特征函数的一种新解释及其应用 (1)

当 F为离散型随机变量时, 其特征函数为
E U( t ) = E( ejtF) =
pkejtxk
( 2)
k
其中 p k= P { F= xk } .
当 F为连续型随机变量时, 其特征函数为
]
Q U( t ) = E( ejtF) =
f ( x ) ejtxdx
-]
( 3)
文献[ 3] 给出了分布函数与特征函数的一一对
( 下转第 41 页)
) 38 )
低于 20 000 元时, 其消费主要用于家庭日常生活的消费项目上, 而当家庭人均收入超过 10 000 元时, 其它 消费项的价格已不再是决定性影响因子. 用于旅游休闲文化娱乐方面的消费完全取决于个人的选择, 家庭 收入水平越高就越呈明显的上升趋势, 其增长幅度超过另外七个消费项.
2 新解释在求分布函数时的应用
如求下列各随机变量 F的概率分布, 已知其特 征函数分别为
( 1) cost ( 2) cos2t
由文献[ 2] 中的反演公式可解决此问题, 即利用公式
Q F ( x 1) - F ( x 2) =
lim
Tv]
1 2P
T -
T
e-
jtx 1
jt
e-
jtx 2
U(
t)
dt
释: 在振动理论中, 把特征函数 U( t ) 看作一个振动,
ejtxk 相当 于单位 谐波, U( t ) 可解 释成 由简 谐振 动
pkejtxk ( k= 0, ? 1, ? 2, , ,) 叠加产生的运动.
Q 再次 p k=
1 2P
P
U( t ) e-
-P
jtk dt
的物理解释: 在振
动理论中, p k 是由简谐振动21P= U( t ) e- jtkdt 叠加 ( 即积分) 产生的运动.
Abstract:Our country cities inhabitant. s household income level unceasinglyenhances, with it connect ion each kind of expense also along with itsinflat ion, specially in the international fashion expense thought and/ the gold week0 under the policy induction, the traveling leisure cuture expense growth scope enlarges. Essence expends which for the rational knowledge and the scientif icanalysis traveling leisure culture, according to the AIDS model, hascarried on the document statistical analysis to the city peoplehousehold income change and the expense goal change and the expenseproject price coefficient of fluctuation correlational dependence. Key words: AIDS model; traveling leisure culture; price; epense project
但计算过程比较繁杂. 如果利用本文提出的新解释
去求这个问题就非常简单, 现用此法求解.
分析: 只要 将特征 函数 U( t ) 进 行坐 标分 解即可, U( t ) 可以看作是以 ejtk ( k 从- ] 到 ] ) 为基的可列
无穷维空间下的坐标分解, 第 k 维的坐标值为 p k,
由文献[ 2] 中的惟一性定理可知 p k 即为概率分布.
摘 要: 在基于傅立叶变换物理意义的特征函 数直观解释的基础上, 提出了特征函数的一种基于坐 标分解的新
解释. 首先分别给出了离散型和连续型随机变量 的特征函数和概 率( 密 度) 函 数的新 解释. 然后利 用这种 新解释 来求随机变量的分布函数. 最后得出, 这种新解释能加深对特征函数的理解, 而且能使特征函数相关的 求解问题 化繁为简.
2008 年 5 月 第2 期
吉林师范大学学报( 自然科学版) Journal of Jilin Normal University ( Natural Science Edition)
l.2 May 2008
特征函数的一种新解释及其应用
周茂袁, 王秀丽, 李雪艳
( 中国民航大学 理学院, 天津 300300)
关键词: 特征函数; 新解释; 分布函数 中图分类号: O211. 5 文献标识码: A 文章编号: 1000- 1840- ( 2008) 02- 0037- 02
0 引言
特征函数是概率论中一种有力的工具, 文献[ 1]
和[ 2] 讨论了它的一些性质和应用, 但它涉及傅立叶
变换, 内容比较枯燥, 运算比较繁杂. 鉴于此, 笔者在 基于傅立叶变换物理意义的特征函数直观解释的基
院学报, 2006, ( 2) : 85~ 89. [ 3] 郝梅瑞. 居民家庭收入差距研究) ) ) 以上海为例[ J] . 消费经济, 2005, ( 6) : 21~ 26.
Traveling Leisure Culture Expense Statistical Analysis Based on the AIDS Model City People
1 2P
] -]
U( t ) e- jtx dt 也有类似的
物理解释: 在振动 理论中, f ( x ) 是由一切角 频率为
的简谐振动21PU( t ) e- jtx dt 叠加( 即积分) 产生的运
动, 21PU( t ) 为初始向量, e- jtx 为单位谐波. 1. 2 基于坐标分解的新解释
受傅立叶变换物理意义的启发, 得到基于坐标
P ( F= 0) = 0. 5, P( F= 2) = 0125, P ( F= - 2) = 0. 25 即为 F所求的概率分布.
可见, 基于坐标分解的特征函数的新解释能加
深我们对特征函数的理解, 而且能使特征函数相关
的求解问题化繁为简.
参考文献
[ 1] 徐玉华. 关于概率论中特征函数性质的几点讨论[ J] . 荆州师范学院学报, 2003, 2: 36~ 39. [ 2] 乌 兰, 金 珩. 利用特征函数讨论特殊分布的有关性质[ J] . 内蒙古统计, 2004, 5: 43~ 46. [ 3] 梁之舜, 邓集贤, 等. 概率论及数理统计( 上册) [ M] . 第 3 版. 北京: 高等教育出版社, 2005. [ 4] 熊大国. 积分变换[ M ] . 北京: 北京理工大学出版社, 1990: 1~ 20. [ 5] 同济大学应用数学系. 高等数学( 上册) [ M] . 北京: 高等教育出版社, 2002.
分解[ 5] 的特征函数的新解释.
E 离散情况下, 特征函数 U( t ) =
p
kej
tx
k
的
新
解
k
释: U( t ) 可以看作是以 ej txk ( k 从- ] 到 ] ) 为基的
可列无穷维空间下的坐标分解, 第 k 维的坐标值为
pk .
Q pk =
1 2P
P
U( t ) e - jtkdt
-P
Q 特征函数 U( t) =
f ( x ) ejtx dx 的物理解释:
-]
在振动理论中, 把特征函数 U( t ) 看作一个振动, ejtx
相当于单位谐波, 特征函数 U( t ) 即可理解为由简谐 振动 f ( x ) ej tx dx 叠加( 即积分) 产生的运动.
Q 同理, f ( x ) =
解: ( 1) 由 Euler 定理
cost =
eit + e 2
it
=
1 2
eit
@
1+
1 2
e
it
@
(
-
1)
= P( x = 1) e it @ 1+ P( x = - 1) eit @ (- 1)
由惟 一 性 定 理 可 知, 它 的 概 率 分 布 惟 一,
P ( F= 1) = 0. 5, P( F= - 1) = 0. 5, 即 F所求的概率 分布.
连续情况下, 特征函数也有相应的物理解释.
收稿日期: 2008-03-24 基金项目: 中国民航大学科研基金项目 06kys05z、05yk31s、04cauc18s 资助 第一作者简介: 周茂袁( 1980-) , 男, 山东青岛人, 助教, 硕士, 研究方向: 概率论与数理统计.
) 37 )
]
ZHANG Shun1, SUI Yi-wen2
( 1. Coll ege of Tourism Management and Geography, Jilin Normal University, Siping 136000, China; 2. Siping Statistics Bureau data Processing Center, Siping 136000, China)
应关系:
定理 1 若随机变量 F的特征函数 U( t ) 于 R
上绝对可积, 则 F为具有密度函数f ( x ) 的连续型随
机变量, 且
Q f
(x) =
1 2P
] -]
e - jtx U( t ) dt
( 4)
定理 2 若 F为取整数值的随机变量, 其概率 函数为
p k= P{ F= k } , k = , ,- 3,
的新解释: pk
可以看作
是以 e- jtkdt ( t 从- P到 P) 为基的实数势无穷维空
间下的坐标分解, 21PU( t ) 是在基 e- jtx dt 下 的坐标 值.
Q]
同理, 连续情况下, 特征函数 U( t ) =
f ( x)
-]
ejtxdx 的新解释: U( t ) 可以看作是以 ejtx ( x 从 - ]
参考文献
[ 1] 臧旭恒, 孙文祥. 城市居民消费结构: 基于 ELES 模型和 AIDS 模型的比较分析[ J] . 山东大学学报, 2003, ( 6) : 122~ 126. [ 2] 梁俊伟, 范 金. 福建农村居民消费行为的地区差异和结构分析 ) ) ) 基于 AIDS 模型的实证研究 [ J] . 福建行政 学院福建经济 管理干部学
U( t ) = E ( ejtF) = E( costF) + jE( sintF)
Q Q ]
]
=
costx dF( x ) + j sintx dF ( x )
-]
-]
]
Q =
ejtx dF( x )
-]
( 1)
因此, F的特征函数也可称之为对分布函数 F ( x ) 的
傅立叶 ) 斯蒂尔切斯变换.
( 2) cos2 t =
1+
cos2 t 2
=
1 2
e it @
0+
1 4
eit @ 2+
1 4
eit @
(-
2)
= P ( x = 0) eit @ 0+ P ( x = 2) eit @ 2
+ P ( x = - 2) eit @ ( - 2)
由惟 一 性 定 理 可 知, 它 的 概 率 分 布 惟 一,
础上, 提出了特征函数的一种基于坐标分解的新解
释.
定义 1 设 F是定义在概率空间( 8, F, P ) 上 的随机变量, 它的分布函数为 F ( x ) , 称 ejtF的数学期 望 E ( ejtF) 为 F的特征 函数[ 3] , 其中 j = - 1, t I
R , 并记为 U( t ) . 显然,
到] ) 为基的实数势无穷维空间下的坐标分解, f ( x ) 是在基 ejtxdx 下的坐标值.
Q f ( x ) =
1 2P
] -
]
U( t ) e- jtx dt 的新解释: f ( x ) 可
以看作是以 e- jtxdt ( t 从- ] 到 ] ) 为基的实数势无
穷维空间下的坐标分解, 21PU( t ) 是在基 e- jtx dt 下 ຫໍສະໝຸດ Baidu坐标值.
- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ,,
其特征函数为 U( t ) , 则
Q p k=
1 2P
P
e-
-P
jtkU( t ) dt
( 5)
1 特征函数的新解释
1. 1 基于傅立叶变换物理意义的直观解释
显然特征函数是一种特殊的傅立叶变换, 那么
它也就有傅立叶变换所具有的物理意义[ 4] .
E 离散情 况下, 首先 U( t ) = p kejtxk 的 物理 解 k