初三年级上册数学专题09圆周角定理的综合运用(典题精析)
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已知：阿基米德折弦定理：如图 5①，AB 和 BC 是⊙O 的两条弦(即折 ︵
线 ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB，M 是ABC的中点，则从 M 向 BC 所作垂线的 垂足 D 是折弦 ABC 的中点，即 CD＝AB＋BD. 下面是运用“截长法”证明 CD＝AB＋BD 的部分证明过程．
①
②
③
图5 证明：如图②，在 CB 上截取 CG＝AB，连接 MA，MB，MC 和 MG.
︵ ∵M 是ABC的中点， ∴MA＝MC. …
任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； ︵
(2)填空：如图③，已知等边三角形 ABC 内接于⊙O，AB＝2，D 为AC上一点，
∠ABD＝45°，AE⊥BD 于点 E，则△BDC 的周长是__2＋2 2__．
解：(1)证明：如图②，在 CB 上截取 CG＝AB，连接 MA，MB，MC 和 MG. ︵
图1
变形 1 答图
︵ 【解析】 如答图，连接 OB，∵∠AOC＝140°，点 B 是的AC中点，∴∠AOB＝
1∠AOC＝70°.∵∠AOB
︵ 是AB所对的圆心角，∠D
︵ 是AB所对的圆周角，∴∠D＝
2
1∠AOB＝35°.故选 D. 2
[2018·镇江]如图 2，AB 为△ACD 的外接⊙O 的直径，若∠BAD＝50°，
∴OD2＋AD2＝OA2，
∴(r－1)2＋( 7)2＝r2，解得 r＝4，∴OD＝3，
∵AE 是⊙O 的直径，∴AB⊥BE， ∴OD∥BE，∴BE＝2OD＝6.故选 B.
[2018·凉山州]如图 8，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 CD ＝8，∠D＝60°，则⊙O 的半径为__8 3__．
3
图8
变形 2 答图
【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，
∴DE＝4，∵∠ADC＝60°，
∴AD＝8，AE＝4 3，
如答图，连接 OD，∵∠A＝30°， ∴∠DOE＝60°，∴2OE＝OD，
∴AE＝OA＋OE＝OD＋OE＝3OE＝4 3，
∴OE＝4 3，∴OD＝8 3，
微专题九__圆周角定理的综合运用__[学生用书 B40]
一 巧作辅助线 (教材 P87 思考) 圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
教材母题答图
解：如答图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形．连接 OB，OD.
︵
︵
∵∠A 所对的弧为BCD，∠C 所对的弧为BAD，
︵︵ 又∵BCD和BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝360°＝180°.同理∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵M 是ABC的中点，∴MA＝MC.
BA＝GC， 在△MBA 和△MGC 中， ∠A＝∠C，
MA＝MC， ∴△MBA≌△MGC(SAS)，∴MB＝MG， 又∵MD⊥BC，∴BD＝GD， ∴DC＝GC＋GD＝AB＋BD；
(2)在 Rt△ABE 中，AB＝2，∠ABE＝45°，则 BE＝ 2，
∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC，
图3 证明：(1)如答图，连接 BD， ∵BA＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°，∴AB 是⊙O 的直径； (2)∵BA＝BC，∴∠A＝∠C， 由圆周角定理得∠A＝∠E，
变形 3 答图
∴∠C＝∠E，∴DC＝DE. 如图 4，AB 是⊙O 的直径，C，P 是⊙O 上两点，AB＝13，AC＝5. ︵
︵︵
︵
∴AB＝AC，即点 A 为BDC的中点，
∵AE⊥BD，根据阿基米德折弦定理，
BD＋DC＝2BE＝2 2，
∴△BDC 的周长为 2＋2 2. 二 圆周角定理与垂径定理的综合应用
(教材 P89 习题 24.1 第 5 题) 如图 6，在⊙O 中，OA⊥BC，∠AOB＝50°.求∠ADC 的度数．
图6 ︵︵ 解：∵OA⊥BC，∴AC＝AB， ∴∠ADC＝1∠AOB＝25°. 2 【思想方法】 垂径定理与圆周角定理的综合运用题一般是通过圆周角定理进行 角度、弧度转换，再利用垂径定理求解．
(1)如图①，若 P 是AB的中点，求 PA 的长； ︵
(2)如图②，若 P 是BC的中点，求 PA 的长．
①
②
Βιβλιοθήκη Baidu
图4 解：(1)如答图①，连接 PB.
︵ ∵AB 是⊙O 的直径，P 是AB中点，
∴∠APB＝90°，PA＝PB，
又∵AB＝13，∴PA＝ 2AB＝13 2；
2
2
①
②
变形 4 答图
(2)如答图②，连接 BC，OP，相交于点 D，连接 PB. ︵
∵P 是BC的中点，∴OP⊥BC，BD＝CD，
又∵OA＝OB，∴OD 是△ABC 的中位线，
∴OD＝1AC＝5，∵OP＝1AB＝13，
22
22
∴PD＝OP－OD＝13－5＝4， 22
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°， 又∵AB＝13，AC＝5，∴BC＝12，∴BD＝1BC＝6，
2 ∴PB＝ PD2＋BD2＝2 13， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB＝90°， ∴PA＝ AB2－PB2＝3 13.
[2018·遂宁]如图 7，在⊙O 中，AE 是直径，半径 OC 垂直于弦 AB 于
点 D，连接 BE，若 AB＝2 7，CD＝1，则 BE 的长是( B )
图7
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 设⊙O 的半径为 r，则 OA＝OE＝OC＝r， ∵OC⊥AB，∴AD＝1AB＝ 7，
2 ∵CD＝1，∴OD＝r－1，
则∠ACD＝__40__°.
图2
变形 2 答图
【解析】 如答图，连接 BC.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠BCD＝∠BAD＝50°，
∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝90°－50°＝40°.
如图 3，点 D 是等腰三角形 ABC 底边的中点，过点 A，B，D 作⊙O.
(1)求证：AB 是⊙O 的直径； (2)延长 CB 交⊙O 于点 E，连接 DE，求证：DC＝DE.
2 ∴圆内接四边形的四个角之间的关系是对角互补．
【思想方法】 通过添加辅助线来构造圆心角或圆周角是实现圆内角度转换的有
效手段，尤其要注意构造直径所对的圆周角．
[2018·青岛]如图 1，点 A，B，C，D 在⊙O 上，∠AOC＝140°，点 B
︵ 是AC的中点，则∠D 的度数是( D )
A．70°
B．55° C．35.5° D．35°
线 ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB，M 是ABC的中点，则从 M 向 BC 所作垂线的 垂足 D 是折弦 ABC 的中点，即 CD＝AB＋BD. 下面是运用“截长法”证明 CD＝AB＋BD 的部分证明过程．
①
②
③
图5 证明：如图②，在 CB 上截取 CG＝AB，连接 MA，MB，MC 和 MG.
︵ ∵M 是ABC的中点， ∴MA＝MC. …
任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； ︵
(2)填空：如图③，已知等边三角形 ABC 内接于⊙O，AB＝2，D 为AC上一点，
∠ABD＝45°，AE⊥BD 于点 E，则△BDC 的周长是__2＋2 2__．
解：(1)证明：如图②，在 CB 上截取 CG＝AB，连接 MA，MB，MC 和 MG. ︵
图1
变形 1 答图
︵ 【解析】 如答图，连接 OB，∵∠AOC＝140°，点 B 是的AC中点，∴∠AOB＝
1∠AOC＝70°.∵∠AOB
︵ 是AB所对的圆心角，∠D
︵ 是AB所对的圆周角，∴∠D＝
2
1∠AOB＝35°.故选 D. 2
[2018·镇江]如图 2，AB 为△ACD 的外接⊙O 的直径，若∠BAD＝50°，
∴OD2＋AD2＝OA2，
∴(r－1)2＋( 7)2＝r2，解得 r＝4，∴OD＝3，
∵AE 是⊙O 的直径，∴AB⊥BE， ∴OD∥BE，∴BE＝2OD＝6.故选 B.
[2018·凉山州]如图 8，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 CD ＝8，∠D＝60°，则⊙O 的半径为__8 3__．
3
图8
变形 2 答图
【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，
∴DE＝4，∵∠ADC＝60°，
∴AD＝8，AE＝4 3，
如答图，连接 OD，∵∠A＝30°， ∴∠DOE＝60°，∴2OE＝OD，
∴AE＝OA＋OE＝OD＋OE＝3OE＝4 3，
∴OE＝4 3，∴OD＝8 3，
微专题九__圆周角定理的综合运用__[学生用书 B40]
一 巧作辅助线 (教材 P87 思考) 圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
教材母题答图
解：如答图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形．连接 OB，OD.
︵
︵
∵∠A 所对的弧为BCD，∠C 所对的弧为BAD，
︵︵ 又∵BCD和BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝360°＝180°.同理∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵M 是ABC的中点，∴MA＝MC.
BA＝GC， 在△MBA 和△MGC 中， ∠A＝∠C，
MA＝MC， ∴△MBA≌△MGC(SAS)，∴MB＝MG， 又∵MD⊥BC，∴BD＝GD， ∴DC＝GC＋GD＝AB＋BD；
(2)在 Rt△ABE 中，AB＝2，∠ABE＝45°，则 BE＝ 2，
∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC，
图3 证明：(1)如答图，连接 BD， ∵BA＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°，∴AB 是⊙O 的直径； (2)∵BA＝BC，∴∠A＝∠C， 由圆周角定理得∠A＝∠E，
变形 3 答图
∴∠C＝∠E，∴DC＝DE. 如图 4，AB 是⊙O 的直径，C，P 是⊙O 上两点，AB＝13，AC＝5. ︵
︵︵
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∴AB＝AC，即点 A 为BDC的中点，
∵AE⊥BD，根据阿基米德折弦定理，
BD＋DC＝2BE＝2 2，
∴△BDC 的周长为 2＋2 2. 二 圆周角定理与垂径定理的综合应用
(教材 P89 习题 24.1 第 5 题) 如图 6，在⊙O 中，OA⊥BC，∠AOB＝50°.求∠ADC 的度数．
图6 ︵︵ 解：∵OA⊥BC，∴AC＝AB， ∴∠ADC＝1∠AOB＝25°. 2 【思想方法】 垂径定理与圆周角定理的综合运用题一般是通过圆周角定理进行 角度、弧度转换，再利用垂径定理求解．
(1)如图①，若 P 是AB的中点，求 PA 的长； ︵
(2)如图②，若 P 是BC的中点，求 PA 的长．
①
②
Βιβλιοθήκη Baidu
图4 解：(1)如答图①，连接 PB.
︵ ∵AB 是⊙O 的直径，P 是AB中点，
∴∠APB＝90°，PA＝PB，
又∵AB＝13，∴PA＝ 2AB＝13 2；
2
2
①
②
变形 4 答图
(2)如答图②，连接 BC，OP，相交于点 D，连接 PB. ︵
∵P 是BC的中点，∴OP⊥BC，BD＝CD，
又∵OA＝OB，∴OD 是△ABC 的中位线，
∴OD＝1AC＝5，∵OP＝1AB＝13，
22
22
∴PD＝OP－OD＝13－5＝4， 22
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°， 又∵AB＝13，AC＝5，∴BC＝12，∴BD＝1BC＝6，
2 ∴PB＝ PD2＋BD2＝2 13， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB＝90°， ∴PA＝ AB2－PB2＝3 13.
[2018·遂宁]如图 7，在⊙O 中，AE 是直径，半径 OC 垂直于弦 AB 于
点 D，连接 BE，若 AB＝2 7，CD＝1，则 BE 的长是( B )
图7
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 设⊙O 的半径为 r，则 OA＝OE＝OC＝r， ∵OC⊥AB，∴AD＝1AB＝ 7，
2 ∵CD＝1，∴OD＝r－1，
则∠ACD＝__40__°.
图2
变形 2 答图
【解析】 如答图，连接 BC.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠BCD＝∠BAD＝50°，
∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝90°－50°＝40°.
如图 3，点 D 是等腰三角形 ABC 底边的中点，过点 A，B，D 作⊙O.
(1)求证：AB 是⊙O 的直径； (2)延长 CB 交⊙O 于点 E，连接 DE，求证：DC＝DE.
2 ∴圆内接四边形的四个角之间的关系是对角互补．
【思想方法】 通过添加辅助线来构造圆心角或圆周角是实现圆内角度转换的有
效手段，尤其要注意构造直径所对的圆周角．
[2018·青岛]如图 1，点 A，B，C，D 在⊙O 上，∠AOC＝140°，点 B
︵ 是AC的中点，则∠D 的度数是( D )
A．70°
B．55° C．35.5° D．35°