数学归纳法(1)

数学归纳法（1）

考情分析

1、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

2、初步能用数学归纳法证明整除和不等式问题。

1. 若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1

(n ∈N )，则n ＝1时，f(n)＝________. 2. (选修22P 88练习题3改编)用数学归纳法证明不等式“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取为________．

3. 设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1

(n ∈N *)，则f(k ＋1)－f(k)＝________.

1. 由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．

2. 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n 取第1个值n 0时，命题成立；然后假设当n ＝k(k ∈N ，k ≥n 0)时命题成立；证明当n ＝k ＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．

3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：

(1) 归纳奠基：证明凡取第一个自然数n 0时命题成立；

(2) 归纳递推：假设n ＝k(k ∈N ，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立；

(3) 由(1)(2)得出结论．

例1 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n ＋7)·3n ＋9(n ∈N *)能被36整除．

证明：(1) 当n ＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．

(2) 假设n ＝k 时，f(k)能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)，由归纳假设3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36整除，而3k －1－1是偶数，所以18(3k －1－1)能被36整除．所以n ＝k ＋1时，f(n)能被36整除．

由(1)(2) 知，对任何n ∈N ，f(n)能被36整除．

变式练习

若5n ＋2×3n －1＋1(n ∈N *)能被正整数m 整除，请写出m 的最大值，并给予证明．

解：当n ＝1时，51＋2×30＋1＝8，∴m ≤8.

下证5n ＋2×3n －1＋1(n ∈N *)能被8整除．

①当n ＝1时已证；

②假设当n ＝k(k ∈N *)时命题成立，即5k ＋2×3k －1＋1能被8整除．

则当n ＝k ＋1时，5k ＋1＋2×3k ＋1＝5·5k ＋6·3k －1＋1

＝(5k ＋2×3k －1＋1)＋4(5k ＋3k －1)．

∵5k ＋2×3k －1＋1能被8整除，而5k ＋3k －1为偶数，

∴4(5k ＋3k －1)也能被8整除，即当n ＝k ＋1时命题也成立．

由①②，得m 的最大值为8.

例2 用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n)＝n (3n ＋1)2

(n ∈N *)． 证明：(1) 当n ＝1时，左边＝2，右边＝1×(3＋1)2

＝2＝左边，等式成立． (2) 假设n ＝k 时等式成立，即(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k)＝k (3k ＋1)2

.则当n ＝k ＋1时，左边(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋(k ＋k)＋(k ＋k ＋1)＋(k ＋k ＋2)＝[(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k)]

＋3k ＋2＝k (3k ＋1)2＋3k ＋2＝3k 2＋7k ＋42＝(k ＋1)(3k ＋4)2＝(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]2

，∴n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)和(2)知对任意n ∈N *，等式成立．

变式练习

证明：对任意的正整数n 都有()()61213212222++=

++++n n n n K 成立。 例3 (选修22P 91习题6改编)设n ∈N *，f(n)＝1＋

12＋13＋ (1)

，试比较f(n)与n ＋1的大小．

解：当n ＝1,2时f(n)n ＋1. 下面用数学归纳法证明：

(1) 当n ＝3时，显然成立；

(2) 假设当n ＝k(k ≥3，k ∈N )时，即f(k)>

k ＋1，那么，当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)>k ＋1＋1k ＋1＝k ＋2k ＋1>k ＋2k ＋2＝k ＋2，即n ＝k ＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)知，对任何n ≥3，n ∈N 不等式成立．

变式练习

用数学归纳法证明：1＋12＋13＋ (1)

＜2n(n ∈N *)． 证明：(1) 当n ＝1时，左边＝1，右边＝2,1＜2，所以不等式成立．

(2) 假设n ＝k 时不等式成立，即1＋

12＋13＋…＋1k ＜2k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…1k ＋1k ＋1

＜2k ＋1k ＋1＝2k (k ＋1)＋1k ＋1＜k ＋k ＋1＋1k ＋1＝2k ＋1，即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．

由(1)、(2)可知，对于任意n ∈N *时，不等式成立．