固体物理学第二章

色散关系：
周期性边界条件决定了晶体中电子的波矢不是连续的，而是分立的 均匀分布于倒空间。 每一个k值描述一个电子状态，相应于一个电子能量或能级。 在一个布里渊区内包含的波矢数与晶体原胞数N相等，即每个能带 中包含N个能级，N较大，能级排列十分紧密，构成能带。
E (k ) E (k ) E (k ) E (k n2 / a)
k : 简约波矢；n：能带标记
在每一个布里渊区中给出所有能带。 周期布里渊区图象：
由于认为 k 与 k G 等价，因此可以认为 En k 是以倒格 矢 G 为周期的周期函数，即对于同一能带n，有

En k En k G
-c -b a V0 c
b ( x c) eikc b ( x)
2 1
x
(b x 0)
根据x=0与x=a处 及d /dx的连续性可得如下4个方程： A B C D iK ( A B) F (C D) AeiKa BeiKa eik ( a b ) (Ce Fb De Fb ) iK ( AeiKa Be iKa ) Feik ( a b ) (Ce Fb De Fb )
iKx
K 满足
2 K 2 E V0 0 2m 2 F 2 E0 0 2m
在垒区-b<x<0内波函数可写为：
b Ce
1
iFx
De
iFx
F 满足
系数A、B、C、D可根据波函数及其一阶导数在阱-垒交界处的连续性得出 另一垒区a<x<c内波函数可写为：
V(x)
布里渊区的选取方法：
布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。 布里渊区的几何作图法： 根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一 个倒格点为原点； 由近到远作各倒格矢的垂直平分面； 在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积，
即为简约区或第一布里渊区。
二维斜方格子的布里渊区
P sin Ka cos Ka cos ka Ka
令
P f (K ) sin Ka cos Ka Ka
1 f ( K ) 1
结论： 周期性势场中的电子可能具有的能量是分段存在的。每两个 可取的许可能量段之间为一不允许的能量范围所隔开。这些 能量范围均称为能带，其中允许的能量范围称为许可带，不 允许的能量范围称为禁带。
＝1, 2, 3
波矢量 k 和 k k G n 所描述的电子在晶体中的运 动状态相同。
通常将k取在由各个倒格矢的垂直平分面所围成的包含
原点在内的最小封闭体积，即简约区或第一布里渊区中。
定性理解：
一个波矢代表电子的一个状态，波矢的取值是准连续的。 当波矢相差一个倒格矢时，电子的运动状态相同，因此将波矢的取值 限制在第一布里渊区内。
原子能级与能带的对应
对于原子的内层电子，其电子 轨道很小，因而形成的能 带较窄。这时，原子能级与能带之间有简单的一一对应关
系。 对于外层电子，由于其电子轨道较大，形成的能带就较宽。
这时，原子能级与能带之间比较复杂，不一定有简单的一一 对应关系。一个能带不一定与孤立原子的某个能级相对应， 可能会出现能带的重叠。
需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性 势场中推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有
能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有能带
结构。 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时， 原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集 在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移 对称性并不是形成能带的必要条件。
3 2 Ⅱ 1 3 Ⅱ 2
可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第 一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积b 。
2.3 克龙尼克－潘尼问题
一、 克龙尼克－潘尼势
为了讨论本征值－电子能量所具有的特点，晶体的周期性势场采用一串 等深等宽势阱组成的周期性势场，称为克龙尼克－潘尼势。
V (x)
0, V0 ,
nc a x (n 1)c nc x nc a
c a b 为势场的周期。
V(x) -c -b a V0 c
x
考虑薛定谔方程
在能量范围0>E>-V0的解
在阱区0<x<a内方程的解即波函数可写为向左右两边传播的平面波的叠加
w Ae
iKx
Be
2.5 一维布拉菲格子的晶格振动
原子之间存在相互作用力，对一对原子可以用相互势能 u (r ) 表示，它是原子间距离r的函数。
原子间的作用力为：
f du / dr
当原子偏离平衡位置时，由于原子间的相互作用使得原子围 绕其平衡位置作振动运动。并且同时带动其他原子的振动， 从而使振动在全部晶体中传播，激发波动，这种晶体中原子 的振动称作晶格振动。相应的机械波称为格波。
0
1区
a
2 a
2区 3区
3 a
2 k l, Na
2 l为整数 令晶体的长度为L，则 k l L
L
即周期性边界条件限制了波矢的取值只能是 2 的整数倍，
也就是说波矢k的选择是准连续的。
第一布里渊区有多少个波矢的代表点？密度是多少？
三维情形：
k ' k Gn
如果两个波矢量k和k’相差一个倒格矢Gn，这两个波矢
i k r
的形式。周期函数 u k r 反映了电子与晶格相互作用的

uk r

Hale Waihona Puke Baidu
强弱。
Bloch函数中，行进波因子 e 描述晶体中电子 的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期 函数因子 u k r 则描述电子的原子内运动，取决于原 子内电子的势场。
1 V V ( x ) V (a ) 1! x
1 2V ( x a) 2! x 2 x a
( x a )2
x a 2
V(x) a x
V (a ) V0
V x
2
0
x a
V0
1 V 2! x 2
( x a )2
x a
0
给出电子波函 数的形式
利用周期性条件确定 平移算符的本征值
一、晶体波函数是哈密顿算符与平移算符共同的本征函数
u k (r ) 具有晶格周期性，即对任意格矢 uk (r Rn ) uk (r )
定性的解释：
1、晶体中电子得波函数具有周期性调幅平面波的形式，在相邻原胞中 的对应点，即x与x＋a处，波函数只相差一位相因子eika，但波函数 的模相同。即在晶体的周期性结构中电子的几率密度具有相同的周 期性。 2、由于晶体中原子间的相互作用，晶体中的电子不再束缚于某个固定 原子的周围而能在全部晶体中活动，即电子属于整个晶体。电子在 原子之间运动时，势场起伏不大，其波函数类似于平面波eikx，当 电子运动到原子实附近时，将受到该原子的较强的作用，使其行为 接近于原子中的电子，因此又具有原子波函数的成分。
l
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振 动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场 的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。 简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的 研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。 例如双 原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所 示。在 x = a 处，V 有一极小值V0 。在 x = a 附近势可以 展开成泰勒级数：
在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立 原子之间，是两者的组合。
如果晶体中电子的运动完全自由， uk r A const .

若电子完全被束缚在某个原子周围， e
i k r
C const.
由于晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被 束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有 e
要使波函数有异于零的非平凡解，需
1 iK eiKa iKeiKa 1 iK eiKa iKe iKa 1 F eik ( a b ) e Fb eik ( a b ) e Fb F 1 F eik ( a b ) e Fb eik ( a b ) e Fb F 0
2.1 布洛赫定理
了解晶体中电子的运动，需求解定态薛定谔方程：
V (r Rn ) V (r )
本节的任务就是分析电子波函数 (r ) 所具备的性质，即布洛赫定理。
方法：
采用单电子近似，在一维情形中进行
步骤：
引入平移算符 说明平移算符 的性质 证明平移算符与哈密顿算符对 易，二者具有相同的本征函数
E (k ) E (k kh )
En(k)函数的三种图象:
扩展布里渊区图象： 不同的能带在k空间中不同的布
里渊区中给出。每一个布里渊区
有中一个能带，第n个能带在第n 个布里渊区中。
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
简约布里渊区图象： 所有能带都在简约区中给出。
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
电子能量： En k

所对应的平移算符本征值相同。
i k a 对于 k ： e
对于 k k G n
' e i k a
：
e
i k a
e
i G n a
e
i k a
i k r

如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子 的能量取分立的能级；
若电子只有共有化运动（自由电子情况），电子的 能量连续取值（严格讲电子能量应是准连续的）。 晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动，因 此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带
相间组成的能带结构。
第二章 晶体中的电子和声子
固体中的电子不再是完全被束缚在某个原子周围，
而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。电子
在运动中受到晶格中原子势场的作用。
固体中的原子或离子在晶格中围绕着格点作为平衡 位置作幅度很小的振动，称为晶格振动。这种晶格中 原子的运动形式用“声子”来描述。
固体的宏观性质都与价电子和声子的状态以及它们之间的相互作用有关。



n=3 n=2 n=1
2.4 许可带与禁带
由于周期场的微扰，E(k)函 数在布里渊区边界k=n/a 处出现不连续，能量的突
E＋ Tn E－ Ek(0) Tn Ek’(0)
变为：
Eg E E 2 U n
称为能隙，即禁带宽度，这 是周期场作用的结果。
Bloch函数中，行进波因子 e 描述晶体中电子 的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期 函数因子 u k r 则描述电子的原子内运动，取决于原 子内电子的势场。
3p 3s 2p 2s 1s
3s 2p 2s 1s
未填满
填 满 结晶格能带
原子能级
原子的能级和晶格中的能带之比较
能带是现代物理学描写固体中原子外层电子运动的一种图象。 按照原子理论，原子中的电子只有占据某些能级，然而在固体晶格 中能级改变了，我们发现电子能在某些整个能带内运动，每一能带 是与一个原子的能级相关联的。泡利不相容原理限制能占有某个 nl 原子能级的电子数，同样这原理也限制一个结晶格的能带内所能容 纳的电子数。
上式可化为：
F2 K2 sinh Fb sin Ka cosh Fb cos Ka cos k (a b) 2 FK
二、色散关系与能带
F2 K2 sinh Fb sin Ka cosh Fb cos Ka cos k (a b) 2 FK
其中K、F均与能量E有关 电子能量E与波矢 k 之间的关系称为色散关系。 考虑接近势阱底部的电子能量，即E≈-V0,且势垒变成δ 型， 并引入无量纲数P＝F2ab/2,则
i k r

2.2 布里渊区
一维情形：
e
2i
l N
e ika
h 波矢 k ' k 2 平移算符具有相同的本征值，因此可将波矢值的选取 a 限制在 ( ～ ) 范围内，倒空间的这一区域称为第一布里渊区。
2 3 a a a
3区 2区
a
a