习题及答案
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3、确定下列函数的奇点和奇点性质
第五章：
1、计算留数
（1） 在 点。
（2） ，在 点；
（3） 在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；
（4） 在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；
2、计算围道积分
（1）
（2）
3、计算实变函数的定积分
（1） （2） （3）
4、计算实变函数的定积分
（1） （2）
5、计算实变函数的定积分
10、有均匀圆柱，半径为 ，高位 ，柱侧面绝热，上下底温度分别保持为 和 ，求柱内稳定的温度分布。
数学物理方法习题答案：
第二章：
1、（1） 与 的连线的垂直平分线；以 为圆心，2为半径的圆。
（2）左半平面 但是除去圆 及其内部；圆
2、 ； ；
3、 ； ； ；
4、（1） 变为 平面上半径为 的圆。
（2） 平分二、四象限的直线。
（1） （2） （3）
第六章：
1、在 的邻域上求解
2、在 的邻域上求解
3、在 的邻域上求解
第七章：
1、长为 的均匀弦，两端 和 固定，弦中张力为 。在 点以横向力 拉弦，达到稳恒后放手任其自由振动，写出初始条件。
2、一均匀细棒长 ，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当电梯速度达到 时突然停止，问此时细棒振动的初始条件是什么？
4、在矩形区域 上求解拉普拉斯方程，并满足边界条件
5、细圆环，半径为 ，初始温度分布已知为 ， 是以环心为极点的极角，环表面绝热，求解环内的温度变化。
6、求解绕圆柱的水流问题。在远离圆柱出水流是均匀的，流速为 ，圆柱半径为 。
7、半圆形薄板，半径为 ，板面绝热，边界直线上保持为零度，圆周上保持为 ，求稳定状态下的板上温度分布。
3、在本来均强的静电场 中，放置半径为 的导体球，使求解球外的静电场。
4、将 按照求函数 展开。
5、设有一均匀球体，在球面上温度为 ，试在稳定状态下球球内的温度分布。
6、求证：
7、试证平面波能用柱面波展开，即
其中 为平面波的振幅因子。
8、计算积分（反复利用递推关系）
9、半径为 ，高位 的圆柱体，其下底和侧面保持零度，上底温度分布为 求解柱体内各点的温度分布。
（1） ；
（2）
6、已知等势线族的方程为 常数，求复势。
第三章：
1、计算环路积分：
2、证明： 其中 是含有 的闭合曲线。
3、估计积分值
第四章：
1、泰勒展开
（1） 在 （2） 在 （3）函数 在
2、（1） 在区域 展成洛朗级数。
（2） 按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：①以 为中心展开；②在 的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。
7、
8、
第十章：
球函数：
1、球内：
球外:
2、
3、
4、
5、定解问题：
柱函数：
6、提示：利用 和
7、提示：利用 和 ，设
9、定解问题
10、定解问题
分别为 的广义傅里叶展开。
8、一均匀细棒长 ，一端固定，另一端在纵向力 的长期作用下，求解杆的稳恒振动。
9、用冲量定理法求解
10、用冲量定理法求解 为常数
第十章：
1、用一层不导电的物质把半径为 的导体球壳分隔为两个半球壳，并分别充电到 和 ，计算电势分布。
2、一空心圆球区域，内半径为 ，外半径为 ，内球面上有恒定电势 外球面上有电势保持为 均பைடு நூலகம்常数，试求内外球壳之间、空心球区域中的电势分布。
第八章：
1、长为 的均匀弦，两端 和 固定，弦中张力为 。在距一端为 的一点以力 把弦拉开平衡位置，然后突然撤除此力，求弦的自由振动。
2、一均匀细棒长 ，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当电梯速度达到 时突然停止，秋节竿的振动。
3、求解薄膜限定浓度的扩散问题
薄膜厚度为 ，杂质从两面进入薄膜，设单位表面积下杂质总量为 ，此外不再有杂质进入薄膜。在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的限定源扩散。
（2）奇点为： 为 一阶极点； 为 的本性奇点。
第五章：
1、（1）
（2）
（3）
（4）
2、（1） 和 为函数的单极点
（2）
3、（1） （2） （3）
4、（1） （2）
5、（1）
（2）
（3）
第六章：
1、
2、
3、
第七章：
1、 （在 上）
（在 上）
2、
第八章;
1、初始位移
2、
3、
4、
5、泛定方程为
6、 为任意值。
5、(1) ; ;
(2)选取极坐标
6、
第三章：
1、（1） （2）、 （3）、0（4）、 （5）、
2、设 为参变数，则
第四章：
1、（1）
（2）
（3）
2、(1)
(2) ① 时 ， 时 ， 时 ②
③ 时 ， 时 ；
④ ， 同③的结果，而 时， ， 时，
3、（1）两个奇点 所以， 为 的二阶极点。 为 的三阶极点。
数学物理方法习题
第一章：
应用矢量代数方法证明下列恒等式
1、
2、
3、
4、
5、
第二章：
1、下列各式在复平面上的意义是什么?
（1）
（2） ;
2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。
3、计算数值（ 和 为实常数， 为实变数）
4、函数 将 平面的下列曲线变为 平面上的什么曲线？
（1）
（2）
5、已知解析函数 的实部 或虚部 ，求解析函数。
第五章：
1、计算留数
（1） 在 点。
（2） ，在 点；
（3） 在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；
（4） 在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；
2、计算围道积分
（1）
（2）
3、计算实变函数的定积分
（1） （2） （3）
4、计算实变函数的定积分
（1） （2）
5、计算实变函数的定积分
10、有均匀圆柱，半径为 ，高位 ，柱侧面绝热，上下底温度分别保持为 和 ，求柱内稳定的温度分布。
数学物理方法习题答案：
第二章：
1、（1） 与 的连线的垂直平分线；以 为圆心，2为半径的圆。
（2）左半平面 但是除去圆 及其内部；圆
2、 ； ；
3、 ； ； ；
4、（1） 变为 平面上半径为 的圆。
（2） 平分二、四象限的直线。
（1） （2） （3）
第六章：
1、在 的邻域上求解
2、在 的邻域上求解
3、在 的邻域上求解
第七章：
1、长为 的均匀弦，两端 和 固定，弦中张力为 。在 点以横向力 拉弦，达到稳恒后放手任其自由振动，写出初始条件。
2、一均匀细棒长 ，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当电梯速度达到 时突然停止，问此时细棒振动的初始条件是什么？
4、在矩形区域 上求解拉普拉斯方程，并满足边界条件
5、细圆环，半径为 ，初始温度分布已知为 ， 是以环心为极点的极角，环表面绝热，求解环内的温度变化。
6、求解绕圆柱的水流问题。在远离圆柱出水流是均匀的，流速为 ，圆柱半径为 。
7、半圆形薄板，半径为 ，板面绝热，边界直线上保持为零度，圆周上保持为 ，求稳定状态下的板上温度分布。
3、在本来均强的静电场 中，放置半径为 的导体球，使求解球外的静电场。
4、将 按照求函数 展开。
5、设有一均匀球体，在球面上温度为 ，试在稳定状态下球球内的温度分布。
6、求证：
7、试证平面波能用柱面波展开，即
其中 为平面波的振幅因子。
8、计算积分（反复利用递推关系）
9、半径为 ，高位 的圆柱体，其下底和侧面保持零度，上底温度分布为 求解柱体内各点的温度分布。
（1） ；
（2）
6、已知等势线族的方程为 常数，求复势。
第三章：
1、计算环路积分：
2、证明： 其中 是含有 的闭合曲线。
3、估计积分值
第四章：
1、泰勒展开
（1） 在 （2） 在 （3）函数 在
2、（1） 在区域 展成洛朗级数。
（2） 按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：①以 为中心展开；②在 的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。
7、
8、
第十章：
球函数：
1、球内：
球外:
2、
3、
4、
5、定解问题：
柱函数：
6、提示：利用 和
7、提示：利用 和 ，设
9、定解问题
10、定解问题
分别为 的广义傅里叶展开。
8、一均匀细棒长 ，一端固定，另一端在纵向力 的长期作用下，求解杆的稳恒振动。
9、用冲量定理法求解
10、用冲量定理法求解 为常数
第十章：
1、用一层不导电的物质把半径为 的导体球壳分隔为两个半球壳，并分别充电到 和 ，计算电势分布。
2、一空心圆球区域，内半径为 ，外半径为 ，内球面上有恒定电势 外球面上有电势保持为 均பைடு நூலகம்常数，试求内外球壳之间、空心球区域中的电势分布。
第八章：
1、长为 的均匀弦，两端 和 固定，弦中张力为 。在距一端为 的一点以力 把弦拉开平衡位置，然后突然撤除此力，求弦的自由振动。
2、一均匀细棒长 ，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当电梯速度达到 时突然停止，秋节竿的振动。
3、求解薄膜限定浓度的扩散问题
薄膜厚度为 ，杂质从两面进入薄膜，设单位表面积下杂质总量为 ，此外不再有杂质进入薄膜。在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的限定源扩散。
（2）奇点为： 为 一阶极点； 为 的本性奇点。
第五章：
1、（1）
（2）
（3）
（4）
2、（1） 和 为函数的单极点
（2）
3、（1） （2） （3）
4、（1） （2）
5、（1）
（2）
（3）
第六章：
1、
2、
3、
第七章：
1、 （在 上）
（在 上）
2、
第八章;
1、初始位移
2、
3、
4、
5、泛定方程为
6、 为任意值。
5、(1) ; ;
(2)选取极坐标
6、
第三章：
1、（1） （2）、 （3）、0（4）、 （5）、
2、设 为参变数，则
第四章：
1、（1）
（2）
（3）
2、(1)
(2) ① 时 ， 时 ， 时 ②
③ 时 ， 时 ；
④ ， 同③的结果，而 时， ， 时，
3、（1）两个奇点 所以， 为 的二阶极点。 为 的三阶极点。
数学物理方法习题
第一章：
应用矢量代数方法证明下列恒等式
1、
2、
3、
4、
5、
第二章：
1、下列各式在复平面上的意义是什么?
（1）
（2） ;
2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。
3、计算数值（ 和 为实常数， 为实变数）
4、函数 将 平面的下列曲线变为 平面上的什么曲线？
（1）
（2）
5、已知解析函数 的实部 或虚部 ，求解析函数。