整理空间角的计算

空间角的计算
（教案）
一、一、教材分析
1、1、地位和作用
空间角的计算是对空间线与线，线与面，面与面位置关系的一种定量研究，它与空间距离的计算相结合，对上述诸几何对象间的位置关系作出准确的刻划。

空间角的计算问题联系广，涉及面宽，便于综合考察学生分析问题、解决问题的能力，是高考每年必考的内容。

通过这部分内容的学习，可以培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和快速、准确的运算能力，强化转化与化归、分类讨论等数学思想方法的应用意识，养成用运动、变化、联系的观点看问题的习惯，培养辩证唯物主义世界观。

2、2、教学内容
空间角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角。

本节课的内容就是复习这三种角的求法和用法。

3、3、教学目的
通过教学，使学生
（1）了解空间特殊角的特殊求法。

（2）会用“平移法”求异面直线所成的角。

（3）掌握直线与平面所成角的求法。

（4）掌握用三垂线定理或其逆定理作二面角平面角的方法，理解通过作与二面角的棱垂直的平面或作与二面角的两个面垂直的平面得到二面角平面角的方法，了解用“投影法”求二面角的方法。

会求二面角的平面角。

（5）深刻领会转化与化归的数学思想方法，增强用分类讨论思想研究问题、解决问题的意识。

（6）提高空间想象能力、逻辑推理能力和快速、准确的运算能力，能进行正确的书面表达。

（7）受到辩证唯物主义思想教育、数学应用意识教育和数学审美教育，提高学习数学的积极性。

4、4、教学重点、难点、关键
本节课的重点是一般情形下三种角的求法。

在二面角的求法中，用三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角是重点；难点是三种角的作法，对非常规位置图形的观察和识别，“无棱二面角”的求法；在作角过程中，关键要把握住有利于发挥已知条件的作用，便于已知与未知的沟通等原则，寻找到最合适的作图位置。

二、二、教法分析
这是一节复习课，采用“知识梳理”─“范例分析”─“归纳总结” ─“巩固训练”的程式进行教学。

“知识梳理”用框图形式给出，让知识结构一目了然；“范例分析”重在分析，同时指出书面表达中应注意的一些问题，分析过程中尽量调动学生参与；“归
纳小结”将本节课的主要内容用几句简炼的语言总结出来，便于学生领会、记忆；“巩固训练”是为了巩固本节教学效果给学生留的一组训练题，在“巩固训练”里继续给学生提出一些问题的思考方向（见第1题），每个题都经过认真挑选，各自代表了一个方面的典型问题，希望不仅能巩固效果，而且能够扩大效果。

为了节约时间，对知识梳理的框图和每个例题的图形课前准备了灯片。

三、三、学法指导
教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的。

因此，在学法上对学生进行指导是教学中必须重视的问题。

本节课是复习课，除了给学生复习指定的具体内容外，还应该让学生学到正确复习的方法。

课前的“梳理”，可以让学生学会整理，使知识条理化；课后的“小结”，让学生学会总结、提炼，形成方法论。

四、四、教学程序
1、引入课题
开门见山，给出讲座的题目“空间角的计算”，指出这一内容在中学数学和高考中的地位和作用，说明本次讲座的基本安排。

2、知识梳理
出示知识结构框图，并作简要讲解：
3、范例分析
例1、四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=450，∠SBC=600。

求：（1）（1）BC与面SAB所成的角；
（2）（2）SC与面ABC所成角的正弦值。

分析：（1）600。

略
（2）为找到SC 在面ABC 内的射影，应过点S 作面ABC 的垂线，为此，应先找到过点S 且与面ABC 垂直的平面。

取AB 中点M ，连SM 、CM ，则可得出面SCM⊥面ABC 。

作SH⊥CM 于H ，则SH⊥面ABC 。

从而∠SCH 是SC 与面ABC 所成的角。

但在△SCH 中求∠SCH 有困难，换在△SCM 中求较容易。

设AB=2，即可求得SM=1，CM=77。

故sin∠SCM=7
7， 这即为SC 与面ABC 所成角的正弦值。

评注：（1）作（或找）线面角的关键是作（或找）出斜线在平面内的射影；
（2）要适应对非常规位置的图形的观察和识别。

例2、已知两条异面直线段的长度分别是a 、b ，所成的角为θ，距离为h 。

求证：以此二异面直线段为对棱的四面体的体积为6
1abh θsin 。

分析：如图（一），已知AB=a ，CD=b ，AB 与CD 所成的角为θ，距离为h ，求BCD A V -。

难点在于所给条件对求体积无法用上，因此必须考虑转化。

为用出AB 与CD 所成角为θ的条件，可在面BCD 内过点B 作CD 的平行线，在此基础上，为使所作的平行线促成体积的转化，再过点C 作BD 的平行线，两线交于点E ，则有BCE A BCD A V V --=。

问题转化为求BCE A V -。

由于BE∥CD，故)(θπθ-=∠或ABE ，且CD∥面ABE ，从而CD 到面ABE 的距离是h ，进而点C 到面ABE 的距离是h 。

于是
BCE A BCD A V V --==ABE C V -=21(31⋅ab h ⋅)sin θ=6
1abh θsin 。

评注：1、等价转化是一种重要的数学思想方法，在本题中得到了深刻体现；
2、本题结论通过变形，可以用来解决一些求异面直线所成角的问题和求异面直线距离的问题。

例3、点M为正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
的棱AA
1
的中点。

求截面DMB
1
与底面ABCD
所成的二面角。

分析：这是一个“无棱二面角”的计算问题，我们给出三种解法：法（一）作出棱，分析棱的特征，得出平面角（如图二）
设面DMB
1与C
1
C交于点N，则四边形DMB
1
N是平行四边形，从而点N为C
1
C的
中点，于是MN∥AC，从而AC∥面DMB
1。

设二面角的棱为EF，则AC∥EF。

又BD⊥AC，
所以BD⊥EF。

但BD是BD
1在面ABCD内的射影，于是DB
1
⊥EF,故∠B
1
DB是所求二
面角的平面角，易求得∠B
1DB=arccos
3
6
，这即为所求二面角的大小。

法（二）用面面垂直法，不必作出二面角的棱而得出平面角（如图三）
由AC⊥面BB
1D
1
D，知面ABCD⊥面BB
1
D
1
D，又MN∥AC，所以MN⊥面BB
1
D
1
D，
从而面DMB
1⊥面BB
1
D
1
D，因此，∠B
1
DB是所求二面角的平面角。

以下同法（一）。

法（三）用投影法，不必作平面角
在图（一）中，连BD，则△DMB
1
在面ABCD内的射影是△DA B，从而可立即得出结果。

评注：（1）对“无棱二面角”的计算，本题的三种解法很有代表性，应注意总结；
（2）平常注意一题多解的总结，可培养学生多角度观察问题、思考问题的习惯；考场上注意一题多解，可择其善者而用之。

4、归纳小结
本节所讲内容，简要归纳如下：
线线角，用平移，妙选顶点。

线面角，作射影，二足相连。

二面角，求法多，择优选用，
平面角，三垂线，抓住重点。

熟划归，三角形，算准结果，
作、论、求，三环节，环环相连。

5、巩固训练
（1）如果异面直线a与b所成角为500，点P为空间一定点，则过点P且
与a 、b 所成的角都是300的直线有且仅有（ ）
A 、1条
B 、2条
C 、3条
D 、4条
思考：若将本题中a 与b 所成的角改为600，结论又是什么？改为700呢？
（2）如图在三棱锥P-ABC 中，AB=AC ，
PB=PC ， E 、 F 分别是棱PC 、AB 上的点，
且PE ∶EC=AF ∶FB =3∶2。

i ）求证：PA⊥BC；
ii ）设EF 与PA 、BC 所成的角分别为βα、，
求证：βα+=900。

（3） 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，
BC=BB 1=1，E 为D 1C 1的中点，求二面角E-BD-C 的正
切值。

（4）是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1内任意一点，若AP 与交于点
A 的三条棱所成的角分别为、、βα，
γ则γβα222cos cos cos ++=________；若AP 与交于点A 的三个面所成的角分别为γβαγβα222cos cos cos ++，则、、=_________。

（5）在直角坐标系中，A （3，2），B （-3，-2），沿y 轴把坐标平面折成平面角为α的二面角B oy A ''--后，使090=''∠B AO ，求cos α。

（6）在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD=0.5cm ，AB=1cm ，AA 1=2cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角。

（7）在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是线段AD 上一点，且AE∶ED=1∶2。

过点E 作MN∥BC，MN 交AB 于M ，交AC 于N 。

以MN 为棱将△AMN 折起，得二面角A '-MN-D ，设此二面角的大小为α，连A 'B ，A 'D ，A 'C ，求△A 'MN 与△A 'BC 所成二面角的余弦值（用α表示）。