加或减少的 那一单位所感受到的满足的变化。
“物以稀为贵”的道理在于“稀”的物品边际效用 高
•Chapter 1效用函数
案例分析
案例说明 汽车需要四个轮子才能开动起来。一辆
汽车有了三个轮子，不能开动，装上第 四个轮子才能开动
•Chapter 1效用函数
案例分析
案例问题 那么是不是第四个轮子的边际效用高于
第三个轮子？这是不是违反了边际效用 递减规律？
效用函数U1=XY与效用函数U2=XY＋10表示相同的偏 好顺序，因为U2是U1的单调变换。
•Chapter 1效用函数
边际效用和Leabharlann 际替代率•边际效用边际效用度量了每增加一单位物品消费所带来 的满意程度的增量。
•Chapter 1效用函数
边际效用和边际替代率
•递减的边际效用
边际效用递减规律表明随着消费物品量的增加 ，消费的增量将会产生越来越少的额外效用。
•Chapter 1效用函数
基数效用和序数效用
基数效用(cardinal utility) 19世纪包括边沁（Benthem）在内的社会科学家都希
望开发出测量效用的设备。 比如把电极接在头部读出幸福程度的器械等 但这一直是一种空想
•Chapter 1效用函数
基数效用和序数效用
效用理论发展
后来，帕累托（Vilfredo Pareto）提出消费理论可 以建立在序数效用基础上。所谓序数效用就是指 效用值的大小或者说效用程度的高低大致上可以 用效用值大小的次序来表明，而效用值的准确的 大小并没有任何意义。因为，他认为，效用次序 对于消费中的偏好选择是有意义的，而效用值的 具体大小程度却意义不大。
案例分析
案例说明 亚当•斯密200多年前提出著名的“价值
悖论”，又称“价值之谜”，即有些东 西效用很大，但价格很低，比如人的生 命必不可少的水，而有些东西效用不大 ，但价值很高，如钻石
•Chapter 1效用函数
案例分析
案例问题 这是为什么呢？请用经济学原理加以解
释
•Chapter 1效用函数
•Chapter 1效用函数
对偶问题
消费者在预算约束下的效用最大化问题，实际 上也可以看作是在效用一定下的支出最小化问 题，这被称为对偶问题
对偶问题的解是相同的 第四章会求解马歇尔需求函数和补偿需求函数 同样的还有成本一定下的产出最大化问题和产
出一定下的成本最小化问题
•Chapter 1效用函数
案例分析
案例提示 边际效用
•Chapter 1效用函数
案例分析
参考答案 解释“价值悖论”的关键是要区分总效用与边际
效用。水给人们带来的总效用是很大的，但人 们对水的消费也是很多的，因此水给人们带来 的边际效用就微不足道了。相对于水而言，钻 石带给人们的总效用就小得多了，但由于人们 购买的钻石极少，所以钻石的边际效用就很大 了。
优化消费者的效用。
max u(x)
•
s.t. pxM, x 0；
•
•Chapter 1效用函数
用拉格朗日微分法
L=u(x)+[M-pixi]
•Chapter 1效用函数
•
一阶条件是:
•Chapter 1效用函数
预算约束下的效用最大化
例：
已知某消费者的收入为I，其效用函数为U=x1ax2b， a和b均为大于零的常数。如果商品价格分别为P1和 P2，求该消费者对这两种商品的需求函数。
•Chapter 1效用函数
预算约束下的效用最大化
•Chapter 1效用函数
凹效用函数和凸无差异曲线
最优化问题的一阶条件通常只是必要条件，而 不是充分条件。
如果效用函数是凹的，那么一阶条件不仅是最 大化的必要条件，而且是充分条件。
必须要求效用函数是凹的。 效用函数的凹性正对应于无差异函数的凸性。
•Chapter 1效用函数
边际效用和边际替代率
同一条无差异曲线上:
•Chapter 1效用函数
边际效用和边际替代率
因为:
•Chapter 1效用函数
边际效用与边际替代率
给出效用最大化的等式：
•Chapter 1效用函数
边际效用与边际替代率
当预算约束的分配使花在每一种商品上 的每一元所带来的边际效用相同时，总