一笔画(七桥问题)

能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。 能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。那么什么 叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点； 叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点； 与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如下图中的① 与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如下图中的①、 为奇点， 为偶点。 ④为奇点，②、③为偶点。
以下网络中哪一个是可以遍历的(即 一笔而不重复地画成)？
拓扑学起源于公元 年一个著名问题—— 拓扑学起源于公元1736年一个著名问题 起源于公元 年一个著名问题 哥尼斯堡七桥问题——的解决． 哥尼斯堡七桥问题 的解决
哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市， 哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它 包含两个岛屿及连接它们的七座桥． 包含两个岛屿及连接它们的七座桥．该河流 经城区的这两个岛． 经城区的这两个岛．岛与河岸之间架有六座 另一座桥则连接着两个岛． 桥，另一座桥则连接着两个岛．星期天散步 已成为当地居民的一种习惯， 已成为当地居民的一种习惯，但试图走过这 样的七座桥， 样的七座桥，而且每桥只走过一次却从来没 有成功过．但直至引起瑞士数学家欧拉 有成功过．但直至引起瑞士数学家欧拉 (Leonhard Euler，1707—1783)注意之前， 注意之前， ， 注意之前 没有人能够解决这个问题 ．
一笔画------七桥问题 一笔画------七桥问题
一笔画----------七桥问题 一笔画----------七桥问题
请你做下面的游戏： 请你做下面的游戏：一笔画出图中 的 图形来。 规则：笔不离开纸面， 图形来。 规则：笔不离开纸面，每根 线都只能画一次。 线都只能画一次。这就是古老的民间 游戏——一笔画。 你能画出来吗？ 一笔画。 游戏 一笔画 你能画出来吗？
例2：如果两只蚂蚁分别从甲、乙两 处出发，那么，哪一只能够不重复 地爬遍所有的小路？应该怎样爬？
例3：再回到“七桥问题”，问：在 何处架设一座桥，可使游人一次走 遍所有各桥？
例4：某花园小径如图，问：你能否 从图中点1 从图中点1出发不重复地走过所有小 径？如果能，请标出所经过各点的 顺序；如果不能，请标出必须重复 走的小径。
2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为 ．凡是只有两个奇点的连通图（ 偶点），一定可以一笔画成。 ），一定可以一笔画成 偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一 个奇点为起点，另一个奇点终点。 个奇点为起点，另一个奇点终点。例如下图 的线路是： 的线路是：①→②→③→①→④ ② ③ ① ④
下列图形中那几个可以一笔画出来？ 下列图形中那几个可以一笔画出来？
）、（2）、（ ；（3）、（ （1）、（ ）、（ ）可以一笔画出；（ ）、（ ）不能一笔画 ）、（ ）、（4）可以一笔画出；（ ）、（5） 出
例1
下列哪几个图能一笔出？如果能，给出画法。 下列哪几个图能一笔画出？如果能，给出画法。
分析点拨： 分析点拨： 个点， 图（1）中共 个点，都是偶点，所以可以一笔画出，九个点 ）中共9个点 都是偶点，所以可以一笔画出， 中的任意一个都可以作为起点。 中的任意一个都可以作为起点。 图（2）中有四个奇点，不能一笔画出。 ）中有四个奇点，不能一笔画出。 图（3）中共有十个点，每一个点都是偶点，可以一笔画出， ）中共有十个点，每一个点都是偶点，可以一笔画出， 任选一点作为起点均可。 任选一点作为起点均可。
1727年在欧拉 岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡 年在欧拉20岁的时候 年在欧拉 岁的时候， 原列宁格勒）的科学院做研究。 （原列宁格勒）的科学院做研究。他的德国朋友告 诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。 诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。 欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。他把这个难题化成了这样 的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“ 的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七 桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了， 桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了， 这个 图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。 图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时 ．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。 可以把任一偶点为起点， 可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完 此图。例如下图都是偶点，画的线路可以是： 此图。例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤ ③ ⑤ →⑦→②→④→⑥→⑦→① ⑦ ② ④ ⑥ ⑦ ①
练习：下面各图，能否一笔画出？ 若能，请画出走法；若不能，请说 明理由。
留一道作业： 留一道作业：下面的五环标志可否一笔 画成？如何画？ 画成？如何画？