随机服务系统理论：排队论
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5
3）顾客流的概率分布。顾客随机一个(批)个(批)来到 排队系统，顾客流的概率分布用来描述相继到达的顾 客之间的间隔时间分布是确定的还是随机的，分布参 数是什么，到达的间隔时间是否独立，分布是随时间 变化的还是平稳的。
当输入过程是泊松流时，两顾客相继到达的时间间 隔T独立且服从负指数分布。（等价）
2
[M/M/C]模型
标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]
M/M/C型系统和C个M/M/1型系统
系统容量有限制的多服务台模型(M/M/C/N/∞)
顾客源为有限的多服务台模型(M/M/C/∞/M)
一般服务时间的（M/G/1）模型
Pollaczek-Khintchine(P-K) 公式
10
系统指标 (1)队长:指在系统中的顾客数，它的期望值记Ls； (2) 排队长:指在系统中排队等待服务的顾客数，它的 期望值记作Lq。
系统 中顾 客数
=
在队列中等 待服务的顾
客数
+
正被服 务的顾
客数
一般情形，Ls(或Lq)越大，说明服务效率越低。
11
(3) 逗留时间，指一个顾客在系统中的停留时间，它 的期望值记作Ws； (4) 等待时间，指一个顾客在系统中排队等待的时间， 它的期望值记作Wq；
14
求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差分方
程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由于瞬态
解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。
因此我们常常使用它的极限(如果存在的话)：
lim
t
p n
排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论， 是运筹学的一个主要分支。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
6
2. 排队规则
1）损失制。顾客到达时，如果所有的服务台都被 占用，且服务机构又不允许顾客等待，顾客只能离 去，这种服务规则就是损失制。 2）等待制。当顾客到达时，如果所有服务台都被顾 客占用而无空闲，这时该顾客自动加入队列排队等 待服务，服务完才离开。 （1）先到先服务 FCFS （2）后到先服务 LCFS （3）随机服务RAND （4）有优先权服务 PR。
3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优 运营（动态优化）。
13
1.4 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究排队 系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系统的合 理结构和系统参数的合理值，以便实现对现有系统合 理改进和对新建系统的最优设计等。
排队问题的一般步骤： 1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分布和 服务时间分布(可实测)。 2. 研究系统状态的概率。系统状态是指系统中顾客 数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时刻系统中有n个顾 客的概率，也称瞬态概率。
7
3. 服务机构
1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务，这种 服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队列，不 同形式的排队服务机构，如：
1 单队单服务台
1
2
..
..
n
多队多服务台（并列)
1
2 。。。
n
单队多服务台（并列）
1
2
... n
单队多服务台（串列）
1
1
2
3
2
混合形式
8
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
顾客源
顾客到达 排队结构 服务规则 服务机构
离去
排队规则
图1 排队系统示意图
4
1. 输入过程
输入即为顾客的到达，可有下列3种情况： 1）顾客来源。顾客总体(称为顾客源)的组成可能是有 限的，也可能是无限的。如，上游河水流入水库可以 认为总体是无限的，工厂内停机待修的机器显然是有 限的总体。 2）顾客到达方式。顾客到来的方式可能是一个一个 的，也可能是成批的。如，到餐厅就餐就有单个到来 的顾客和受邀请来参加宴会的成批顾客。
Ek—K阶爱尔朗分布Erlang， G —一般随机分布。
Y——填写服务时间分布（与上同）
Z——填写并列的服务台数
A——排队系统的最大容量
B——顾客源数量
C——排队规则
如 [M/M/1]:[∞/∞/FCFS]即为顾客到达为泊松过程，服务时间
为负指数分布，单台，无限容量，无限源，先到先服务的排队系统
模型。
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： 顾客相继到达的间隔时间分布 服务时间的分布 服务台数
9
D.G.Kendall，1953提出了分类法，称为Kendall记号(适用于 并列服务台)即：
[X/Y/Z]:[A/B/C]
式中：
X——填写顾客相继到达间隔时间分布。
M—负指数分布Markov， D—确定型分布Deterministic，
1
排队论主要知识点
排队论的基本概念 排队系统的组成与特征 排队系统的模型分类 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与理论分布 稳态概率Pn的计算
M/M/1模型 标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS]) 系统容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS] 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS]
定长服务时间 M/D/1模型
爱尔朗服务时间M/Ek/1模型
排队系统优化
M/M/1 模型中的最优服务率u
标准的M/M/1Model
系统容量为N的情形
M/M/C模型中最优服务台数C
3
§1 排队论的基本概念
§1.1 排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：1.输入过程；2. 排队规则；3.服务机构。
逗留时间 = 等待时间 + 服务时间
12
1.3 Байду номын сангаас队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主要参数 的统计推断和对排队系统的结构分析，判断一个给 定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论 进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律 性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布 等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
3）顾客流的概率分布。顾客随机一个(批)个(批)来到 排队系统，顾客流的概率分布用来描述相继到达的顾 客之间的间隔时间分布是确定的还是随机的，分布参 数是什么，到达的间隔时间是否独立，分布是随时间 变化的还是平稳的。
当输入过程是泊松流时，两顾客相继到达的时间间 隔T独立且服从负指数分布。（等价）
2
[M/M/C]模型
标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]
M/M/C型系统和C个M/M/1型系统
系统容量有限制的多服务台模型(M/M/C/N/∞)
顾客源为有限的多服务台模型(M/M/C/∞/M)
一般服务时间的（M/G/1）模型
Pollaczek-Khintchine(P-K) 公式
10
系统指标 (1)队长:指在系统中的顾客数，它的期望值记Ls； (2) 排队长:指在系统中排队等待服务的顾客数，它的 期望值记作Lq。
系统 中顾 客数
=
在队列中等 待服务的顾
客数
+
正被服 务的顾
客数
一般情形，Ls(或Lq)越大，说明服务效率越低。
11
(3) 逗留时间，指一个顾客在系统中的停留时间，它 的期望值记作Ws； (4) 等待时间，指一个顾客在系统中排队等待的时间， 它的期望值记作Wq；
14
求解状态概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差分方
程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由于瞬态
解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。
因此我们常常使用它的极限(如果存在的话)：
lim
t
p n
排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论， 是运筹学的一个主要分支。
1909年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
6
2. 排队规则
1）损失制。顾客到达时，如果所有的服务台都被 占用，且服务机构又不允许顾客等待，顾客只能离 去，这种服务规则就是损失制。 2）等待制。当顾客到达时，如果所有服务台都被顾 客占用而无空闲，这时该顾客自动加入队列排队等 待服务，服务完才离开。 （1）先到先服务 FCFS （2）后到先服务 LCFS （3）随机服务RAND （4）有优先权服务 PR。
3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优 运营（动态优化）。
13
1.4 排队问题求解(主要指性态问题)
求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究排队 系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系统的合 理结构和系统参数的合理值，以便实现对现有系统合 理改进和对新建系统的最优设计等。
排队问题的一般步骤： 1. 确定或拟合排队系统顾客到达的时间间隔分布和 服务时间分布(可实测)。 2. 研究系统状态的概率。系统状态是指系统中顾客 数。状态概率用Pn(t)表示,即在t时刻系统中有n个顾 客的概率，也称瞬态概率。
7
3. 服务机构
1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务，这种 服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队列，不 同形式的排队服务机构，如：
1 单队单服务台
1
2
..
..
n
多队多服务台（并列)
1
2 。。。
n
单队多服务台（并列）
1
2
... n
单队多服务台（串列）
1
1
2
3
2
混合形式
8
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
顾客源
顾客到达 排队结构 服务规则 服务机构
离去
排队规则
图1 排队系统示意图
4
1. 输入过程
输入即为顾客的到达，可有下列3种情况： 1）顾客来源。顾客总体(称为顾客源)的组成可能是有 限的，也可能是无限的。如，上游河水流入水库可以 认为总体是无限的，工厂内停机待修的机器显然是有 限的总体。 2）顾客到达方式。顾客到来的方式可能是一个一个 的，也可能是成批的。如，到餐厅就餐就有单个到来 的顾客和受邀请来参加宴会的成批顾客。
Ek—K阶爱尔朗分布Erlang， G —一般随机分布。
Y——填写服务时间分布（与上同）
Z——填写并列的服务台数
A——排队系统的最大容量
B——顾客源数量
C——排队规则
如 [M/M/1]:[∞/∞/FCFS]即为顾客到达为泊松过程，服务时间
为负指数分布，单台，无限容量，无限源，先到先服务的排队系统
模型。
§1.2 排队系统的模型分类
上述特征中最主要的、影响最大的是： 顾客相继到达的间隔时间分布 服务时间的分布 服务台数
9
D.G.Kendall，1953提出了分类法，称为Kendall记号(适用于 并列服务台)即：
[X/Y/Z]:[A/B/C]
式中：
X——填写顾客相继到达间隔时间分布。
M—负指数分布Markov， D—确定型分布Deterministic，
1
排队论主要知识点
排队论的基本概念 排队系统的组成与特征 排队系统的模型分类 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与理论分布 稳态概率Pn的计算
M/M/1模型 标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS]) 系统容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS] 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS]
定长服务时间 M/D/1模型
爱尔朗服务时间M/Ek/1模型
排队系统优化
M/M/1 模型中的最优服务率u
标准的M/M/1Model
系统容量为N的情形
M/M/C模型中最优服务台数C
3
§1 排队论的基本概念
§1.1 排队系统的组成与特征
排队系统一般有三个基本组成部分：1.输入过程；2. 排队规则；3.服务机构。
逗留时间 = 等待时间 + 服务时间
12
1.3 Байду номын сангаас队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主要参数 的统计推断和对排队系统的结构分析，判断一个给 定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论 进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律 性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布 等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。