第8讲 简谐振动特征

o
简谐振动的位移、速度及加速度随时间周期性变化。
2、简谐振动和匀速圆周运动的联系
可见： 作匀速圆周运动的质点在过圆心的 某一方向上投影的运动为简谐振动。
3、简谐振动的旋转矢量法
作一参考圆，如图：
x A cos(t ) v A sin (t )
a A 2 cos (t )
x0 0 v0 0 x0 0 v0 0
x0 0 v0 0
o
x0 0 v0 0
x
课堂练习：
① x0 A

A o
x
2 A v0 0 ② x0 2
③ x0 0
v0 0
A v0 0 ④ x0 2
课堂练习：
① x0 A

1、简谐振动的运动学特征 ①简谐振动的运动方程：
x A cos(t )
②简谐振动的速度方程：
dx v A sin (t ) dt
③简谐振动加速度方程：
dv 2 a A cos (t ) dt
简谐振动的位移、速度及加速度曲线
v x a
v
x
a t
A ②过 x 处向x 轴负Fra Baidu bibliotek向运动； 2
x
①过平衡位置向正方向运动；
平衡位置
x
①过平衡位置向正方向运动；
o
x
o

A


2
x
A ②过 x 处向x 轴负方向运动； 2 v0
o
x
x A 2
o
A


3
x
o
x
o
A
x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o
x
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
动 能
1 2 Ek min 0 Ek max kA 2 t T 1 1 2 1 2 2 E k E k dt kA kA sin ( t ) T t 4 2
1 Ek mv 2 2
势 能
E p 1 kx 2 2
1 kA2 cos2 ( t ) 2
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
x
o
A
x
F
o x
A
o
A
x
F
o x
o
A
x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
A
x
o
x
o
A
x
o
x
A
o x
o
位矢与x 轴的夹角为
a A t o v ax
v x
v

x 谐振动的位相，在t=0
时的夹角为初位相 。
A
旋转矢量
4、用旋转矢量法确定简谐振动的初位相
4、用旋转矢量法确定简谐振动的初位相
*用旋转矢量法确定简谐振动的初位相的原则：
由初始条件x 0、 v 0 确定旋转矢量所在位置， 旋转矢量和 ox 轴的夹角即为初位相 。
dt
2 g /l
d 2 0 2 dt
2
O
f
mg
结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。 角频率,振动的周期分别为：
g 0 l
T
2
0
2
l g
§4-2 简谐振动的运动学
一、简谐振动的运动学方程
简谐振动的微分方程
d x 2 x 0 2 dt
其通解为：
2
x A cos( t )
o
o
o
o
平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置
k
m
o
x
F kx
d x kx m 2 dt d x 2 x 0 2 dt
2
2
km
2
简谐振动微分方程
二、微振动的简谐近似
摆球对C 点的力矩 M mgl sin 当 sin
C
T
时 M mgl 2 2 d ml mgl 2
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
A
x
o
x
o
A
x
[例]一远洋轮，质量为m，浮在水面时其水平截面积
为S，设在水面附近轮船的水平截面积近似相等。设 水的密度ρ 为，且不计水的粘滞阻力，证明轮船在水 中作振幅较小的竖直自由运动是简谐振动，并求振动 周期。 解：船静浮于水面时，其重量等于浮力，此时的水面 即为系统的平衡位置。把坐标原点取在平衡位置上， 若竖直向下为正方向。当船体向下产生一位移x 时，
ρ
ρ ´
平 衡 b 位 置 ρ´
a
ρ
. c
s
0 y
x
任 a 意 位 b 置
s
. c
x
0
y
x
平衡时： (a b )sg bs g 0 任意位置木块受到的合外力为：
F (a b )sg (b x )s g
s gx
合外力和位移成正比,方向和位移相反,木块作谐振动。
① x0 A



2 A v0 0 ② x0 2
③ x0 0

4
2 A 2 4 v0 0 或 ④ x0 2 3 3
v0 0
o A
x
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
平衡位置
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，

1 l T 2 g 2
g l
3、位相和初位相
x A cos( t )
t — 位相，决定谐振动物体的运动状态
是t =0 时刻的位相 — 初位相
t =0 时
x 0 A cos
v 0 A sin
v0 tan x 0
位相差：两振动位相之差。
研究机械振动和机械波的基本规律。 包括振动、波动两大部分。
第四章 机械振动
（主要讨论简谐振动和振动的合成）
§4-1 简谐振动的动力学特征 §4-2 简谐振动的运动学 §4-3 简谐振动的能量 §4-4 振动的合成
§4-1 简谐振动的动力学特征
简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡
位置的位移x（或角位移）随时间 t 按余

4
2 A v0 0 ② x0 2
③ x0 0
A o
x
v0 0
A v0 0 ④ x0 2
课堂练习：
① x0 A



2
2 A v0 0 ② x0 2
③ x0 0

4
A o
x
v0 0
A v0 0 ④ x0 2
课堂练习：
其重力不变，合外力为浮力的增量，方向向上指向平
衡位置。即：
f ρgSx
式中Sx 为船体下沉时的体积，负号表示浮力增量与
船体位移始终反向。
d x f ma ρgSx dt d x ρgS ρgS 令： ω x 0 dt m m d x ω x 0 dt
2 2 2 2 2 2 2 2
E p max , E p min , E p
情况同动能。
1 E E k E p kA 2 2
机械能
简谐振动系统机械能守恒
E
Ek
Ep
2 1 E = 2 kA
o
x
t
o
谐振子的动能、势能及总能量
t x = A cosω t
§4-4 振动的合成
一、同方向、同频率谐振动的合成
质点同时参与同方向同频率的谐振动 : x1(t ) A1 cos(t 1 )

A
x 2 (t ) A2 cos(t 2 )
2 1
当 = 2k ，k = 0,±1,±2… ； 两振动步调相同,称同相 当 = (2k+1) , k=0,±1,±2... 两振动步调相反,称反相
0
2 超前于1 或 1滞后于 2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
三、简谐振动的旋转矢量表示法
可见，船体竖直方向的运动为简谐振动。 其振动的周期为：
2π m T 2π ω ρgS
[ 例] 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高 度为a,水面以下高度为b。水密度为 ρ ´木快密度为ρ 不计水的阻力。
a b
ρ
ρ ´
[ 例] 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高 度为a,水面以下高度为b。水密度为 ρ ´木快密度为ρ 不计水的阻力。现用外力将木块压入水中，使木快上 表面与水面平齐。
以弹簧振子为例 谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep 某一时刻，谐振子速度为v，位移为x
v A sin (t )
1 2 E k mv 2 1 kA 2 sin2 ( t ) 2
x A cos(t )
1 2 E p kx 2
1 kA 2 cos 2 (t ) 2
由上面得到： 由牛顿定律
2
F s gx
d x s gx (a b )s dt
2 2
d x g x 0 2 dt (a b )

g
(a b )
t 0
x a
0
A a
v 0
0
0
x a cos[
g
(a b )
]t
§4-3 简谐振动的能量
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
简谐振动的运动学方程
二、描述简谐振动的特征量
1、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
x A cos( t ) v A sin( t )
t 0 , x x 0 ,v v 0 v0 A sin x 0 A cos
初始条件
o
x
A
o
x
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
A
x
o
x
o
A
x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
A
x
o
x
o
A
x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A

A
v0 2 x0 ( )
2

2、周期、频率、圆频率 周期T ：物体完成一次全振动所需时间。 T
2 /
频率 ：单位时间内振动的次数。
角频率 ：
1/T
2 / T 2
1 2
g l
对弹簧振子：
m T 2 k
k m

k m
固有周期、固有频率、固有角频率 单摆
o
x
o
x
A
o
x
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
A
x
o
x
o
A
x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
x
o
x
A
o
o
o
o
o
o
o
A A
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
[ 例] 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高 度为a,水面以下高度为b。水密度为 ρ ´木快密度为ρ 不计水的阻力。现用外力将木块压入水中，使木快上 表面与水面平齐。
[ 例] 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高 度为a,水面以下高度为b。水密度为 ρ ´木快密度为ρ 不计水的阻力。现用外力将木块压入水中，使木快上 表面与水面平齐。 求证：木块将作谐振动，并写出谐振动方程。 a b
弦（或正弦）规律变化的振动。
x A cos( t )
一、弹簧振子模型
弹簧振子：弹簧—物体系统 物体—可看作质点 轻弹簧—质量忽略不计
o
o
o
o
o
o
o
o
o
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o
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o
o
o
o
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
求当t=0 时 [例]一沿竖直方向作简谐振动的振子， 以下两种情况的初位相 （设竖直向下为正方向） ①过平衡位置向正方向运动；
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，
[例]一沿竖直方向作简谐振动的振子，