零点定理

3.1.1 方程的根与函数的零点
1、函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点。
零点是一个点吗?
注意：零点指的是一个实数
2、等价关系
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
练习1：求下列函数的零点：
y 2x 8 y 2 log 3 x . （1 ） ; （2 ）
有 ② 在区间 (b,c) 上 ______( 有/无)零 -1 5 ， f (1) -4 1 ○ 在区间(-2,1)上有零点______； f (2) _______ _______, 点；f(b).f(c) _____ < 0（＜或＞）．
<上______( 有 有/无)零 ③ 在区间(c,d) 点； f(c).f(d) _____ 0 （＜或＞）． < 3 2 ○ 在区间(2,4)上有零点______； f (2) · f (4) ____0（＜或＞） ．
问题探究
思考 2：函数 y观察函数的图象 ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数 y＝f(x) ①在区间 (a,b)上______( 有/一定有零点？ 无)零点；
有
探究: f(a).f(b)_____0 （Ⅰ）观察二次函数 （＜或＞）． f ( x) x 2 2x 3 的图象：
． f (2) · f (1) _____0（＜或＞）
<
<
结 论
如果函数 y f ( x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0 ，那么，函数 y f ( x) 在区间 a , b 内有零点，
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。

（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 (b)<0。
f f(a)·
• 思考2：如果函数 y=f(x) 在[a,b]上是连 续的单调函数, 并且在闭区间的两个端点 上的函数值互异即f(a)f(b)﹤0, 那么这个 函数在(a,b)内的零点个数能确定吗？
• 如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续 的，并且在闭区间的两个端点上的函数 值互异即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那 么这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零 点。
y
y 0 a y
b
0 a y 0a
bBaidu Nhomakorabeax
b
x
x
0a
b
x
思考1：函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图象是一条连续不断的曲线，若函数 y=f(x)在区间(a, b)内有零点，一定 能得出f(a)· f(b)<0的结论吗？
y
0
a
bbb
bb
bb
b b bb x
b
结论：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线： （1）f(a)· f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零 点；
y
0 a
b x
练习2：在下列哪个区间内,函数f(x)= x3＋3x－5 一定有零点（ C ） A、(－1,0） B、(0,1） C、(1,2） D、(2,3） 练习3：已知函数f(x)的图象是连续不断的， 且有如下的x,f(x)对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 –7 11 –5 –12 –26 f(x 23 9 ) 那么该函数在区间 [1，6]上有且（ B ）零点. A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (1) x 4
(2)解方程f(x)=0；
(3)写出零点
1 ( 2) x 9
练习2：
(1)函数y=f(x)的图象如下， 则其零点为 -2,1,3 .
y 2 O
3
1 3
x
（2）函数
y x 3x 5有零点吗？
知识探究（二）：函数零点存在性原理