2010年广东高考数学(理)A卷试题及答案

淘宝网化妆品/2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A 卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1.若集合A={x -2＜x ＜1}，B={x 0＜x ＜2}则集合A ∩B=（
）
A.{x -1＜x ＜1}
B.{x -2＜x ＜1}
C.{x -2＜x ＜2}
D.{x 0＜x ＜1}
1.D.{|21}{|02}{|01}A B x x x x x x =−<<<<=<<I I ．
2.若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，则z 1·z 2=（
）A ．4+2i
B.2+i
C.2+2i
D.3
2.A ．12(1)(3)1311(31)42z z i i i i ⋅=+⋅−=×+×+−=+
R ，则
f （x ）为偶函数，
g （x ）为奇函数f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数
()g x −．
312a a =，且4a 与27a 的等差中项为
D.29
231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =。

由
7415151(2)(22)24244
a =×−=×−=．∴3748q a =
=，即2q =．341128
a a q a ==×=，即116a =．5.“14
m <
”是“一元二次方程2
0x x m ++=”有实数解的A ．充分非必要条件
B.充分必要条件
淘宝网化妆品/
C ．必要非充分条件
D.非充分必要条件
5．A ．由2
0x x m ++=知，2114(024m x −+=
≥⇔1
4
m ≤．6.如图1，△ABC 为三角形，AA ′//BB ′//CC ′,CC ′⊥平面ABC 且3AA ′=3
2
BB ′=CC ′=AB,则多面体△ABC -A B C ′′′
的正视图（也称主视图）是
6．D ．
7.已知随机变量X 服从正态分布N(3.1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，则p （X>4）=（
）
A 、0.1588
B 、0.1587
C 、0.1586
D0.1585
．
5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．那么需要的时间至少是D.1190秒
5s ，共5×（120-1）5分，满分30分．（一）必做题（9-13题）9.函数()f x =lg(x -2)的定义域是.
9．(1,+∞)．∵10x −>，∴1x >．
淘宝网化妆品/10.若向量a r =（1,1,x ）,b r
=(1,2,1),c r =(1,1,1),满足条件()(2)c a b −⋅r r r
=-2,则x =
.
10．C ．(0,0,1)c a x −=−v v ，()(2)2(0,0,1)(1,2,1)2(1)2c a b x x −⋅=−⋅=−=−v v v ，解得2x =．
11.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若
a=1,b=,A+C=2B,则
sinC=
.
11．1．解：由A +C =2B 及A +B+C =180°知，B =60°．
由正弦定理知，1sin A 即1sin 2
A =
．由a b <知，60A B <=o ，则30A =o ，180180306090C A B =−−=−−=o o o o o ，sin
C =12.已知圆心在x 轴上，半径为的圆O 位于y O 的
方程是
则
r
5a =−．若a 的圆
则14．
9
8
a ．因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知，OP AB ⊥.在Rt OPA ∆中，cos30BP AP a ===
o
.由相交线定理知，
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BP AP CP DP ⋅=⋅
，即
23a a CP a =⋅，所以98
CP a =．15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ与cos 1p θ=−的交点的极坐标为______．
15
．3)4π
．由极坐标方程与普通方程的互化式cos ,sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩知，这两条曲线的普通方程分别为2
2
2,1x y y x +==−．解得1,1.x y =−⎧⎨=⎩由cos ,
sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩得点（-1，1）的极坐
标为3)4
π
．三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（本小题满分14分）
ϕπ<<在12
x π
=时取得最大值4．
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3sin(225πα+=，3cos 25α=，2312sin 5α−=，21
sin 5α=
，sin α=17.(本小题满分12分)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,]495，（495,]500，……（510,]515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4
所示．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505
克的概率．
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18.（本小题满分14分）
如图5，¼ABC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点．平面AEC 外一点F 满足FB DF ==
，．
图5
（1）证明：EB ⊥FD ；
（2）已知点Q,R 分别为线段FE,FB 上的点，使得BQ =BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．
（2）设平面BED 与平面RQD 的交线为DG .由BQ=
23FE,FR=2
3
FB 知,||QR EB .而EB ⊂平面BDF ，∴||QR 平面BDF ，而平面BDF I 平面RQD =DG ，
淘宝网化妆品/∴||||QR DG EB .
由（1）知，BE ⊥平面BDF ，∴DG ⊥平面BDF ，而DR ⊂平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，∴,DG DR DG DQ ⊥⊥，
∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角．在Rt BCF ∆
中，2CF a =
==
，
sin FC RBD BF ∠=
==
cos RBD ∠==
与平面
29
．19.（本小题满分12分）
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。

已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物
淘宝网化妆品/6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
A 1,A 2，点11(,)P x y ，11(,)Q x y −是双曲线上
的方程式；
1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且12
l l ⊥
淘宝网化妆品/故2
21(2)2y x =−−，即2
212
x y +=。

（2）设1:l y kx h =+，则由12l l ⊥知，21
:l y x h k
=−
+。

将1:l y kx h =+代入2
212
x y +=得
2
2()12
x kx h ++=，即222(12)4220k x khx h +++−=，由1l 与E 只有一个交点知，2
2
2
2
164(12)(22)0k h k h ∆=−+−=，即
2212k h +=。

同理，由2l 与E 只有一个交点知，22112h k +⋅=
21k =，从而
A 到点
B 的一种
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当且仅当1212()()0,()()0x x x x y y y y −−≥−−≥时等号成立，即,,A B C 三点共线时等号成立.
（2）当点C(x,y)同时满足①P (,)A C +P (,)C B =P (,)A B ，②P (,)A C =P (,)C B 时，点C 是线段AB 的中点.1212,22x x y y x y ++=
=，即存在点1212
(,)22
x x y y C ++满足条件。

,。