传递函数到状态空间模型的转换

自动控制理论
自动控制第二章
周立芳徐正国
连续时间控制系统的数学模型
浙江大学控制科学与工程学系
1
第二章要点
✓引言
✓电路及组成
✓线性代数与状态的基本概念
✓传递函数及方块图
✓机械传递系统
✓其他的数学建模实例
✓系统传递函数的计算
✓非线性系统的线性化
✓系统整体传递函数的确定
✓仿真图
✓信号流图
从传函数到状间模的转换
✓从传递函数到状态空间模型的转换
2
从传递函数到状态空间模型的转换
◆从传递函数到并联状态图
◆并联状态图
◆A 矩阵的对角化
◆利用状态变换求解状态方程
◆状态方程的标准形式
可控标准型
◆
◆可观标准型
◆从方块图到状态空间模型
控制科学与工程学系
并联状态图
由下面微分方程描述的SISO 系统可以由相应的传递函数表示
并联状态图
)()()( ;)()())(()(1
210111i i
i i i n
i i n n n n n n s f s U s Z f s G s G c s s s c s c s c s c s G λλλλ-==+=---++++=∑=--
并联状态图
系统的状态转移信号流图如下图所示，图中省略了状态变量的初始值
z i (t 0)。

Z 1(s)λ1
f 1
前馈通道
Z 2(s)
f 2U(s)
Y(s)
λ2
:
f n
()
)()(1
∑=+=n
i i n s G c s G f λn
c n
Z n (s)
)()()( i
i
i i i s f s U s Z s G λ-==图5.31 式(*) 的并联解耦仿真图（w=n ）
并联状态图
于是系统的状态空间模型为：
所有元素均为1
⎥
⎤⎢⎡⎥⎤⎢⎡ 2
111000
λλn
n +Λ=⎥⎥⎥⎢⎢⎢+⎥⎥⎥⎢⎢⎢=u
b z u z z
1000
λw=n, d n ≠0, 否则d n =0
[
]
u
d u c f f f y n n n n +=+=⎦
⎣⎦⎣z c z
2
1
A 是对角阵此时系统动态方程称为状态空间模型
系统矩阵A 是对角阵，此时系统动态方程称为正则标准型状态空间模型，系统矩阵可表示为Λ(or A*)，相应的状态变量称为规范变量（canonical variables ）。

部分分式的系数
对于MIMO 系统，有
----b →B ，c →C 和d →D
不同！
7
并联状态图
对角矩阵A=Λ意味着各个状态方程之间相互解耦，即各个状态变量z i 不依赖于其他状态变量，可被独立求解。

不依赖于其他状态变量可被独立求解
这个特点可以简化状态转移矩阵Φ(t) 的计算程序。

对角型动态方程对系统研究非常有用，如可观性和可控性分析。

对角型动态方程对系统研究非常有用如分析
这里讲的系统特征根为各不相同的单根时的正则标准型状态空间描述。

是种最简单的情况。

对于存在复根的情况(较少碰到)，A阵为
述。

是一种最简单的情况。

对于存在复根的情况
约当阵。

此略。

有兴趣的同学可自学。

8
并联状态图
【例1】对于给定的G(s)，，画出并联状态图，
2241513()32
s s G s s s ++=
++Z 1(s)
解：
2+并确定状态方程。

-2
1
Y(s)U(s)2
313
154)(2+++=
s s s s s G Z 2(s)
-1
2()
()
1
2
214)(+
+=s s G 4
图5.32 仿真图
++s
w<n, d n =0
并联状态图
【例2】设控制系统的传递函数为
状态空间描述
23()(2
2
++=s s s Y 试求系统的正则标准型状态空间描述。

)127()++s s s s U
A 矩阵的对角化
在前面的部分分式展开方法中，我们得到了所需的正则规范型状态空间模型，其中A 矩阵是对角阵。

间模型其中
当系统为MIMO 系统，或者已经给出状态空间描述的系统方程时，
这样的部分分式展开方法并不方便。

一种更为一般的状态方程转换方法是利用线性相似变换。

11
状态方程的标准形式
当状态空间模型中的系统矩阵和控制矩阵具有特定形式的情况下，反馈控制系统的综合及其响应特征分析通常
会变得非常容易
会变得非常容易。

介绍从传递函数直接得到系统可控标准型和可观标准型的方法。

的方法
12
回顾：相变量状态方程
由下面微分方程表示的SISO 系统可以由相应的传递函数表示
回顾：相变量状态方程
c n
1
-n c 2
-n c 1
c 2
c 0
c 1
--n a 1
a -2
a -2
--n a 0
a -[]u x ][)()()(111100n n n n n n c c a c c a c c a c y +---=--
0≠n c 0
=c ==
c n []cx
x 00
1
w c c y Controllable Standard form (可控（相伴）标准型可控（相伴）标准型))
14
可控标准型
例3请写出如图所示系统的传递函数与可控标准型。

c2
c3
x3x2
x4x1Y(s)
U(s)c1
c0
解：
因为该图以相变量为状态变量，可直接由图写出系统的传递函数与可控标准型。

又因w=3<n=4，故有
例3请写出如图所示系统的传递函数与可控标准型。

c 2
c 3
122334
012
23
3)()()
(a s a s a s a s c s c s c s c s G s U s Y +++++++==x
= x 3x 2x 4x 1
Y(s)
U(s)
c 1
c 0
u
x D c y c +=u x A c c B +⎥
⎥⎤⎢⎢⎡00式中
⎥⎥⎤⎢
⎢⎡=01000010
A 0
4=c ⎥⎢=0C b ⎥⎢1000C []
c c c c c =
另一个重要的状态方程形式是可观标准型。

n
w ≤1
)
(c s c s c s c s Y w w
++++- u x A x
o o B += c 2
c 3
c 4
u
x D c y o +=x 1
U(s)
1x
x 2
x 3
y
2x
3x 4x
c 1
c 0
x 4
2012/3/15
17
17
另一个重要的状态方程形式是可观标准型。

n
w ≤1
)
(c s c s c s c s Y w w
++++-
例4 请写出如图所示系统的状态空间表达式。

c 2
c 3
c 1
x 1
U(s)
1x x 2
x 3
x 4=y
2x
3x 4x
c 0
⎤⎡-0000
a ⎡0
,4=<c n w 4
x y =解：
⎥
⎥⎥⎢⎢
⎢--=21010001a a A o ⎥⎥
⎥⎤⎢⎢⎢=210c c c B o u c x x a x
11412++-= u c x a x
0401+-= ⎥⎦
⎢⎣-31
a []
100
=o c ⎥⎦
⎢⎣3c 0
=D u c x x a x
22423++-=u c x x a x
33434++-= 19
可控（相伴）标准型与可观（相伴）标准型
2
10
12
211)(c s c s c s
c s c s G n n n n n n n n n +++++=------ 已知传递函数为：0
121a s a s a s a s n n +++++--
可控（相伴）标准型与可观（相伴）标准型
【例5】设控制系统的传递函数为
1272
3)(22++++=
s s s s s s U s Y 试求系统的可控可观标准型状态空间描述。

)
()(
可控（相伴）标准型与可观（相伴）标准型
【例5】设控制系统的传递函数为
1272
3)(22++++=
s s s s s s U s Y 试求系统的可控可观标准型状态空间描述。

)
()(
方块图
状态空间模型
•由一般的方块图直接得到状态方程
控制科学与工程学系
从已知的控制系统方块图中，选择一阶环节的输出变量作为状态变量，经直接计算将方块图化为状态变量图，从而可得系统的状
R(s)
Y(s)
x 1
x 2
241
2+s 1
4+s
从传递函数到状态空间模型
直接从方块图计算
R(s)
Y(s)
x 1
x 2
241
2+s 1
4+s
直接从方块图计算
y
x 1
x 2
r
1/s 1/s
例7-1请画出如图所示物理系统的状态变量图。

R()x 1
x 2
x 3R(s)
Y(s)U(s)
I(s)解开环直流电机控制系统方块图模型
解：
R()Y()x 2
x 1
x 3
R(s)
Y(s)
28
物理状态变量信号流图
例7-2 再请转换为正则标准形，并写出系统的状态空间表达式。

30解：
x )
3)(2)(5()
1()(++++=
s s s s s G R(s)
Y(s)1
u x x 11020005⎥⎤
⎢⎡+⎥⎤⎢⎡--= ()
x 2
[]x
y 301020 1300--=⎥⎥
⎦⎢⎢⎣⎥⎥⎦⎢⎢⎣-x 3
解耦状态变量信号流图
例7-3 再请同学转换为可控标准型与可观标准型。

s
30)1
(+
关于矩阵的转换
状将
正则标准型的状态空间描述将给控制系统的分析与设计带来很大方便，第三章将介绍把一般矩阵转换为对角化
矩阵的多种方法，我们将进步学习。

矩阵的多种方法，我们将进一步学习。

我们还可以将一个一般矩阵转换为可控（相伴）标准型的方法（－－我们在学习现代控制理论部分时将会学
习）。

31
第二章第二部分小结
✓仿真图
✓信号流图
✓从传递函数到状态空间模型的转换
✓从传递函数到并联状态图
✓将状态方程转换为标准型
✓从方块图到状态空间模型
32
数学模型及其求解小结（1）
数学模型、求解及其相关知识
微分方程模型
–从物理对象建模：电路、力学、液位等
状态空间模型
–基本概念，标准形式，从物理对象（储能元件）建状态方程模型 传递函数（矩阵）模型
–概念，微分算子及拉氏变换、频率响应形式，性质
方块图
–从物理对象画出方块图（组成结构与传递函数形式），信息流向
–环节中用文字表达的结构组成图，环节中为传递函数的方块图，
反映状态变量关系的状态变量图方块图的信号流图表示
反映状态变量关系的状态变量图，方块图的信号流图表示
–借用方块图的简化与信号流图中的梅逊公式计算系统传递函数
33
数学模型及其求解小结（2）
几种模型之间的关系与相互转换
微分方程
惟一
拉氏变换
传递函数
多种方法，转换
结果不一结果惟一
状态方程
对应状态变量图
方块图信号流图
34
数学模型及其求解小结（3）
各种模型的基本概念需要熟练掌握与应用
关于模型的概念与处理：
–基本环节的模型及其传递函数表示
–模型的分类及各自特点
–非线性的线性化
–注意些定义的前提条件（如零初始条件），适用范围（如
注意一些定义的前提条件（如零初始条件），适用范围（如
线性化）
动态响应的性能指标概念及其表述、计算
35
控制科学与工程学系秋叶。