第四章 随机误差与系统误差
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根据数值及变化规律的掌握程度，可将系统误差分为已定 系统误差（简称已定系差）和未定系统误差（简称未定系 差）。 已定系差是指数值及其变化规律已经确定的系统误差； 未定系差是指数值或其变化规律未经确定的系统误差。未 定系差是系统误差中未被确定或不可掌握的部分，它常和 随机误差一起成为测量不确定度评定的主要对象。
第四章 随机误差与系统误差
一、随机误差
1.随机误差产生原因 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微 小因素所构成，这些因素在测量过程中相互交错、 随机变化，以不可预知方式综合地影响测量结果。 就个体而言是不确定的，但对其总体（大量个体 的总和）服从一定的统计规律，因此可以用统计 方法分析其对测量结果的影响。
（二）系统误差的分类
按变化规律，可将系统误差分为两类： 一类为固定值的系统误差，又称恒定系差，
其值（包括正负号）恒定。如：采用天平 称重时标准砝码误差引起的测量误差分量。
另一类为随条件变化的系统误差，又称可变 系差，其值以确定的、并通常是已知的规 律随某些测量条件变化。如：随着温度周 期性变化引起的温度附加误差。
常用的非正态分布
1、均匀分布（矩形分布） P(x)
等概率分布
p(x)
a
1
a
.................a.
x
a
0.......................xa , xa
标准偏差
a-
a+
（x） a a a
12 3 ................a. 表示分布区间的半宽度 a a
（三）系统误差的发现
系统误差的存在给测量结果带来影响，应 予以修正或消除。为此，首先要发现系统 误差。由于形成系统误差的因素错综复杂， 人们的认识不可避免有局限性，因此，通 常难于查明所有系统误差，不可能全部抵 消系统误差的影响。
1.定值系统误差的发现方法 2.变值系统误差的发现方法
1.定值系统误差的发现方法
2）统计检验法
用比对检验法发现系统误差，其测量次数不多，一般为1～4次，适 合于系统误差较大，且随机误差较小的场合。如果随机误差相对来说 比较大时，应采用统计检验的方法发现系统误差。
2.变值系统误差的发现方法
变值系统误差不但影响测量结果的平均值， 而且还会影响残差和分布规律。其发现方 法很多，先简要介绍两种
a
a 2 (1
x
2
)
.
....
.
.
.....
.
...a
a
xa
标准偏差
（x） a 1 2
6
4、反正弦分布（U形 分布）
p(x)
1 ................x a
a2 x2
0..............................x a
1）残差观察法 2）残差核算法
2.1残差观察法
将观察值按测量时的先后顺序排队，分别计算出它们的 残差，再将残差按测量先后顺序排队，然后列表或作图 （横轴为测量顺序，以次数表示；纵轴用残差表示）判 断有无变值系差。
正态分布的概率计算
p p(x)dx 0.6827 2
p p(x)dx 0.9545 2 3
p p(x)dx 0.9973 3
σ 前的系数1、2、3，与置信概率有关，称为置信因子，在不确定 度评定时，又称包含因子，以区别于传统统计理论
2
2、三角分布
p(
x)
a
a2 a
a2
x x
............. ..............0
aห้องสมุดไป่ตู้
x
x0 a
标准偏差为
-a
+a
（x） a
6
3、梯形分布
p(x)
1 a(1
)
........................x
（一）系统误差产生的原因
在长期的测量实践中人们发现，系统误差的产生一般与测量仪器或装置 本身的准确度有关；与测量者本身的状况及测量时的外界条件有关。
1）在检定或测试中，标准器或设备本身存在一定的误差；这 种误差称为装置误差。
2）测量时的客观环境条件（如温度、湿度、恒定磁场等）也 会给测量结果带来误差。如各地的重力加速度因地点不同而 异，相关重力加速度的测量，未按测量地点不同加以修正， 也会给测量结果带来误差；一般称为环境误差。
标准偏差
（x） a
2
-a
0
+a
3.随机误差的评定
随机误差按统计方法来评定，如用算术平 均值来评定测量结果的数值，实验标准偏 差、算术平均值实验标准偏差来评定测量 结果的分散性。
二、系统误差
在讨论随机误差时，总是有意忽略系统误 差，认为它等于零。若系统误差不存在， 期望值（总体均值）就是真值。但是，在 实际工作中系统误差是不能忽略的。
1）对比检验法
由定义可知，期望值与真值之差就是系统误差。如果用算术平均值 代替期望值，则算术平均值与真值之差可近似为系统误差。因此我们 用某一计量器具对某一量进行多次测量后，取得算是平均值，然后再 用准确度等级更高的计量器具对同一量仍进行多次测量，并把他的平 均值当作约定真值，则前后两次测量的算术平均值之差就可认为是系 统误差；
3）某些测量方法的不完善引起。这种误差称为方法误差或理 论误差；
4）测量者本身生理上的某些缺陷给测量结果带来误差。此项 误差称为人员误差。
（二）系统误差的分类
系统误差是在重复性条件下，对同一被测量进行无穷多次 测量所得结果的平均值与被测量真值之差。 真值虽一样， 系统误差及其原因却不能完全知道。
随机误差是测量结果与在重复性条件下，对同一被 测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。
2.随机误差的特点
事实表明，大多数的随机误差具有：单峰性 （即绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误 差出现概率大）、对称性（即绝对值相等的正误 差和负误差出现概率相等）、有界性（在一定测 量条件下，误差的绝对值不会超过某一界限）、 抵偿性（在同一条件下，对同一量进行重复测量 时，随着测量次数的增多，随机误差的代数和为 零，或者说随机误差的期望值为零）等特性。其 它如三角分布、均匀分布等也有类似特性，但抵 偿性是随机误差特点中最本质的统计特性。
第四章 随机误差与系统误差
一、随机误差
1.随机误差产生原因 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微 小因素所构成，这些因素在测量过程中相互交错、 随机变化，以不可预知方式综合地影响测量结果。 就个体而言是不确定的，但对其总体（大量个体 的总和）服从一定的统计规律，因此可以用统计 方法分析其对测量结果的影响。
（二）系统误差的分类
按变化规律，可将系统误差分为两类： 一类为固定值的系统误差，又称恒定系差，
其值（包括正负号）恒定。如：采用天平 称重时标准砝码误差引起的测量误差分量。
另一类为随条件变化的系统误差，又称可变 系差，其值以确定的、并通常是已知的规 律随某些测量条件变化。如：随着温度周 期性变化引起的温度附加误差。
常用的非正态分布
1、均匀分布（矩形分布） P(x)
等概率分布
p(x)
a
1
a
.................a.
x
a
0.......................xa , xa
标准偏差
a-
a+
（x） a a a
12 3 ................a. 表示分布区间的半宽度 a a
（三）系统误差的发现
系统误差的存在给测量结果带来影响，应 予以修正或消除。为此，首先要发现系统 误差。由于形成系统误差的因素错综复杂， 人们的认识不可避免有局限性，因此，通 常难于查明所有系统误差，不可能全部抵 消系统误差的影响。
1.定值系统误差的发现方法 2.变值系统误差的发现方法
1.定值系统误差的发现方法
2）统计检验法
用比对检验法发现系统误差，其测量次数不多，一般为1～4次，适 合于系统误差较大，且随机误差较小的场合。如果随机误差相对来说 比较大时，应采用统计检验的方法发现系统误差。
2.变值系统误差的发现方法
变值系统误差不但影响测量结果的平均值， 而且还会影响残差和分布规律。其发现方 法很多，先简要介绍两种
a
a 2 (1
x
2
)
.
....
.
.
.....
.
...a
a
xa
标准偏差
（x） a 1 2
6
4、反正弦分布（U形 分布）
p(x)
1 ................x a
a2 x2
0..............................x a
1）残差观察法 2）残差核算法
2.1残差观察法
将观察值按测量时的先后顺序排队，分别计算出它们的 残差，再将残差按测量先后顺序排队，然后列表或作图 （横轴为测量顺序，以次数表示；纵轴用残差表示）判 断有无变值系差。
正态分布的概率计算
p p(x)dx 0.6827 2
p p(x)dx 0.9545 2 3
p p(x)dx 0.9973 3
σ 前的系数1、2、3，与置信概率有关，称为置信因子，在不确定 度评定时，又称包含因子，以区别于传统统计理论
2
2、三角分布
p(
x)
a
a2 a
a2
x x
............. ..............0
aห้องสมุดไป่ตู้
x
x0 a
标准偏差为
-a
+a
（x） a
6
3、梯形分布
p(x)
1 a(1
)
........................x
（一）系统误差产生的原因
在长期的测量实践中人们发现，系统误差的产生一般与测量仪器或装置 本身的准确度有关；与测量者本身的状况及测量时的外界条件有关。
1）在检定或测试中，标准器或设备本身存在一定的误差；这 种误差称为装置误差。
2）测量时的客观环境条件（如温度、湿度、恒定磁场等）也 会给测量结果带来误差。如各地的重力加速度因地点不同而 异，相关重力加速度的测量，未按测量地点不同加以修正， 也会给测量结果带来误差；一般称为环境误差。
标准偏差
（x） a
2
-a
0
+a
3.随机误差的评定
随机误差按统计方法来评定，如用算术平 均值来评定测量结果的数值，实验标准偏 差、算术平均值实验标准偏差来评定测量 结果的分散性。
二、系统误差
在讨论随机误差时，总是有意忽略系统误 差，认为它等于零。若系统误差不存在， 期望值（总体均值）就是真值。但是，在 实际工作中系统误差是不能忽略的。
1）对比检验法
由定义可知，期望值与真值之差就是系统误差。如果用算术平均值 代替期望值，则算术平均值与真值之差可近似为系统误差。因此我们 用某一计量器具对某一量进行多次测量后，取得算是平均值，然后再 用准确度等级更高的计量器具对同一量仍进行多次测量，并把他的平 均值当作约定真值，则前后两次测量的算术平均值之差就可认为是系 统误差；
3）某些测量方法的不完善引起。这种误差称为方法误差或理 论误差；
4）测量者本身生理上的某些缺陷给测量结果带来误差。此项 误差称为人员误差。
（二）系统误差的分类
系统误差是在重复性条件下，对同一被测量进行无穷多次 测量所得结果的平均值与被测量真值之差。 真值虽一样， 系统误差及其原因却不能完全知道。
随机误差是测量结果与在重复性条件下，对同一被 测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。
2.随机误差的特点
事实表明，大多数的随机误差具有：单峰性 （即绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误 差出现概率大）、对称性（即绝对值相等的正误 差和负误差出现概率相等）、有界性（在一定测 量条件下，误差的绝对值不会超过某一界限）、 抵偿性（在同一条件下，对同一量进行重复测量 时，随着测量次数的增多，随机误差的代数和为 零，或者说随机误差的期望值为零）等特性。其 它如三角分布、均匀分布等也有类似特性，但抵 偿性是随机误差特点中最本质的统计特性。