探求函数零点取点方法
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教学设计
•函数零点赋值问题
教学分析
教学分析
TEACHING ANALYSIS
教学设计
INSTRUCTIONAL DESIGN
教学过程
TEACHING PROCESS
教学反思
TEACHING REFLECTION
2
教学分析
函数零点存在判别定理是什么？ 零点赋值常见手法有哪些？ 你记得哪些常用放缩技巧？ 简述求函数零点的步骤
分析端点处函数趋势放缩后注意保持一致
12
例题选讲
例题 作业 预习
例题选讲
例题【2017 全国】已知函数 f x ae2x a 2ex x
（1）讨论函数 f（x）的单调性
（2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围．
例题选讲
作业. （2018 全国）已知函数 f (x) ex ax2 ．
直观 尝试
根据经验、数感进行特值尝试。
放缩法
将不可解的不等式放缩成一个可解的不等式。
拆项 并项
将一个复杂的不等式拆成几个简单不等式，或将几个简单不等式并成 一个不等式，解不等式组（部分不等式可能会用到放缩法）
5
教学设计
01
➢ 对数放缩
02
➢ 指数放缩
03
➢ 指对放缩
04
➢ 切线放缩
05
➢ 三角放缩
04
➢ 指对放缩
ex ln x x 1 x 1 2
9
教学设计
01
➢ 切线放缩
以直线 y x 1为切线的函数
y ln x y ex1 1， y x2 x y 1 1 ，
x
y x ln x .
10
教学设计
05
➢ 三角放缩
sin x x tan x x 0
sin x x 1 x2 2
利用两个不同函数的凸凹性，缩放到同一公切线两侧。
利用三角函数周期性和有界性进行放缩，达成超越方程与普通方程互化目的。 。
6
教学设计
02
➢ 对数放缩
（放缩成一次函数） ln x x 1， ln x x ， ln1 x x
（放缩成二次函数） ln x 1 x2 x 0 ，
2
（放缩成反比例函数） ln x 1 ， x
把对数函数放缩成一次函数、双撇函数、二次函数、高次函数、反比例函数、幂函数等普通函数，达 成超越方程与普通方程互化目的。 把指数数函数放缩成一次函数、双撇函数、二次函数、高次函数、反比例函数、幂函数等普通函数， 达成超越方程与普通方程互化目的。
指数和对数互化，转换为类型2、3，再转化为普通方程不等式求解。
（放缩成根式）
ln x 1 x
7
教学设计
03
➢ 指数放缩
（放缩成一次函数） ex x 1 ， ex x ， ex ex ，
（放缩成反比例函数） （放缩成二次函数）
ex 1 x 0 ，
x
ex 1 x 1 x2 x 0 ， ex 1 x 1 x2 1 x3 ，
2
26
8
教学设计
（1）略
（2）若 f (x) 在 (0, ) 只有一个零点，求 a ．
例题选讲
作业 .【2015 全国】设函数 f x e2x a ln x
（1）讨论 f x 的导函数 f x 零点的个数
（2）略
例题选讲
【2013 江苏】设函数 f (x) ln x ax ， g(x) ex ax ，其中 a 为实数.
3
教学设计
➢ 教学内容
01
➢ 零点存在判定定理
零点存在性定理：如果函数 y f x 在区间 a, b 上的图像是连续不断的一条曲 线，并且有 f a f b 0 ，那么函数 y f x 在区间 a,b 内必有零点，即
x0 a,b ，使得 f x0 0
4
教学设计
常见 赋值 手法
1 1 x2 cos x 1 1 sin2 x
2
2
.
11
教学设计
解题 基本步骤
直观尝试
定义域内尝试特殊数值
求解零点、美化结果
将函数放缩为可解零点后结出结果，对比区间，适 当美化。
比较函数增长速度
优先尝试增增长速度慢的函数选择合适的模型放缩
分析端点处函数趋势
（1）略
（2）若 g(x) 在 (1, ) 上是单调增函数，试求 f (x) 的零点个数，并证明你的结论.
例题选讲
【2018 浙江】已知函数 f(x)= x −lnx．
（1）若 f(x)在 x=x1，x2 (x1≠x2) 处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2； （2）若 a≤3−4ln2，证明：对于任意 k>0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点．
教学反思
1
命题灵感的猜测
教学反思
2
学生学习中存在的问题
3
待定
谢谢指导
江苏省兴化中学高三数学备课组
教学反思
教学 总结
赋值 方法
三个 确保
三个 优先
先直观尝试，然后放缩证明。特点见效快、但是解证风险大 放缩求解法，先适度放缩，然后通过不等式或方程求出赋值点，特 点稳妥、可靠。但有时目标放缩有点难、找准快慢、保持趋势。
1、确保找的自然 2、确保赋值点在规定范围内 3、确保证起来简单，看起来漂亮
1、优先常数赋值 2、优先借助于已有极值求赋值点 3、优先简单运算、指找对、对找指、对数用1、指数用0
•函数零点赋值问题
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函数零点存在判别定理是什么？ 零点赋值常见手法有哪些？ 你记得哪些常用放缩技巧？ 简述求函数零点的步骤
分析端点处函数趋势放缩后注意保持一致
12
例题选讲
例题 作业 预习
例题选讲
例题【2017 全国】已知函数 f x ae2x a 2ex x
（1）讨论函数 f（x）的单调性
（2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围．
例题选讲
作业. （2018 全国）已知函数 f (x) ex ax2 ．
直观 尝试
根据经验、数感进行特值尝试。
放缩法
将不可解的不等式放缩成一个可解的不等式。
拆项 并项
将一个复杂的不等式拆成几个简单不等式，或将几个简单不等式并成 一个不等式，解不等式组（部分不等式可能会用到放缩法）
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教学设计
01
➢ 对数放缩
02
➢ 指数放缩
03
➢ 指对放缩
04
➢ 切线放缩
05
➢ 三角放缩
04
➢ 指对放缩
ex ln x x 1 x 1 2
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教学设计
01
➢ 切线放缩
以直线 y x 1为切线的函数
y ln x y ex1 1， y x2 x y 1 1 ，
x
y x ln x .
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教学设计
05
➢ 三角放缩
sin x x tan x x 0
sin x x 1 x2 2
利用两个不同函数的凸凹性，缩放到同一公切线两侧。
利用三角函数周期性和有界性进行放缩，达成超越方程与普通方程互化目的。 。
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教学设计
02
➢ 对数放缩
（放缩成一次函数） ln x x 1， ln x x ， ln1 x x
（放缩成二次函数） ln x 1 x2 x 0 ，
2
（放缩成反比例函数） ln x 1 ， x
把对数函数放缩成一次函数、双撇函数、二次函数、高次函数、反比例函数、幂函数等普通函数，达 成超越方程与普通方程互化目的。 把指数数函数放缩成一次函数、双撇函数、二次函数、高次函数、反比例函数、幂函数等普通函数， 达成超越方程与普通方程互化目的。
指数和对数互化，转换为类型2、3，再转化为普通方程不等式求解。
（放缩成根式）
ln x 1 x
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教学设计
03
➢ 指数放缩
（放缩成一次函数） ex x 1 ， ex x ， ex ex ，
（放缩成反比例函数） （放缩成二次函数）
ex 1 x 0 ，
x
ex 1 x 1 x2 x 0 ， ex 1 x 1 x2 1 x3 ，
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教学设计
（1）略
（2）若 f (x) 在 (0, ) 只有一个零点，求 a ．
例题选讲
作业 .【2015 全国】设函数 f x e2x a ln x
（1）讨论 f x 的导函数 f x 零点的个数
（2）略
例题选讲
【2013 江苏】设函数 f (x) ln x ax ， g(x) ex ax ，其中 a 为实数.
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教学设计
➢ 教学内容
01
➢ 零点存在判定定理
零点存在性定理：如果函数 y f x 在区间 a, b 上的图像是连续不断的一条曲 线，并且有 f a f b 0 ，那么函数 y f x 在区间 a,b 内必有零点，即
x0 a,b ，使得 f x0 0
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教学设计
常见 赋值 手法
1 1 x2 cos x 1 1 sin2 x
2
2
.
11
教学设计
解题 基本步骤
直观尝试
定义域内尝试特殊数值
求解零点、美化结果
将函数放缩为可解零点后结出结果，对比区间，适 当美化。
比较函数增长速度
优先尝试增增长速度慢的函数选择合适的模型放缩
分析端点处函数趋势
（1）略
（2）若 g(x) 在 (1, ) 上是单调增函数，试求 f (x) 的零点个数，并证明你的结论.
例题选讲
【2018 浙江】已知函数 f(x)= x −lnx．
（1）若 f(x)在 x=x1，x2 (x1≠x2) 处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2； （2）若 a≤3−4ln2，证明：对于任意 k>0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点．
教学反思
1
命题灵感的猜测
教学反思
2
学生学习中存在的问题
3
待定
谢谢指导
江苏省兴化中学高三数学备课组
教学反思
教学 总结
赋值 方法
三个 确保
三个 优先
先直观尝试，然后放缩证明。特点见效快、但是解证风险大 放缩求解法，先适度放缩，然后通过不等式或方程求出赋值点，特 点稳妥、可靠。但有时目标放缩有点难、找准快慢、保持趋势。
1、确保找的自然 2、确保赋值点在规定范围内 3、确保证起来简单，看起来漂亮
1、优先常数赋值 2、优先借助于已有极值求赋值点 3、优先简单运算、指找对、对找指、对数用1、指数用0