第4讲-分式PPT课件
分式PPT课件
⑵ 当x =2
时，分式 x 2 的值为零。 2x 1
4、已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于零，
则k =-10 。
3x 2
它和分数有什么区别？ 它是一个代数式吗？ 它是一个整式吗？ 它与整式有什么区别？
分式
A
定义：整式A除以整式B，表示成 的
形式。如果
B
除式B中含有字母，则称 A 为分式。 B
其中A称为分式的 分子，B称为分式的 分母。
巩固概念
判断下列代数式是否为分式
2x
（1）
y
是
x 1 （( x2） 1) 2
是
x2 2 否
当x=1、2、3时，求分式 x 1 的值
解:
x2 2 12 2 1 1
当x=1时， x 1
11
2
2
当x=2时，
x2 2 x 1
22 2 2 1
2 3
x2 2 32 2 7 当x=3时， x 1 3 1 4
例2
1
当x取何值时，分式
x2
有意义。
1
解：当 x2 1 0时
即 x 1
追史溯源
分数：把整体“1”平均分成若干份 ，表示这样一份或者几份的数叫做 分数。
分子 分母
分数线
同学们看看如何用分数形式回答问题：
一个长方形，面积为21平方厘米，宽为4
厘米。则它的长为( 21 )厘米 4
如果改为
一个长方形，面积为21平方厘米，宽为x
厘米。则它的长为( 21 )厘米 x
21 是一个分数吗？ x
2x 4
x2 1 (3) (x 1)(x 2)
小测试
1、在下面四个有理式中,分式为( B )
浙江省中考数学备战策略课件：第一部分 教材梳理 阶段练习第4讲 分 式(共56张PPT)
x＋ 1 x2 ＝ · x（ x＋ 1） x－ 1 x ＝ . x－ 1 ∵ x－ 1≠ 0， x(x＋ 1)≠ 0， ∴ x≠± 1， x≠ 0. 5 5 当 x＝ 5 时，原式＝ ＝ . 5－ 1 4
方法总结 ： 1．有理数的运算律对分式同样适用，要灵活运用乘法交 换律、结合律、分配律，使运算简便． 2．注意选取字母的值时要使整个过程中的每一个分式都 有意义．
考点一 例
确定分式有意义的条件
2 1(2017· 南京 )分式 在实数范围内有意义， 则 x 的取值 x－ 1
范围是 ________． 【点拨】 由分式有意义的条件，可得 x－ 1≠ 0，解得 x≠ 1. 【答案】 x≠ 1 方法总结 ： 分式有意义的条件是分母不为 0，当分母中含有二次根式时， 还要注意被开方数是非负数．
考点三 例
分式的加减
2
x 1 3(2017· 丽水 )化简 ＋ 的结果是 ( x－ 1 1－ x B． x－ 1
2
) x2＋ 1 D． x－ 1
A． x＋ 1
C． x2－ 1
2 x － 1 （ x＋ 1）（ x－ 1） x 1 【点拨】 原式＝ － ＝ ＝ ＝ x－ 1 x－ 1 x－ 1 x－ 1
2．约分 (1)把一个分式的分子与分母的公因式约去， 叫做分式的约分． (2)约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式．确 定最大公因式的一般步骤：当分子、分母是多项式时，先 分解因 式 ，再取系数的 最大公约数 与相同字母 (或因式 )的 最低次幂 的积为最大公因式．
3．通分 (1)把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母 的分式，叫做分式的通分． (2)通分的关键是确定几个分式的最简公分母．确定最简公分 母的一般步骤：当分母是多项式时，先 分解因式 ，再取系数的 最小公倍数 与所有不同字母 (或因式 )的 最高次幂 的积为最简 公分母．
分式方程ppt课件
36
根据题意，得 x ＝
＋2，
(1＋50%)x
解得 x＝6.
经检验，x＝6 是方程的解．
答：该施工队原计划每天改造 6 m.
知3－练
例 5 [情境题 校园文化]为了进一步丰富校园文体活动，
某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480 元
购买足球的数量和用390 元购买排球的数量相同，已
知足球的单价比排球的单价多15 元．
－
③ ＝x；④
＋3＝
；
－
－
其中是分式方程的是________(填序号).
③④
知识点 2 分式方程的解法
知2－讲
1. 解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程转化为整
式方程.
2. 解分式方程的一般步骤
知2－讲
3. 检验分式方程解的方法
(1)直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这
车的速度.
知3－练
思路引导：
知3－练
解：设大型客车的速度为x km/h，
则小型客车的速度为1.2x km/h，12 min= h．
根据题意，得 －
= ，解得x
.
经检验，x = 6 0 是方程的解．
答：大型客车的速度是60 km/h.
= 6 0．
知3－练
3-1.[中考·广州] 随着城际交通的快速发展， 某次动车平
＝
；(3) ＝1；
－ ＋
(4)
＝
；(5) －2＝x(a为非零常数).
＋ －
解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有
2021年中考复习数与式-第04讲 分式(教师版)A4
分式一．分式的概念及性质1．分式分概念：一般地，用A，B表示两个整式A B÷就可以表示成AB的形式．如果B中含有字母，式子AB就叫做分式．（1）分式有意义的条件：分式的分母不为零．（2）分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零．（3）分式值为正的条件分式的分子分母符号相同（两种情况）．（4）分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．2．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠)，其中A,B,C为整式．二．分式的综合运算1．分式的乘除法（1）分式的乘除法：b d bda c ac⋅=，b d bc bca c a d ad÷=⋅=．（a、b、c、d既可以表示数，也可以表示单项式/多项式等）（2）分式的约分和通分：关键是先分解因式．分式的约分：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，分式的值不变．最简分式：分子与分母没有公因式．分式的通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，把几个异分母的分式化成同分母的分式，不改变分式的值．最简公分母：“各个分母”和“所有因式”的最高次幂的积．（3）分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．2．分式的加减法：（1）同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，a b a bc c c±±=．（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，b d bc ad bc ada c ac ac ac±±=±=．3．分式的综合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减，遇到括号先算括号里面的．知识精讲三．分式的化简与求值分式的化简求值分为有条件和无条件两类．有条件化简求值指导思想：瞄准目标，抓住条件，依据条件推导目标，根据目标变换条件．方法点拨1．分式的化简与求值常用方法和技巧：（1）分步或者分组通分；（2）拆项相消或拆分变形；（3）整体代入；（4）取倒数或者利用倒数关系；（5）换元；（6）先约分后通分2．通分技巧：分步通分，分组通分，先约分后再通分，换元后通分等．一．考点：分式的性质、分式的混合运算及化简求值二．重难点：分式的混合运算及化简求值三．易错点：1．分式的分母中含有根号时，根号下的代数式一定是负的．题模一：分式的基本知识例1.1.1要使3x -+121x -有意义，则x 应满足（ ）A ．12≤x ≤3B ．x ≤3且x ≠12C ．12＜x ＜3D ．12＜x ≤3 【答案】D 【解析】根据题意得：30210x x -≥⎧⎨->⎩，解得：12＜x≤3．故选D ．例1.1.2若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【答案】1a >【解析】分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同，因分子为1，所以分母2-2x x a +也一定为正时满足条件，将式子2-2x x a +变形为2-21-1x x a ++（）（），因2210x x -+≥，即当10a ->时，分式的值恒为正例1.1.3当x ____时，分式1412x x 有意义；当x ____时，分式1111x 无意义；当x ____时，分式2224x x x x 的值为0【答案】2x ≠且6x ≠；2x =或1x =；0x =或1x =【解析】该题考查的是分式的性质． 分式有意义要求分母不为0，无意义要求分母为0，分式值为0要求分母不为0且分子为0，三点剖析题模精讲分式1412xx 有意义，则410220x x ⎧-≠⎪-⎨⎪-≠⎩，即4122x x ⎧≠⎪-⎨⎪≠⎩，即242x x -≠⎧⎨≠⎩，解得62x x ≠⎧⎨≠⎩； 分式1111x 无意义，则1101x -=-或10x -=，即111x =-或1x =，解得2x =或1x =； 分式()()()()()()22+22114222x x x x x x x x x x x x -+--==--+-的值为0，则()1020x x x ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得0x =或1x =． 例1.1.4x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【答案】(1)6x =-（2）1x =-或6x =【解析】（1）分式值为0则60x -=且2560x x --≠，得6x =-；（2）要使分式无意义，则分母2560x x --=，得1x =-或6x =题模二：分式的运算及化简求值例1.2.1化简2244xy yx x --+的结果是（ ）A ．2x x +B ．2x x -C ．2y x + D ．2y x - 【答案】D 【解析】2244xy y x x --+=2?(2)(2)y x x --=2yx -，故选D ．例1.2.2解答下列各题： （1）解方程：；（2）先化简，再求值：，其中a 满足a 2+2a ﹣7＝0【解答】解：（1）∵，∴（x ﹣2）2＝（x +2）2+16，∴x 2﹣4x +4＝x 2+4x +4+16，∴﹣4x ＝4x +16，∴x ＝﹣2， 经检验，x ＝﹣2是方程的增根，故原分式方程无解． （2）原式＝[﹣]•＝•＝，∵a 2+2a ﹣7＝0，∴a 2+2a ＝7，∴原式＝ 例1.2.3先化简，再求值：（），其中x=2．【答案】【解析】原式=[+]÷[﹣]=÷=÷=•=，当x=2时，原式==．例1.2.4已知实数a 满足a 2+2a-15=0，求11a +-221a a +-÷2(1)(2)21a a a a ++-+的值． 【答案】18【解析】11a +-221a a +-÷2(1)(2)21a a a a ++-+=11a +-2(1)(1)a a a ++-•2(1)(1)(2)a a a -++=11a +-21(1)a a -+=22(1)a +， ∵a 2+2a -15=0，∵（a+1）2=16，∵原式=216=18． 例1.2.5化简计算（式中a ，b ，c 两两不相等）222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+．【答案】0【解析】()()()()()()()()()()()()1111110a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b a c a b b a b c c b c a-+--+--+-++=+++++=------------随练1.1使代数式213x x--有意义的x 的取值范围是____． 【答案】x≥12且x≠3 【解析】根据题意得，2x -1≥0且3-x≠0，解得x≥12且x≠3． 故答案为：x≥12且x≠3．随练1.2如果分式2127a a +-的值是正数，那么a 的取值范围是________．【答案】72a >【解析】该题考察的是分式的性质．∵因为21a +恒0>，又∵分式2127a a +-的值是正随堂练习数，∴270a ->，解得：72a > ，故答案是72a >． 随练1.3先化简，再求值：÷（﹣），其中a=．【答案】6﹣4【解析】原式=÷[﹣]=÷=•=（a ﹣2）2，∵a=，∵原式=（﹣2）2=6﹣4随练 1.4x 取 值时,112122x +++有意义；当x 的值为 ，分式223-1244x x x ++的值为0．【答案】592,,;24x x x ≠-≠-≠-2【解析】分式有意义则分母不为零，所以20x +≠且1202x +≠+，且120122x +≠++，所以592,,;24x x x ≠-≠-≠-分式值为零，则分子为零，且分母不为零，即()22312340x x -=-=且()224420x x x ++=+≠，故2x =．随练1.5当x 取何值时，分式2256x x x --+有意义？【答案】2x ≠±且3x ≠±【解析】间接考虑2560x x -+=，然后排除2560x x -+=的情形即可.()()256230x x x x -+=--=得20x -=或30x -=，2x =±或3x =±故要是分式有意义2x ≠±且3x ≠±即可． 随练1.6若1abc =，求111a b cab a bc b ca c ++++++++的值． 【答案】1 【解析】原式=11111111a ab abc a ab a ab ab a abc ab a abca abc ab ab a ab a a ab ab a ++++=++==++++++++++++++随练1.7已知a ，b ，c 为实数，16ab a b =+，18bc b c =+，110ca c a =+，求分式abcab bc ca++的值． 【答案】112【解析】由16ab a b =+，18bc b c =+，110ca c a =+知a ，b ，c 均不为零，故116a b +=，118b c+=，1110c a +=，解得14a =，12b =，16c =，故原式=1111112a b c=++随练1.8若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【答案】2，4【解析】若使分式1-1m 为整数，只需满足1m -为1的因数即可，即11m -=±，结果为0m =或2m =；分式11m m +-为整数，需要将式子整理为-12-1-1m m m +，即只要2-1m 为整数，11,2m -=±±，因此0,2,1,3m =-．随练1.9已知：y=22699x x x ++-÷233x x x+--x+3，试说明不论x 为任何有意义的值，y 值均不变． 【答案】见解析【解析】本题主要考查了分式的混合运算能力． 先把分子分母分解因式再化简约分即可．证明：y=22699x x x ++-÷233x x x+--x+3=2(3)(3)(3)x x x ++-×(3)3x x x -+-x+3=x -x+3=3． 故不论x 为任何有意义的值，y 值均不变．随练1.10已知0abc ≠，0a b c ++=，则代数式222a b c bc ca ab++的值为__________．【答案】3【解析】由0a b c ++=得()a b c =-+，()b a c =-+，()c a b =-+代入原代数式可得原式()()()22263b c a c a b b c a c b abccaabc b c a a b+++=++=++++++= 作业1若a 使分式241312a a a-++没有意义，那么a 的值是（ ）A ．0B ．13-或0 C ．2±或0 D ．15-或0【答案】D【解析】要使分式无意义，则分母为零即可，故13102a a ++=或20a =，所以15a =-或0a =，故答案为D 选项． 作业2要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________． 【答案】0x ≠且1x ≠±【解析】对于多重分式，必须要满足每一重的分母都不为0，首先0x ≠，得0x ≠；其次10x x-≠，课后作业得1x ≠±；故x 的取值范围是0x ≠且1x ≠±作业3化简：()()()222222x yz y zx z xyx y z x yz y z x y zx z x y z xy +-++++--+++---．【答案】0【解析】因为()()()2x y z x yz x y x z +--=+-，()()()2y z x y zy x y y z +++=++()()()2z x y z xy y z z x ---=+-，所以原式=()()()()()()()()()2220x yz y z y zx z x z xy x y x y y z z x -+++--+++=++-．作业4化简：÷﹣的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．a【答案】C 【解析】原式=×﹣=﹣=，作业5已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，求A B C ++的值．【答案】13【解析】原式右边=()()()()()()()22222211211111Ax x B x Cx A C x B A x B x x x x x x x x -+-+++--+-==---，得2A C +=，1B A -=，11B -=-，解得10A =，11B =，8C =-，从而13A B C ++=作业6先化简，再求值：222x x x+-2212x x x -++÷211x x -+，其中x 为0＜x 的整数．【答案】14【解析】原式=2(2)x x x +-2(1)2x x -+•1(1)(1)x x x ++-=2(2)x x x +-12x x -+=(2)x x x +=12x +，∵x 为0＜x 的整数，∵x=1（舍去）或x=2，则x=2时，原式=14． 作业7阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式42231x x x 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．由分母为-x 2+1，可设-x 4-x 2+3=（-x 2+1）（x 2+a ）+b则-x 4-x 2+3=（-x 2+1）（x 2+a ）+b=-x 4-ax 2+x 2+a+b=-x 4-（a-1）x 2+（a+b ）∵对应任意x ，上述等式均成立，∴113a a b ，∴a=2，b=1∴42231x x x =222(1)(2)11x x x =222(1)(2)1x x x +211x =x 2+2+211x这样，分式42231x x x 被拆分成了一个整式x 2+2与一个分式211x 的和．解答：（1）将分式422681x x x 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （2）当x ∈（-1，1），试说明422681x x x 的最小值为8．【答案】（1）x 2+7+211x （2）见解析【解析】（1）由分母为-x 2+1，可设-x 4-6x 2+8=（-x 2+1）（x 2+a ）+b则-x 4-6x 2+8=（-x 2+1）（x 2+a ）+b=-x 4-ax 2+x 2+a+b=-x 4-（a -1）x 2+（a+b ）∵对应任意x ，上述等式均成立，∵168a ab ，∵a=7，b=1，∵422681x x x =222(1)(7)11x x x =222(1)(7)1x x x +211x =x 2+7+211x这样，分式422681x x x 被拆分成了一个整式x 2+7与一个分式211x 的和．（2）由422681x x x =x 2+7+211x 知， 对于x 2+7+211x ，当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，即422681x x x 的最小值为8．作业8设x ，y ，z 为互不相等的三个非零实数，且111x y z y z x+=+=+，求xyz 的值． 【答案】1± 【解析】由已知111x y z y z x +=+=+，11x y y z +=+，11y zx y z y zy--=-=得y z zy x y -=-，同理可得，z x zx y z -=-，x y xy z x-=-，所以1y z z x x y zy zx xy x y y z z x ---⋅⋅=⋅⋅=---，即()21xyz =，故1xyz =±。
第4讲 分式及其运算
【点评】
准确、灵活、简便地运用法则进行化
简，注意在取x的值时，要考虑分式有意义，不能
取使分式无意义的0与〒2.
1 3．(1)(2014· 十堰)已知 a －3a＋1＝0，则 a＋a－2 的值为
2
( B) A. 5＋1 B．1 C．－1 D．－5
x2－4 1 (2)(2014· (1－ )， 娄底)先化简 2 ÷ 再从不等式 2x－3 x －9 x－3 ＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值 ．
（x＋2）（x－2） x－3－1 解：原式＝ ÷ ＝ （x＋3）（x－3） x－3 （x＋2）（x－2） x－3 （x＋2）（x－2） · ＝ ， （x＋3）（x－3） x－4 （x＋3）（x－4）
不等式 2x－3＜7，解得 x＜5，其正整数解为 1，2，3，4， 1 当 x＝1 时，原式＝ 4
分式方程的解法
|x|－3 (2)当 x＝__-3 __时，分式 的值为 0. x－3
分式的性质
【例 2】 (1)(2014· 贺州)先化简，再求值： a ＋2a＋1 (a b＋ab)÷ 其中 a＝ 3＋1，b＝ 3－1. ， a＋1
22ຫໍສະໝຸດ a＋1 解：原式＝ab(a＋1)· 2 ＝ab，当 a＝ 3＋1， （a＋1） b＝ 3－1 时，原式＝3－1＝2
杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和
已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值
．
2．(1)(2012· 义乌)下列计算错误的是( A ) 0.2a＋b 2a＋b A. ＝ 0.7a－b 7a－b a－b C. ＝－1 b－a x3y2 x B. 2 3＝ xy y 1 2 3 D. ＋ ＝ c c c
x2 x 3．(2012· 安徽)化简 ＋ 的结果是( D ) x－1 1－x A．x＋1 B．x－1 C．－x D． x m－1 m－1 4．(2014· 济南)化简 m ÷ m2 的结果是( A ) 1 1 A．m B. m C． m－1 D. m－1 4x－12 5．(2014· 安徽)方程 ＝3 的解是 x＝__6__． x－2
15.1分式 教学课件PPT 八年级数学上册 (5)
（一）问题情景
我们学过的代数式中有单项式、多项式 整式，请你判定下列说法是否正确
（1）12x是单项式，也是整式
（）
（2）2和0都是单项式，也都是整式 （ ）
（3）2x-1是多项式，也是整式 （ ）
（4） 3x y是多项式，也是整式 （ ）
2
（5） 3 是单项式，也是整式 （ ）
y
（6） 3 是多项式，也是整式 （ ）
解：∵X2-1≠0
.
X2 ≠1
X ≠±1
∴当 X ≠±1时，此分式有意义
(4)当x 、 y满足关系 时，分式 X+y
解：∵X-y≠0
X-y
.
X ≠y
有意义
∴当 X ≠y时，此分式有意义
练习
• 课本128页1-3题
X为何值时，下列各式有意义（求X当取值范围）
1、 x 1
解：∵X-1≥0 X≥1
∴当 X ≥ 1时，
2.当
Hale Waihona Puke A B=0时分子和分母应满足什么条件？
当A=0且 B≠0时，分式 B A的值为零.
x2 4 例1. 已知分式 x 2,
(1) 当x为何值时，分式无意义? (2) 当x为何值时，分式有意义?
解：(1)当分母等于零时,分式无意义.
即 x+2=0
∴ x = -2
∴当x = -2时分式
x2 4 x2
x 有1 意义
X为何值时，下列各式有意义（求X当取值范围）
3、
4 x 1
解： ∵
X+1≥0 X+1≠0
X+1≥0 x ≥-1
X+1≠0 x ≠-1
解得：x ＞-1
分式ppt课件
一元二次分式方程的解法
定义
一元二次分式方程是只含有一个 未知数，且未知数的次数为2的
分式方程。
解法
通过去分母、移项、合并同类项 等步骤，将分式方程转化为整式
方程，然后求解。
注意事项
在去分母时，要注意分母不能为 0的情况。
多元一次分式方程的解法
定义
多元一次分式方程是含有多个未知数，且未知数的次数为1的分式 方程。
05
分式的注意事项与易错点
Chapter
约分时需要注意的事项
约分的前提
约分前需要确定分子和分母有公因式，且公因式不为0。
约分的步骤
先找出分子和分母的最大公因式，然后将其约去。
约分的注意事项
约分时要注意不要约去不合适的公因式，导致分式失去意义。
通分时需要注意的事项
通分的定义
通分是将两个或多个分数的分母统一的过程。
解法
通过消元法或代入法，将分式方程转化为整式方程，然后求解。
注意事项
在消元或代入过程中，要注意分母不能为0的情况。
04
分式在实际生活中的应用
Chapter
物理中的应用
速度与加速度
在物理中，速度和加速度的公式可以表示为分式 形式，用于描述物体的运动状态和变化。
热量传导
热量传导的公式中，时间、物体的质量和比热容 之间的关系也可以用分式表示。
约分
约分定义
将一个分数的分子和分母进行因 式分解，然后找出公共因子进行
约简。
约分步骤
1. 将分子和分母分别进行因式分解 ；2. 找出分子和分母的公共因子； 3. 约去公共因子得到最简分数。
注意事项
约分时要注意分子和分母的符号， 确保约简后的分数与原分数相等。
第4讲 分式
最高次幂的积 最简公 几个分式的分母中所有因式的_____________ 分母 叫做这几个分式的最简公分母.
第4讲 │ 考点随堂练
x 1．使分式 有意义，则 x 的取值范围是( D ) 2x－1 1 1 A．x≥2 B．x≤2 1 1 C．x＞2 D．x≠2
[解析] 分母不为零，分式有意义．
3x－6 2．若分式 的值为 0，则( D ) 2x＋1 1 1 A．x＝－2 B．x＝－2 C．x＝2
第4讲 │归类示例
此类问题一般是通过观察、计算，猜想一般性的结论，再利用分式 的性质及运算予以证明
y2 (2) －y＋2. y＋2
2 4
解：(1)原式＝36a b
2a b － 2· － 2＝6ab3.－4 y2 y2 4 (2)原式＝ － 1 ＝ － ＝ . y＋2 y＋2 y＋2 y＋2
第4讲 │ 考点随堂练
第4讲 │归类示例 归类示例
第4讲 │归类示例
类型之二 分式的基本性质的运用
命题角度： 1．利用分式的基本性质进行通分 2．利用分式的基本性质进行约分 下列运算正确的是( C －x－y x－y A. ＝ －x＋y x＋y a2－b2 a＋b C. ＝ a－b2 a－b ) a2－b2 a－b B. ＝ a－b2 a＋b x－1 1 D. ＝ 1－x2 x＋1
第4讲 │ 分式
第4讲 分式
第4讲 │ 考点随堂练 │考点随堂练│
考点1 分式的有关概念
A 含有字母 分式的 A， B 是整式，形如B的式子，当 B_________ 概念 B≠0 B， 且_________时叫做分式．
没有公因式 最简分 分式的分子与分母________________的分式叫 式 做最简分式．
《分式》PPT教学课件(第1课时)
a b2 a b2
1
b a4 a b4 a b2 .
注意 判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来 判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母 是多项式时，要先把分子、分母因式分解.
三 分式的求值
分式的求值 对一些较复杂的分式求值，应先约分化简，再代入具体数据 求值.常用方法有整体代入法，倒数法，换元法和配方法等.
课堂小结
❖分式的概念 ①分子分母都是整式； ②分母中必含有字母. ❖分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义. ❖当分子为零且分母不为零时，分式值为零. ❖分式的基本性质
课后作业
见《学练优》本课时练习
第十二章 分式和分式方程
分式
第2课时
学习目标
1.理解约分和最简分式的意义.（难点） 2.根据定义找出分式中分子与分母的公因式，并会约分. 3.理解分式求值的意义，学会根据已知条件求分式值.(重点）
1
;
2
a b
b a
2 4
;
3
x2
y 8x 8
.
解析： 最简分式： x2 y2 ; x2 2x 1 .
y2 2x2 8x 8
不是最简分式：
m2 2m 1 m2
1
;
a b
b a
2 4
.
m2 2m 1 m 12 m 1;
1 m2
m 1m 1 m 1
分式的特点 分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式 ；
②分母中含有 字母 .
二 分式有（无）意义及分式值为0
观察与思考
探究 求下列分式的值：
x … -2 -1
0
1
2…
x x-2 …
1 2
1 3
分式ppt
分式的形式
一般形式
分式通常可以写成A/B的形式，其中A和B都是整式，B中含有字母。
特殊形式
分式在特殊情况下可以有一些特殊的表达形式，如0/0，∞/∞等。
分式的意义
代数学意义
分式是代数学中一个重要的概念，可以用于简化计算和解决方程等问题。
实际应用
分式在现实生活中也有广泛的应用，如物理、化学、工程等领域中都需要使用分 式进行计算和分析。
日常代数
在日常代数中，分式经常会出现，比 如解方程、求导等运算中需要使用分 式。
分式在数学中的应用
解方程
在解一元一次方程、一元二次方程等数学问题时，需要使用分式进行变形和化简，以便求 解。
求导
在数学分析中，对于一些复杂的函数，需要使用分式进行求导运算，以便研究函数的性质 。
概率统计
在概率统计中，有时需要使用分式来表示某个事件发生的概率，或是计算某个指标的方差 和标准差等。
分式在科学中的应用
物理学
化学
工程学
在物理学中，分式经常被用来表示物 理量之间的关系，比如牛顿第二定律 、能量守恒定律等公式中都含有分式 。
在化学中，分式常被用来表示化学反 应的速率和化学计量关系等，比如反 应速率方程、反应级数等都涉及到分 式。
在工程学中，分式被广泛应用于各种 计算中，比如电路计算、流体力学计 算等，以便合理设计和优化工程系统 。
除法练习
练习一些分数除法的题目，例如 $\frac{6}{7} \div \frac{3}{4}$，通过计算 得出结果 $\frac{24}{21} = \frac{8}{7}$。
06
分数的混合运算
分数混合运算的顺序
按顺序进行
在进行分数混合运算时，应按照先乘除后加减的顺序进 行，以避免出现不必要的错误。
分式优秀课件
通过多做练习和总结，熟练掌握分式的运算规则 和技巧，提高计算准确性。
细心审题和检查
在解题过程中，要仔细审题并检查每一步的计算 结果，确保没有遗漏或错误。
常见错误类型
混淆分式与整式
将分式误认为是整式，导致后 续计算错误。
运算顺序错误
在分式运算中，未能按照正确 的运算顺序进行，导致结果错 误。
分子分母处理不当
在化简分式时，未能正确处理 分子或分母，导致结果偏离正 确答案。
忽视分母不为0
在进行分式运算时，忽视分母 不能为0的限制，导致分母出现
0的情况。
错误原因分析
对分式的概念理解不透彻
对分式的定义和性质理解不准确，导致在应用时出现混淆。
运算能力不足
对分式的运算规则掌握不够熟练，导致在计算过程中出现错误。
粗心大意
在解题过程中，未能仔细审题和检查，导致出现计算错误或遗漏重 要步骤。
避免错误的建议
加深对分式的理解
通过多做练习和总结，加深对分式的概念和性质 的理解，避免混淆。
分式加减法的步骤
先将各个分数化为同分母，然后根据同分母分式的加减法 则进行运算。
分式加减法的注意事项
进行分式加减法时要注意运算的顺序，即先进行乘除运算 ，再进行加减运算；同时要注意运算的符号，即同号得正 ，异号得负。
03
分式的应用
分式在生活中的应用
金融计算
分式在金融计算中有着广 泛的应用，如利息计算、 投资回报率等。
分式与整式的区别
总结词
分式和整式在形式和性质上有明显的区别。
详细描述
整式是由数字和字母通过有限次四则运算得到的代数式，如$x^2 + 2x + 1$。 而分式除了满足整式的条件外，还必须有一个非零分母，如$frac{x^2 + 1}{x 1}$。
第4讲+母的重要性--分式方程
第4讲母的重要性--分式方程学习目标1.掌握分式方程的定义，会识别分式方程；2.理解分式方程的解及增根问题的处理；3.熟练掌握分式方程的解法.入门测单选题练习1.下列方程中，关于x的分式方程的个数（a为常数）有（）①+4=0②③=3④⑤=6⑥．A．2个B．3个C．4个D．5个练习2.关于x的方程的解为x=4，则m=（）A．3B．4C．5D．6解答题练习1.'若方程的解是非正数，求a的取值范围．'练习2.'解分式方程：（1）+=1（2）﹣1=．'练习3.'解方程：﹣=1．'情景导入在初一我们已经学过了一元一次方程和二元一次方程，你还记得什么是一元一次方程和二元一次方程吗？元：代表的是未知数的个数次：指的是未知数的指数那么分式方程呢？请思考一下如何从这个名称上来准确定义呢？分式：首先其中必须有分式出现，同时隐含一个限定就是必须是有理式；方程：含有未知数的等式.知识精讲分式方程的定义知识讲解1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2.判断一个方程是否为分式方程时需要考虑的方面（1）分母中必须含有未知数；（2）必须保证是方程.例题精讲分式方程的定义例1.在下列方程中，关于x的分式方程的个数有（）个.①2x﹣3y=0；②﹣3=；③=；④+3；⑤2+=．A．2B．3C．4D．5例2.下列方程：①；②=2；③y=x；④=；⑤y+1=；⑥1+3（x﹣2）=7﹣x；⑦y2﹣3=．其中，分式方程有（）个．A．1B．2C．3D．4例3.下列方程不是分式方程的是（）A．B．C．D．例4.在方程=5，=x，﹣9=0，﹣x=7中，分式方程有（）A．1个B．2个C．3个D．4个直接找最简公分母型解分式方程知识讲解当分母不能进行因式分解时，在找最简公分母时只需将各个分母中的因式相乘、每个因式的次数取最高次即可.找最简公分母是去分母之前必须要做的一步，是解分式方程的关键步骤.例题精讲直接找最简公分母型解分式方程例1.分式方程=1解的情况为（）A．x=2B．x=1C．x=0D．无解例2.'解方程：﹣=1．'例3.'解方程：=1﹣．'因式分解后找最简公分母型解分式方程知识讲解当分式方程中的分母有多项式，并且可以进行因式分解时，则需要先将分母进行因式分解后再去找最简公分母.例题精讲因式分解后找最简公分母型解分式方程例1.'解方程：﹣1=．'例2.'解分式方程：（1）=；（2）+=．'例3.'解方程：（1）（2）．'换元法解分式方程知识讲解当分式方程中出现很复杂的结构，并且复杂结构出现的次数很多时，常会考虑使用换元法来处理，即将复杂结构用一个简单的字母来替换，将原方程变成一个较简单的方程后，求出字母的值，再利用解方程的思想求出原未知数的值即可，此类问题的典型特点是需要解两次方程.例题精讲换元法解分式方程例1.用换元法解方程时，设y=方程可以转化为y2﹣y﹣2=0．例2.'用换元法解方程：．'例3.'阅读下面的材料：例：用换元法解分式方程+=7解：设y=，则原方程可化为y+=7，即y2﹣7y+10=0．解这个方程得y1=5，y2=2由y1==5解方程x2﹣5x=0，解得x1=0，x2=5由y2==2得方程x2﹣2x﹣3=0，解得x3=﹣1，x4=3经检验x1=0，x2=5，x3=﹣1，x4=3都是原方程的解．学习例题的方法，请你用换元法解下列分式方程：（）2﹣5（）﹣6=0．'分式方程的解的概念知识讲解分式方程的解的定义：使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，叫方程的解．分式方程的解满足两个条件：1.（1）代入分式方程后，使分式方程的左右两边相等；2.（2）使分母不为0.例题精讲分式方程的解的概念例1.已知关于x的方程有解，则k的取值范围是（）.A．k≠1B．k≠2C．k＞1D．k≠﹣1已知x=3是分式方程﹣=2的解，那么实数k的值为（）A．-1B．0C．1D．2例3.关于x的方程的解为x=4，则m=（）A．3B．4C．5D．6分式方程的解的特征处理知识讲解方程的解的特征的处理，如“方程的解是正数”、“方程的解是负数”、“方程的解不大于2”等问题，在一元一次不等式和方程组综合问题时曾有涉及，统一的处理方法是先将方程的解解出来，再按照要求列式处理即可，但是处理分式方程的解与整式方程的解的不同点在于，分式方程需要验根，即保证得到的解不能使分母为0，所以这是分式方程的解多出的关键步骤.例题精讲分式方程的解的特征处理例1.若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（）.A．10B．12C．14D．16若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a＞1C．a≥1且a≠4D．a＞1且a≠4例3.若方程=的解为正数，则m的取值范围是．例4.'若方程的解是非正数，求a的取值范围．'分式方程的增根的处理知识讲解分式方程的增根，就是使分母（或最简公分母）为0的未知数的值，所以从原始的分式方程中很容易看到增根的具体数值，注意一个分式方程可能有很多个增根.例题精讲分式方程的增根的处理例1.如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4关于x的分式方程﹣=2有增根，则k的值为．例3.'m为何值时，关于x的方程+=会产生增根？'分式方程无解的处理知识讲解分式方程无解与分式方程有增根是不同的概念.分式方程有增根，是指将分式方程去分母得到的整式方程是有解的，但是得到的解会使原分式方程的分母为0.而分式方程无解包含两种情况：一种情况是分式方程取得增根；另一种情况是分式方程去分母后得到的整式方程也是无解的.例题精讲分式方程无解的处理例1.已知：关于x的分式方程+=有且仅有一个实数根，则k的值为（）. A．B．或1C．或5或1D．或5或﹣2例2.若方程无解，则k的值是（）A．﹣1B．0C．6D．1例3.'若关于x的方程+=无解，求m的值．'例4.'已知关于x的分式方程+=．（1）若方程的增根为x=1，求m的值（2）若方程有增根，求m的值（3）若方程无解，求m的值．'当堂练习单选题练习1.在方程=5，=x，﹣9=0，﹣x=7中，分式方程有（）A．1个B．2个C．3个D．4个练习2.如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4练习1.当x=时，代数式和的值相等．练习2.已知x为整数，且分式的值为整数，则x=．解答题练习1.'用换元法解方程：．'练习2.'解方程：+=1．'练习3.'解方程：（1）（2）．'练习4.'m为何值时，关于x的方程+=会产生增根？'若关于x 的方程+=无解，求m 的值．'练习6.'解方程：﹣=．'当堂总结分式方程的重点知识包括：分式方程的定义、分式方程的解法以及分式方程的解.其中分式方程的解中重点考查的是增根问题，需要重点理解增根是如何产生的，在处理含参的分式方程的增根问题时，如何准确找到分式方程的增根.重点辨别分式方程的增根与分式方程无解的区别.出门测单选题练习1.在下列方程中，关于x 的分式方程的个数有（）个.①2x ﹣3y=0；②﹣3=；③=；④+3；⑤2+=．A ．2B ．3C ．4D ．5练习2.若关于x 的分式方程=的解为非负数，则a 的取值范围在数轴上表示为（）.C．D．A．B．练习3.若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）.A．3B．1C．0D．-3解答题练习1.'解方程：．'练习2.'解方程：=1﹣．'。
《分式》PPT课件--图文全文
解：根据题意，乙先行１时的路程是１×b（千米），甲比乙每小时多行（a－b）千米，所以甲追上乙所需的时间是 b÷（a－b）= （时） 当a=6，b=５时，甲追上乙所需的时间是
＝
＝５（时）
代数式
整式
分式
分母中必含有字母
分母不能为零
当分子为零，分母不为零时， 分式值为零。
当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是 （ ）
（A）
（B）
( C)
（D）
在分式 中，当x为何值时，分式有意义？分式的值为零？
解：根据题意可知， 该保护区每平方米内灰熊的只数是：７÷p=
文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元，降价销售开始时，文林书店这种图书 的库存量是 。
甲种糖果每千克价格a元，乙种糖果价格b元，取甲种糖果m㎏，乙种糖果n㎏，混合后，平均每千克价格 元。
像10a+2b， ， ，2a²这样含有字母的数学表达式称为代数式.
整式
单项式:数与字母或字母与字母的积
多项式:几个单项式的和
注意:代数式包括整式，也就是说整式是代数式但代数式就不一定是整式了．
有了这些预备知识，这节课我们将要学习另外一种 代数式！
为了调查珍稀动物资源，动物专家在p平方米的保护区内找到７只灰熊，那么该保护区 每平方米有＿＿＿＿只灰熊．
轮船在静水中每小时走a千米，水流速度为每小时b千米，轮船在逆流中航行s千米，然后又返回出发地，那么轮船需要的时间 是 小时。
一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成 本是 元。
注意：分式中字母的取值不能使分母为零．因为当分母的值为零时，分式就没有意义．
(2024年)分式课件
2024/3/26
1
2024/3/26
• 分式基本概念与性质 • 分式化简与求值 • 分式方程及其解法 • 分式在几何中的应用 • 分式在函数中的应用 • 分式在生活实际问题中的应用
2
01
分式基本概念与性质
2024/3/26
3
分式定义及表示方法
2024/3/26
分式定义
分式是两个整式相除的商式，其 中分子是被除数，分母是除数， 分数线相当于除号。
拆分法
对于某些复杂的分式，可以将其拆分成几个简单的分式之和或差，从而方便进行化简。
8
分式求值技巧
01
代入法
当分式中包含字母时，可以将已知的字母值代入分式，然后进行计算。
2024/3/26
02
整体法
对于某些复杂的分式求值问题，可以将整个表达式看作一个整体，然后
进行运算。
03
特殊值法
在某些情况下，可以通过取特殊值的方法来简化计算。例如，当分式的
03
运用分式求解二次函数的最值问题，理解最值的求解
方法和步骤。
2024/3/26
21
复杂函数图像中分式识别和处理
1 2
复杂函数图像中的分式识别
学习如何在复杂函数图像中识别出分式的存在， 并分析其对函数图像的影响。
分式的处理技巧和方法
掌握处理复杂函数中分式的技巧和方法，如分离 常数法、配方法等。
3
分式在函数性质分析中的应用
03
利用分式求解一次函数与反比例函数的交点，掌握相关计算方
法和技巧。
20
二次函数与分式关系探讨
二次函数中的分式形式
01
研究二次函数中分式的表达形式，以及分式对二次函
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2021
7
第4讲┃ 归类示例
(1)分式有意义的条件是分母不为零；分母为 零时分式无意义．
(2)分式的值为零的条件是：分式的分子为零， 且分母不为零．
(3)分式的值为正的条件是：分子与分母同号； 分式的值为负的条件是：分子与分母异号．分式的 值为正(负)经常与不等式组结合考查．
2021
8
第4讲┃ 归类示例
2021
13
第4讲┃ 归类示例
► 类型之四 分式的创新应用 命题角度： 1. 探究分式中的规律问题； 2. 有条件的分式化简． 例4 [2012·凉山州]对于正数 x，规定 f(x)＝1＋1 x，例如：
f(4)＝1＋1 4＝15，f14＝1＋1 14＝45，则 f(2012)＋f(2011)
＋
…
＋
＝f(1)＋(2012－1)＝12＋2011＝2011.5.
2021
15
第4讲┃ 归类示例
此类问题一般是通过观察计算结果变化规律，猜 想一般性的结论，再利用分式的性质及运算予以证 明．
2021
16
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第4讲┃ 回归教材
回归教材
分式化简有高招 教材母题 人教版八下P23T6 计算
2021
17
第4讲┃ 回归教材
第4讲┃分式
第4讲 分式
2021
1
第4讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 分式的概念
分
定义
形如___AB_____(A、B是整式，且B中 含有字母，且B≠0)的式子叫做分式
式 的 概
有意义的 条件
分母不为0
念
值为0
的条件
分子为0，但分母不为0
2021
2
第4讲┃ 考点聚焦
考点2 分式的基本性质
分式的基 本性质
除法法则
分式除以分式，把__除b_ad_c式__的__分子ab× 、d分c 母颠倒
位置后，与被除式相乘，即
＝
________×________＝
c≠a 0, d≠0) d
ad
ab(÷bdc≠0,
b
c
bc
2021
4
第4讲┃ 考点聚焦
分式 法则 的乘 方 公式
分式 法则 的混 合运 算 特别
说明
分式乘方是把分子、分母各自乘方
＝___a_n____(n为整数)
bn 在分式的混合运算中，应先算乘方，再 将除法化为乘法，进行约分化简，最后 进行加减运算，遇有括号，先算括号里 面的
(1)实数的各种运算律也符合分式的运算 (2)分式运算的结果要化成最简分式
2021
5
第4讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 分式的有关概念
命题角度： 1. 分式的概念； 2. 使分式有(无)意义、值为0(正或负)的条件．
f(2)
＋
f(1)
＋
f
1 2
＋
…
＋
f
1
2011
＋
f
1
2012
＝
__2_0_1_1_._5___.
2021
14
第4讲┃ 归类示例
[解析] ∵当 x＝1 时，f(1)＝12；当 x＝2 时，f(2)＝13；当 x
＝12时，f12＝23；当 x＝3 时，f(3)＝14；当 x＝13时，f13＝34，… ∴f(2)＋f12＝1，f(3)＋f13＝1，…， ∴f(n)＋…＋f(1)＋f(12)＋…＋f1n＝f(1)＋(n－1)， ∴f(2012)＋f(2011)＋…＋f(2)＋f(1)＋f12＋…＋f20112
例1 （1） [2012·宜昌]若分式 取值范围是( C ) A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 (2) [2012·温州] 若代数式 ＝____3____.
有意义，则a的
D．a≠ 0
的值为零，则x
2021
6
第4讲┃ 归类示例
[解析] (1)∵分式有意义，∴a＋1≠0，∴a≠－1.
(2)x－2 1－1＝3x－ －x1的值为零，则 3－x＝0，且分母 x－1≠0，所以 x＝3.
AB＝AB××MM ， AB＝AB÷÷MM (M 是不为零的整式)
把分式的分子与分母中 应用注意：约分的最终目标是将
约分 的公因式约去，叫做分式 分式化为最简分式，即分子和分
的约分
母没有公因式的分式
利用分式的基本性质，使 _分___子__和__分__母__同时乘
适当的整式，不改变分式 应用注意：通分的关键是确定几
► 类型之三 分式的化简与求值
命题角度： 1. 分式的加减、乘除、乘方运算法则； 2. 分式的混合运算及化简求值．
例3 [2012·六盘水]先化简代数式 ，再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为 a 的值代入 求值．
2021
11
第4讲┃ 归类示例
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第4讲┃ 归类示例
分式化简求值题的一般解题思路为：(1)利用因式 分解、通分、约分等相关知识对原复杂的分式进行化 简；(2)选择合适的字母取值代入化简后的式子计算 得结果．注意字母取值时一定要使原分式有意义，而 不是只看化简后的式子．
► 类型之二 分式的基本性质的运用
命题角度： 1. 整式的加减乘除运算； 2. 乘法公式． 例2 [2012·义乌]下列计算错误的是( A )
A.00..27aa＋－bb＝27aa＋－bb B.xx32yy23＝xy
[C解.ab析－－]ba＝利－用1分式D.的1c＋加2c减＝运3c 算法则与约分的性质，即可 求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．选项 A 的计算
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第4讲┃ 回归教材
[点析] 在进行分式的加、减、乘、除、乘 方混合运算时，要注意运算法则与运算顺序． 此类问题是中考的热点考题．
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第4讲┃ 回归教材
中考变式
[2011·南京] 计算：
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2a＋10b
结果为7a－10b，故本选项错2误021．
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第4讲┃ 归类示例
(1)在应用分式基本性质进行变形时，要注意“都 ”，“同一个”，“不等于0”这些字眼的意义，否则 容易出现错误．
(2)在进行通分和约分时，如果分式的分子或分 母是多项式时，则先要将这些多项式进行因式分解．
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第4讲┃ 归类示例
通分
的值，把异分母化成同分
个分式的公分母
母的分式，这样的分式变
形叫做分式的通分
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第4讲┃ 考点聚焦
考点3 分式的运算
分式 的加 减
分式 的乘 除
同分母分式 相加减
分母不变，把分子相加减，即 __a_±c_b____
ab c±c
＝
异分母分式 相加减
乘法法则
先通分，变为同分母的分式，然后相加减， 即分式母乘的分ab积±式dc做，积用＝的分_分_子_母_的_，ba_积ad_dd即b_做±d±b积c__的__分_bb_子dc＝_，_＝分