高中数学数列讲义
高中数学第二章数列2.1.1数列的概念与通项公式课件新人教A版必修
解析：(1)该数列的第 10 项 a10＝21× 0＋102＝53. (2)令 an＝194，即n2＋n2＝194，解得 n＝7. 所以194是数列中的项，且是数列的第 7 项．
|素养提升|
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质 (1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中 的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复出现． (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且 与这些数的排列次序也有关．
跟踪训练 2 根据以下数列的前 4 项写出数列的一个通项 公式．
(1)2×1 4，3×1 5，4×1 6，5×1 7； (2)－3,7，－15,31； (3)2,6,2,6.
解析：(1)均是分式且分子均为 1，分母均是两因数的积，第 一个因数是项数加上 1，第二个因数比第一个因数大 2，
所以 an＝n＋11n＋3. (2)正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号， 各项的绝对值恰是 2 的整数(项数加 1)次幂减 1，所以 an＝(－ 1)n(2n＋1－1)． (3)此数列为摆动数列，一般求两数的平均数2＋2 6＝4，而 2 ＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示．
【课标要求】 1.通过实例，了解数列的概念. 2.掌握数列的两种分类，能对具体数列作出判断. 3.理解数列通项公式的概念，能根据数列的前几项写出数列 的通项公式. 4.能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题.
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫 做这个数列的项．数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，…， 简记为{an}．
解析：由
an＝2
高中数学 第1章 数列 1.1 数列的概念讲义教案 北师大版必修5
学习资料数列§1数列1．1数列的概念学习目标核心素养1．了解数列通项公式的概念．2．能根据通项公式确定数列的某一项．(重点) 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．（重点、难点）1．通过数列基本概念的学习培养数学抽象素养．2．通过数列通项公式的应用培养逻辑推理及数学运算素养．1．数列的基本概念阅读教材P3～P4，完成下列问题．(1)数列的有关概念数列按一定次序排列的一列数叫作数列项数列中的每一个数叫作这个数列的项首项数列的第1项常称为首项通项数列中的第n项a n叫数列的通项(2)数列的表示①一般形式：a1,a2，a3，…,a n，…；②字母表示：上面数列也可记为｛a n}．③数列的分类分类标准名称含义举例按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2，3,4，…，n 无穷数列项数无限的数列1，4,9,…,n2，…思考：(1)［提示]数列1，2,3，4,5和数列5,4，3,2，1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．（2）数列的项和项数有何区别?[提示]数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号,如数列1,2，3，4，5中第1项为a1＝1,其项数是1．2．通项公式阅读教材P5“抽象概括”以下至“例1"以上的内容，完成下列问题．(1）如果数列｛a n｝的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子表示成a n＝f(n），那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．(2）数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．思考：（1)若a n＝2n－1，则a2＋a3的值是什么?[提示］因为a n＝2n－1,所以a2＝2×2－1＝3,a3＝2×3－1＝5，则a2＋a3＝3＋5＝8．（2)数列的通项公式a n＝f(n）与函数解析式y＝f(x)有什么异同？［提示］数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝）为定义域的函数a n＝f（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域:数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2＋1,则122是该数列的（)A．第9项B．第10项C．第11项D．第12项C[由n2＋1＝122得n2＝121,∴n＝11．故选C．]2．数列3,4，5,6，…的一个通项公式为（)A．a n＝n B．a n＝n＋1C．a n＝n＋2 D．a n＝2nC[经检验可知,它的一个通项公式为a n＝n＋2．]3．若数列{a n}的通项公式为a n＝sin 错误!,则a2＝________．0[a2＝sin 错误!＝sin π＝0．]4．已知数列｛a n}的通项公式为a n＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是________，第9项是________．1－1［当n＝8时，a8＝（－1)8＝1．当n＝9时，a9＝(－1)9＝－1．］数列的概念【例1】(1A．数列0,1，2,3，…的首项是0B．数列｛a n｝中，若a1＝3，则从第2项起，各项都不等于3C．数列中的每一项都是数D．如果已知数列的通项公式，那么可以写出该数列的任意一项(2）下列各组元素能构成数列吗?如果能,构成的数列是有穷数列,还是无穷数列？并说明理由．①8,8,8，8；②－3,－1,1，x，5,7，y，11；③当n取1,2，3,4，…时，(－1）n的值排成的一列数．(1）B［同一个数可以在一个数列中重复出现,故B错误．]（2)［解]①能构成数列，且构成的是有穷数列．②当x，y代表数时是数列,此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的．③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1，1，－1,1,…．数列及其分类的判定方法(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数．(2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列,否则是无穷数列．错误!1．下列说法正确的是（)A．1,2,3，4，…，n是无穷数列B．数列3，5，7与数列7,5,3是相同数列C．同一个数在数列中不能重复出现D．数列｛2n＋1｝的第6项是13D［A错误，数列1,2，…，n，共n项,是有穷数列．B错误，数列是有次序的．C错误，数列中的数可以重复出现．D正确，当n＝6时,2×6＋1＝13．]根据数列的前n项写出数列的通项公式（1)错误!，错误!,错误!，错误!，…；（2)错误!，2，错误!，8，错误!，…；（3)－1，2，－3，4，…；（4)2,22，222,2 222，…．［解]（1）分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5，5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积．故a n＝错误!．(2)将分母统一成2，则数列变为错误!，错误!，错误!，错误!,错误!，…，其各项的分子为n2．∴a n＝错误!．(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同,且奇数项为负,偶数项为正，故a n＝（－1)n·n．(4）通过观察分析可知所求通项公式为a n＝错误!(10n－1)．由数列的前几项求通项公式的思路（1）通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系．(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数,或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式．(3）要借助一些基本数列的通项,如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等．（4）符号用（－1）n或(－1)n＋1来调整．（5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系．[跟进训练]2．(1）数列1，错误!,错误!，错误!,错误!，…的一个通项公式a n＝(）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（2）根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．①错误!，错误!，错误!，错误!，…；②－3，7，－15,31，…;③2，6，2,6，…．(1）B［由已知得，数列可写成错误!，错误!,错误!,错误!，错误!,…，故通项公式为n2n－1．］（2)[解]①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，所以a n＝1(n＋1)(n＋3)．②正负相间，且负号在奇数项,故可用（－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数（项数加1)次幂减1，所以a n＝（－1)n（2n＋1－1）．③此数列为摆动数列，一般求两数的平均数错误!＝4,而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1）n 来表示．所以a n ＝4＋（－1)n ·2或a n ＝错误!通项公式的应用［探究问题]1．已知数列{a n }的通项公式,如何求数列的某一项？[提示] 把n 的值代入通项公式进行计算即可，相当于函数中，已知函数的解析式和自变量的值求函数值关于n 的方程．2．已知数列{a n ｝的通项公式，如何判断某一个数是否为该数列中的项？[提示］ 假定这个数是数列中的第n 项，由通项公式可得关于n 的方程，解方程求得n ，若n 是正整数，则该数是数列中的项；若方程无解或n 不是正整数，则该数不是数列中的项．【例3】 数列｛a n ｝的通项公式是a n ＝n 2－21n 2(n ∈N ＋）．（1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是,那么是第几项？（2）数列｛a n ｝中是否存在连续且相等的两项？若存在,分别是第几项？ 思路探究：（1）错误!⇒错误!⇒错误!（2）假设存在连续且相等的两项⇒错误!⇒错误!⇒错误! ［解］ （1)若0是{a n }中的第n 项,则错误!＝0， 因为n ∈N ＋，所以n ＝21．所以0是{a n }中的第21项． 若1是{a n ｝中的第n 项，则错误!＝1, 所以n 2－21n ＝2， 即n 2－21n －2＝0．因为方程n 2－21n －2＝0不存在正整数解， 所以1不是｛a n ｝中的项．（2)假设｛a n ｝中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1,解得m ＝10． 所以数列｛a n ｝中存在连续的两项，即第10项与第11项相等．1．(变条件)在例3中，把“a n ＝错误!”改为“a n ＝n 2－3n ”，解答(1）（2）两题． [解］ (1)若0是{a n ｝中的第n 项，则n 2－3n ＝0，因为n ∈N ＋,所以n ＝3，故0是{a n }中的第3项．若1是{a n }中的第n 项，则n 2－3n ＝1,即n 2－3n －1＝0，因为方程n 2－3n －1＝0不存在正整数解，所以1不是{a n ｝中的项．(2）假设{a n ｝中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1,所以m 2－3m ＝（m ＋1)2－3(m ＋1),解得m ＝1．所以数列｛a n ｝中存在连续的两项,第1项与第2项相等．2．（变结论）例3的条件不变,求a 3＋a 4的值和a 2n ．[解] a 3＋a 4＝32－21×32＋错误!＝－61，a 2n ＝错误!＝2n 2－21n ．1．由通项公式写出数列的指定项,主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根,根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．1．观察法写通项公式的注意事项据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．2．并非每一个数列均有通项公式，例如由错误!的不足近似值构成的数列1,1．4,1．41,1．414，…，便无通项公式．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”） (1）数列中的项不能相等．( ) (2）数列1，2，3，4,…，n －1，只有n －1项． ( ） (3）数列1,2，3,4，…，n 2是无穷数列． ( ）［答案] (1）× (2)√ (3）×[提示］ 数列中的项可以相等，故(1)错；数列1,2，3，4,…,n 2共n 2项，是有穷数列,故(3)错．2．在数列－1，0,19，错误!，…,错误!，…中0．08是它的( ）A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项C [由题意知，a n ＝错误!． 令a n ＝0．08，即错误!＝错误!， 所以n ＝10,n ＝52（舍去），故选C ．]3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n ，则a 2n ＝________，错误!＝________．3－4n错误![根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．因为a n＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n,错误!＝错误!＝错误!．]4．已知数列{a n｝的通项公式为a n＝错误!．（1）写出数列的前三项；（2）错误!和错误!是不是数列｛a n｝中的项？如果是，是第几项? ［解](1）数列的前三项：a1＝错误!＝1，a2＝错误!＝错误!＝错误!，a3＝错误!＝错误!＝错误!．（2)令错误!＝错误!,则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8,注意到n∈N＋，故n＝－8舍去．所以错误!是数列｛a n}的第5项．令错误!＝错误!，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝错误!或n＝－错误!，注意到n∈N＋,所以错误!不是数列{a n}中的项．。
【苏教版】高中数学必修五第1课时：2.1《数列》课时讲义(江苏省启东中学)
【苏教版】高中数学必修五第2章数列§2.1 数列的概念及其通项公式课时讲义【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用。
难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式。
【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。
2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的7列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．． 这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这7组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。
新教材高中数学第4章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念及简单表示法课件新人教A版选择性必修第二册
C [代入验证可知 C 正确．]
4．数列 1，2， 7， 10， 13，…中的第 26 项为________．
2 19 [因为 a1＝1＝ 1，a2＝2＝ 4， a3＝ 7，a4＝ 10，a5＝ 13，所以 an＝ 3n－2， 所以 a26＝ 3×26－2＝ 76＝2 19.]
5．(一题两空)填空：2，3，____，5，2，____，2，9，2，11，… 2 7 [观察发现规律 an＝2n，＋n1为，奇n为数偶，数. ]
1．有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷 数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有 穷数列，否则为无穷数列．
2．数列{an}的单调性：若满足 an＜an＋1，则{an}是递增数列；若 满足 an＞an＋1，则{an}是递减数列；若满足 an＝an＋1，则{an}是常数列； 若 an 与 an＋1 的大小不确定，则{an}是摆动数列．
[提示] 由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象 是分布在二次函数 y＝－x2＋2x＋1 图象上的离散的点，如 图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前 两项为正数项，从第 3 项往后各项为负数项．
【例 3】 已知数列{an}的通项公式为 an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第 4 项和第 6 项； (2)－49 是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68 是否是 该数列的一项呢？ [思路探究] (1)将 n＝4，n＝6 分别代入 an 求出数值即可； (2)令 3n2－28n＝－49 和 3n2－28n＝68，求得 n 是否为正整数并 判断．
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是 ________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是 ________(填序号)．
高中数学讲义 第五章 数列 (超级详细)
（3）由函数 f (x) x2 8x 5 的单调性： (, 4) 是减区间， (4, ) 是增区间，
所以当 n 4 时， an 最小，即 a4 最小。
点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解 决数列的问题有时非常方便。
①
2[(b1 b2 ... bn bn1) (n 1)] (n 1)bn1.
②；
②－①，得 2(bn1 1) (n 1)bn1 nbn , 即 (n 1)bn1 nbn 2 0, ③
∴ nbn2 (n 1)bn1 2 0. ④
③－④，得 nbn2 2nbn1 nbn 0, 即
数列的比较简单的数列进行化归与转化． 4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等． 5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．
第 1 课 数列的概念
【考点导读】 1． 了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解 数列是一种特殊的函数； 2． 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；
∴ a1 an 60
（2）答案：2
因为前三项和为 12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝ S3 ＝4 3
又 a1·a2·a3＝48， ∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8， 把 a1，a3 作为方程的两根且 a1＜a3， ∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴选 B. 点评：本题考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。
高中数学竞赛讲义(五)──数列
高中数学竞赛讲义（五）──数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。
其中a1叫做数列的首项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n表示{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等比数列，q叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。
定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。
高中数学数列讲义
----数列讲义授课教师：听课学生：2021 -6-20PartI根底达标一、数列数列的根本概念及性质数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作a，在数列第一个位置的项叫第1项〔或首n项〕，在第二个位置的叫第2项，,,，序号为n的项叫第n项〔也叫通项〕记作a；n 数列的一般形式：a，a2，a3，,,，a n，,,，简记作a n。
1通项公式的定义：如果数列{a n}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是a=n〔n7，nN〕，数列②的通项公式是a n=n 1 n〔nN〕。
注意：①a表示数列，an表示数列中的第n项，a n=fn表示数列的通项公式；n②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，a=(1)n=n 1,n2k11,n2k(kZ)；③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，,,数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N〔或它的有限子集〕的函数f(n)当自变量n从1开场依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2),f(3),,,，f(n)，,,．通常用an 来代替fn，其图象是一群孤立点。
数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列〔递增数列、递减数列〕、常数列和摆动数列。
递推公式定义：如果数列a n的第1项〔或前几项〕，且任一项a n与它的前一项a n1〔或前几项〕间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
数列{a n}的前n项和S n与通项a n的关系：anS(n1)1SS(n≥2)nn112021 -6-202.例题讲解与练习类型一：数列的根本计算1.数列{a n}中，an1a2,a(n2,3,4,1n1a〕，那么它的前5项是。
高中数列讲解PPT课件
求数列的前n项和，通常要掌握以下解法： 直接法 (公式法) 倒序相加法
错位相减法 分组转化法
2019/8/12
裂项相消法
“an ”法
一、公式法求和：
1．（1）直接用等差、等比数列的求和公式求和。
Sn
n(a1 2
an
)
na1
n(n 1) 2
d
Sn 公na比1a(111含(qq字qn1母)) 是a1一1定aqn要q (讨q 论0且q 1)
数列引入：
• 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上通过画点发现了一连串具有规律的数，后人 将这些按一定顺序排列的数称为数列。
• （1） • a1
（4） a2
（9） a3
（16） a4
• 上面就是著名的正方形数，通过观察可以得到它们可以表示为：an=n²
• 这里的a1,a2,a3,...,an,...就是数列的一般形式,简记为：{an}
解：根据题意，从2001-2010 年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加 50 万元.所以，可以建立一个等差数列{ an} ,表示从2001 年起各年投入的资金，其中a1= 500， d=50. 那么，到2010 年（n=10），投入的资金总额为
Sn=10*500+10*(10-1)*50/2=7250（万元） 答：从2001~2010 年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250 万元.
注意：等比数列公比 q 是任意常数,可正可负；首项a1和公比q均不为 0.
·等比数列的前n项和：Sn=na , 1
(q=1)
Sn=a (1-qn)/(1-q) ， (q≠1） 1
例3 ：一个等比数列的第3 项和第4 项分别是12 和18,求它的第1 项和第2 项. 解：由题意知a3=12,a4=18,得：
高中数学《数列》讲义
高中数学《数列》讲义(1) 数列的定义与递推公式1：已知前四项，写出数列的通项公式如： （1）7，14，21，28……….（2）...............327,1658341，，，，（3） (514)4113825，，，，（4）1617-815,413-211，，.2. 已知数列 {}n a 中， ()-1111,21n n n a a a n a -==≥+ （提示： 两边同时取倒数）（1）写出数列{}n a 的前5项；（2）猜想数列 {}n a 的通项公式，并验证所猜想的通项公式满足所给的递推公式 3. 已知数列{}()212,1,111≥+==--n a a a a a n n n n ，那么=n a 1（ ）（A ）12-=n a n （B ）121-=n a n C ）2+1n a n = （D ）12+1n a n = (2)等差数列：1） 定义：d a a n n =-+1， 2） 通项公式：()d n a a n 11-+= 3） 前几项和公式 ()()21211dn n na na a s n n -+=+= 4） 等差数列的性质：1. 序号性质：若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+ 特别地，若 m+n=2p 则p n m a a a 2=+2. 等差中项性质：若a, B, c 成等差数列，则a+c=2B3. 连续 m 项和也成等差数列如连续3项和： 36396129 , , , s s s s s s s ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 123456789, , ,.......a a a a a a a a a ++++++也成等差数列。
5） 等差数列的判定： 1.定义判定，如：21111=-+n n a a ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以_______首项，_______公差的等差数列。
2.根据等差中项3.若通项公式为q pn a n += 格式，如 23-=n a n ，则 {}n a 为等差数列4.若Bn An S n +=2，则 {}n a 为等差数列。
高二数学讲义第6讲数列
第6讲： 数列【考纲要求】了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式.类比函数理解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式等），能根据项数多少、数列的性质对数列分类.了解递推公式是给出数列的一种方法.掌握根据递推公式写出数列的前n 项的技巧.会利用一些简单的递推公式求出数列的通项.【教学重难点】数列的通项公式【重难点命题方向】 数列的通项公式预习探求1． 叫做数列， 叫做这个数列的项.2． 就叫做这个数列的通项公式.3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以 来表示一个数列，图象是一些 ，它们位于 .4．根椐数列的项数可以把数列分为 和 .根据数列中项与项的大小关系可以把数列分为 、 、 和 .5． ,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.自主探究题型一 根据数列{}n a 的前几项，写出数列的通项公式.例1 写出下列数列的一个通项公式：(1) ,33,17,9,5,3； （2） ,544,433,322,211； (3) ,777,,7777,777,77,7； （4）.,1337,1126,917,710,1,32 ---方法提升：一题一练：分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出.（1）;,515,414,313,2122222 ---- （2）;,201,121,61,21 --（3）;9999.0,999.0,99.0,9.0 （4）.,4,5,4,5题型二 数列通项公式的简单应用例2 已知数列 ,2625,1716,109,54 （1）写出这个数列的一个通项公式；（2）判定0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？方法提升：一题一练： 已知数列{}n a 的通项公式n n q a =，且.7224=-a a（1数q 的值；（2）判断81-是否为此数列的某一项题型三 数列的函数性例3：函数xx x f 1)(-= ，设()+∈=N n n f a n )( （1）求证：1<n a ；（2）{}n a 是递增数列还是递减数列？为什么？方法提升：一题一练： 已知函数()1121)(≥+-=x x x x f ，构造函数))((+∈=N n n f a n （1）求证：2->n a ；（2）{}n a 是递增数列还是递减数列？为什么？题型四 数列的递推公式例4 已知数列{}n a 分别满足下列条件，写出它的前五项，并归纳出各数列的一个通项公式.(1));12(,011-+==+n a a a n n (2).22,111+==+n n n a a a a方法提升： 一题一练：如果)2(12,81114≥+==--n a a a a n n n ，试写出数列的前3项，并猜想出它的一个通项公式。
人教版高中数学选择性必修2第四章《数列》PPT课件
三、等差、等比数列的性质及应用
1.等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前n项和的 性质，利用性质求数列中某一项等.试题充分体现“小”“巧”“活” 的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档. 2.借助等差、等比数列的性质及应用，提升逻辑推理、数学运算等核心 素养.
例3 (1)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn
2 由SS奇偶＋∶SS偶奇＝＝6114∶0，9， 解得 S 奇＝288，S 偶＝352.
因此 d＝S偶－8 S奇＝684＝8，aa98＝SS偶奇＝191.
(2)在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列的前 13项和为
A.13
√B.26
C.52
D.156
解析 3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24， ∴6a4＋6a10＝24，∴a4＋a10＝4，
(2)求 f 12，并说明 f 12<2.
解 由(1)知f(x)＝x＋2x2＋…＋nxn，
所以 f 12＝12＋2×212＋3×213＋…＋n×21n，
①
1 2
f
12＝212＋2×213＋3×214＋…＋(n－1)21n＋n×2n1＋1，
②
由①－②得12 f 12＝12＋212＋…＋21n－n×2n1＋1＝1－21n－2nn＋1，
与奇数项和之比为 11∶9，则公差 d，aa98的值分别是
A.8，190
B.9，190
C.9，191
√D.8，191
解析 设S奇＝a1＋a3＋…＋a15，S偶＝a2＋a4＋…＋a16， 则有S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a16－a15)＝8d，
高中数学第五章数列5.1数列基础5.1.1数列的概念课件新人教B版选择性必修第三册
解 an=(-1) ·.
(2)√3,3,√15, √21;
解 数列可化为√3, √9, √15, √21,…,即√3 × 1, √3 × 3, √3 × 5, √3 × 7,…,故原
数列的一个通项公式为 an= 3(2-1) =
6-3.
(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9;
10
11
,该数列有没有最大
项?若有,求出其最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.
解(方法一)an+1-an=(n+2)
10 +1
10
-(n+1)
11
11
=
10
11
解
1
1
1
1
原数列可变形为(1-10 ),(1-102 ),(1-103 ),(1-104 ),…,故数列的一个通项公式为
1
an=1- .
10
(4)3,5,3,5.
解 数列的前4项中奇数项为3,偶数项为5,所以数列的一个通项公式为
an=
3,为奇数,
此数列还可以这样考虑,3与5的算术平均值为4,4+1=5,4-
,无穷数列为 ②③
,递增数列
为
①
,常数列为
②
,摆动数列为
③
.(填序号)
解析 ①为有穷数列且为递增数列;②③为无穷数列,其中②为常数列,③为
摆动数列.
探究点二
数列的通项公式
角度1.观察法求通项公式
【例2】 写出无穷数列{an}的一个通项公式,使它的前4项是下列各数:
1 1 1
(1)-1,2,-3 , 4;
(2)数列的通项公式在形式上不一定是唯一的.
高中数学数列全套教学课件
三数等差： a d , a, a d 设 元 四数等差： a 3d, a d, a d, a 3d 技巧
首先把握好通项公式和前 n 项和公式,对于
性质主要是理．解．(也就是说自己能推导出来)
例 1.等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，
则它的前 3m 项和为（ C）
n( n1)
（A） 3 2
n2 n2
（B） 3 2
（C） 3n2 n1 （D）B
第17讲等差数列
1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的
差(比即 )等a于n 同 一an个1 常 数d (，d是 这个常数数列,叫且做n等≥差2数) 列.
关系,可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的通项公式. 即 an f (n)(n N * ) .
3.递推公式:数列的第 n 项 an 与它前面相邻一项 an1 (或相邻 n 项)所满足关系式叫递推公式.
作业
练习
练习:
5
1.
已知数列 an 的通项公式 an
(1)n
n
n
1
,则
a5
=_____6_.
即 an
Sn S1
Sn1
(n ≥2,n N*) (a 1)
例 1 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 2n2 3n 1 ,
则通项 an =_________.
例 2 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且对任意正整数 n 都有 2Sn (n 2)an 1,求数列 an 的通项公式.
(B) 25 9
(C) 25 16
(D) 31 15
累积法:
注意到 an
an an 1
an1 an 2
高中数学讲义：等差数列性质
等差数列性质一、基础知识：1、定义：数列{}n a 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{}n a 是等差数列，这个常数称为{}n a 的公差，通常用d 表示2、等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，此通项公式存在以下几种变形：（1）()n m a a n m d =+-，其中m n ¹：已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式（2）n ma a d n m -=-：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）11n a a n d-=+：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果,,a b c 成等差数列，则b 称为,a c 的等差中项（1）等差中项的性质：若b 为,a c 的等差中项，则有c b b a -=-即2b a c =+（2）如果{}n a 为等差数列，则2,n n N *"³Î，n a 均为11,n n a a -+的等差中项（3）如果{}n a 为等差数列，则m n p q a a a a m n p q+=+Û+=+注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。
比如m n p q s +=++，则m n p q s a a a a a +=++不一定成立② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。
例如：478920a a a a +++=，可得478977777420a a a a a a a a a +++=+++==，即可得到75a =，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：()111n a a n d d n a d =+-=×+-，所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。
例如：0d >，{}n a 递增；0d <，{}n a 递减。
高中数学第二章数列2.1数列名师讲义新人教B版必修5
递减数列
从第二项起，每一项小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
[小试身手 ]
1．判断下列命题是否正确． (正确的打“√” ，错误的打“×” )
(1)数列 1,1,1，…是无穷数列 ( )
(2)数列 1,2,3,4和数列 1,2,4,3是同一个数列 ( )
(3)有些数列没有通项公式 ( )
解析： (1)正确．每项都为 1 的常数列，有无穷多项．
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
2.1 数 列
2． 1.1 数 列
预习课本 P25～ 27， 思考并完成以下问题 (1)什么是数列？什么叫数列的通项公式？
(2)数列的项与项数一样吗？
(3)数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？
(4)数列如何分类？分类的标准是什么？
序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列
4,5,6,7,8,9,10与数列 10,9,8,7,6,5,4是不同的数
列．
(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重
复出现．例如： 1，－ 1,1，－ 1,1，…； 2,2,2，… .
2．数列的通项公式
如果数列的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个函数式 做这个数列的通项公式．
an＝ an＋1，则是常数列；若
[活学活用 ]
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
给出以下数列： ①1，－ 1,1，－ 1，…； ②2,4,6,8，…， 1 000； ③8,8,8,8，…； ④0.8,0.82,0.83,0.84，…， 0.810. 其中，有穷数列为 ________；无穷数列为 ________；递增数列为 ________；递减数列为 ________；摆动数列为 ________；常数列为 ________． (填序号 ) 解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为 ①；常数列为③ .
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
. .. . .数列讲义授课教师：听课学生：2015-6-20Part I 基础达标 一、数列数列的基本概念及性质● 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
● 通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。
注意：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n-=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，……● 数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
●数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
●递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
●数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥2. 例题讲解与练习☺ 类型一：数列的基本计算1. 数列{}n a 中，1112,(2,3,4,1n n n a a a n a --===-），则它的前5 项是 。
2. 数列{}n a 中，12211,2,,n n n a a a a a ++===+则7a =。
☺ 类型二：根据数列的有限项，写出数列的通项公式3. 求以下数列的通项公式（1）9，99，999，9999，……；a n = ; （2）7，77，777，7777，……；a n = ; （3）7，-77，777，-7777，……；a n = ; （4）1．-1，1，-1，……；a n = ; （5）1，0，1，0，……；a n = ;（6）12341,2,3,4,2345……；a n = ;☺ 类型三：已知数列的前n 项和求数列的通项公式4. 已知数列{a n }的前n 项和为221n S n n =++，求数列{a n }的通项公式；5. 已知数列{a n }的前n 项和为22n S n n=+，求数列{a n }的通项公式。
6. 已知数列{a n }的前n 项和为1(1)n n S n+=-,则通项a n = ;注意：（1）公式表示的是数列的前n 项和与通项之间的关系。
（2）切勿忽视n=1的情形。
☺ 类型四：用递推公式求数列的通项公式7. 数列{}n a 中，满足112,n n a a a n+==+，求数列{a n }的通项公式；8. 数列{}n a 中，满足112,1n nn a a a n +==+，求数列{a n }的通项公式；☺ 类型五：数列与函数的结合9. 已知函数x x x f 1-)(=，设*))((N n n f a n ∈=（1）求证：1<n a ；（2）{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？二、等差数列1. 等差数列定义和基本性质● 等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
● 等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
● 等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a bA +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=。
●等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+。
● 等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP ，如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （5）设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，则有：（i ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ②1n n S aS a +=奇偶； （ii ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②1S nS n =-奇偶。
（6）m m m m m S S ,S S ,S 232--仍成等差数列数列最值（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或10n n a a +≤⎧⎨≥⎩。
2. 例题讲解与练习1. 在等差数列{a n }中，a 2+a 5+a 8=9,a 3a 5a 7= -21,求通项a n .2. 在等差数列{a n }中，S 10=310，S 20=1220，求S n 与通项a n .3. a 3,a 15是方程x 2-6x-1=0的两个根，求a 7+a 8+a 9+a 10+a 11= .4. 等差数列{a n }，)9(,30,240,1849>===-n a S S n n ，则项数n 为（ ）5．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）A. 130B. 170C. 210D. 260 6. 若数列{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和n S >成立的最大自然数n 是：（ ）A . 4005 B. 4006 C . 4007 D. 40087. 等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，且71427n nS n T n +=+,求1111a b .8. 等差数列{a n }共有2n-1项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和为120，则n= . 9．在等差数列{a n }中,,S S ,a 83125=-=则前n 项和nS 的最小值为（ ）A. -80B. -76C. -75D. -74 10. 已知等差数列}{n a ，nS 是其前n 项和，且877665,,S S S S S S >=<，则下列结论错误的是（ ） A. d < 0 B.7=a C.59S S > D.6S 与7S 均为nS 的最大值.11．已知数列｛b n ｝是等差数列，b 1=1，b 1+b 2+…+b 10=100. （Ⅰ）求数列｛b n ｝的通项b n ； （Ⅱ）设数列｛a n ｝的通项a n =l g （1+nb 1），记S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，试比较S n 与21l gb n +1的大小，并证明你的结论。
三、等比数列等比数列定义和基本性质●等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常．数．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠数列（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）●等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 。
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=。
● 等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。
● 等比数列前n 项和公式一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 或11n n a a q S q-=-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）。
说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。
● 等比数列的性质①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=；②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅，也就是：=⋅=⋅=⋅--23121n n na a a a a a ，如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321。
③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列。