第二章态迭加原理与几率流密度

态叠加原理的更一般表述：
当ψ1,ψ2, ψ3,……ψn是体系的可能态时，它们的线性叠 加ψ也是体系的一个可能状态。
或者
当体系处于ψ1,ψ2, ψ3,……ψn的叠加态ψ时，体系既可 能处于ψ1态，又可能处于ψ2, ψ3……ψn态中，且处于 各状态的概率是确定的。
数学形式为：
C1 1 C2 2 C3 3 Cn n Cn n
电子通过单缝1出现在P点的几率密度为：W1 | C11 |2
电子通过单缝2出现在P点的几率密度为：W2 | C2 2 |2 双缝同时打开时，电子出现在P点的几率密度为：W | |2
r,t c11r,t c2 2r,t
W
C1
1
C2
2
C11 C2 2
C121*1 C22 2* 2 C1C2 (1* 2 2*1)
(2 )1/ 2
C(P,t) 1
i Px
(x,t)e dx
(2 )1/ 2
如果仅考虑某一给定时刻粒子的两表象波函数的关
系，可取t =0
(r
)
1
(2
)3/
2
i
C(P)e
P,r d 3P
C(P) 1
(r )e i P,r d 3r
(2 )3/2
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第三节 薛定谔方程(Schrodinger Equation)
n
是“波的叠加性”与“波函数完
全描述微观体系的统计状态”两 量子力学的重要原理之一
者的高度概括与综合。
举例：电子衍射实验
电子枪
U
G
Ni晶体
电子沿垂直方向射到
P
单晶表面，出射后将以各
种不同的动量运动，出射 后的电子为自由电子，其
状态波函数为平面波。
dபைடு நூலகம்
P (r,t)
1
(2 )3/ 2
i ( Pr Et )
C11 2 C2 2 2 C1C2 (1* 2 2*1)
说明出现干涉现象 相干项
一般情况下，当1r,t 和 2 r,t 是微观体系可能 存在的两个状态时，则它们的线性叠加 r,t 也
也是体系可能存在的状态 概率波的叠加原理（态叠加原理）
含义：当粒子处于态1和态2的线性叠加态时， 粒子既处在态 1，又处在态2
2）方程应该具有粒子各种状态都能得到满足的普遍性质，方 程中各系数只能为普适恒量（如h等）和表示粒子一般属性 的量（如质量等），不能包含只表征某特殊状态的量（如 能量、动量等）；
3）波函数ψ的变量为r和t，方程是关于r 和t的偏微分方程， 规定此微分方程不高于二阶；
4）对于自由粒子，方程的解应是平面波；
第二节 态叠加原理 (State Superposition Principle)
一、态的概念及态的描述
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍 射的本质在于波的叠加性，因此，同光学中波的叠加 原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子 力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为 状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加 原理。
微观粒子在时刻t的状态由波函数ψ(r,t)来描述。
问题？
当t变化时，粒子运动状态将怎样随之变化，
并随时间变化其遵从怎样的规律？
Erwin Schrödinger
薛定谔方程
一、薛定谔方程的物理条件：
该方程必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。
满足一些物理条件：
1）方等程项应，是而一不个能线包性含方程2：, 在x方2程,中只等能项包。含当ψt1和, ψ2t22为, x 方程的解时，ψ＝C1 ψ1+C2 ψ2也为方程的解；
二者描写同一量子状态
若 r,t归一化，则 Cr,t也是归一化的
Prove:
C( p,t) (r ) (r,t)dr P
|C( p, t) |2 dp C( p, t)C( p, t)dp
(r,t) p(r)dr (r ',t) p(r ')dr ' dp r r
间相遇时产生叠加，叠加态为
r,t c11r,t c2 2 r,t
c1、c2可为复常数或包含时间的变量
r,t 也是空间可能存在的概率波
粒子双缝衍射实验
D
1 2
P
11
S•
22 2
通过单缝1的粒子处于1态
2 2 B
通过单缝2的粒子处于2态
当双缝同时打开时，粒子处于1和2的叠加态
＝ c11＋ c22
二、态叠加原理
经典波的干涉作用：机械波（振动位移） 电磁波（电磁场量） 某物理量的叠加
叠加性是一切类型的波动的共有特征
数学表示： 如有两相干波y1和y2，当其发生干涉时，干涉态（叠加态） 可表示为y1和y2的线性叠加：y=y1+y2 描述微观粒子运动状态的概率波也具有叠加性。
若空间存在概率波 1r,t 和 2 r,t ，则其在空
（2）
与
C
(P,
t)
一
一对应,是同一量子态的两种不同描述方式。 10
(r,t)
C ( P, t )
以坐标 r为自变量的波函数，
坐标空间（坐标表象）波函
以动动量量空间P （为动自量变表量象的）波波函函数数，
数
r,t 2 给出t时刻粒子处在
位置 r处的几率
C P,t 2给为出Pt的几时率刻粒子动量
推广 思路：自由粒子得出方程
考虑到电子的动量可以连续变化
(r , t)
C(P)
P
(r , t )d
3P
1
(2 )3/2
i
C(P)e
d P (P,r Et ) 3
1
i
C ( P, t )e
Pr d 3P
(2 )3/ 2
即
(r
,
t)
1
(2
)3/ 2
i
C ( P, t )e
Pr d 3P
（1）
显然而,二式C互(P,为t) Fo(u2r1e)r3变/2 换式(r,,所t)e以 i P,r d(r3r,t)
e
电子从晶体表面出射后，既可能处在
ψ P
(
r
,t
)态，也
可能处在 P ( r ,t )、 P ( r ,t ), 等状态，按态迭加原
理，在晶体表面反射后，电子的状态 可表示成 P
取各种可能值的平面波的线性叠加，即
9
(
r
,t
)
C(
P
)
P
(
r
,t
)
P
衍射图样正是这些平 面波叠加干涉的结果
(r
,
t
)
(r
',
t
)
p
(r
)
P
(r
')dp
drdr
'
11
(r,t) (r ',t) (r r ')drdr ' (r,t) (r,t)dr 1
此显示出把平面波归一化为 函数的目的
一维情况下， (x,t) 与 C(Px ,t) 的Fourer变换关系：
(x,t) 1
i Px
C(P,t)e dP