向量法解决立体几何问题方法复习总结

向量法解决立体几何问题

一．知识梳理

1、 平行问题

（1） ////l m a b ⇔，其中,a b 为直线,l m 的方向向量

（2） //l a n α⇔⊥，其中a 为直线l 的方向向量，n 为面α的法向量

//=+l a xb yc α⇔，其中a 为直线l 的方向向量，,b c 为面α内的两不共线向量

（3）12////n n αβ⇔，其中12,n n 分别为面α，β的法向量

2、垂直问题

（1）l m a b ⊥⇔⊥，其中,a b 为直线,l m 的方向向量

（2）//l a n α⊥⇔，其中a 为直线l 的方向向量，n 为面α的法向量

l a b a c α⊥⇔⊥⊥且，其中a 为直线l 的方向向量，,b c 为面α内的两不共线向量

（3）12n n αβ⊥⇔⊥，其中12,n n 分别为面α，β的法向量

3、角度问题

（1）线线角：cos cos ,a b θ=<>，其中,a b 为两直线的方向向量 （2）线面角：sin cos ,a n θ=<>，其中a 为直线方向向量，n 为面的法向量

（3）二面角：12cos cos ,n n θ=<>，其符号由图像而定

4、距离问题

（1）点点距：(AB x = （2）点线距：利用向量共线转化为点点距处理

（3）点面距：PA n

d n ⋅=，其中P 为面外某点，A 为面内任何一点，n 为面的法向量，所求d 为面

外某点P 到面的距离 另外，平行线的距离转化为点线距，异面直线的距离转化为点面距，线面距和面面距都可化为点面距来处理

5、向量的坐标运算

（1）121212a b x x y y z z ⋅=++ （2）2a x =

+（3）111222

//x y z a b x y z ⇔

==

二、习题精练

1、在正方ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别是BC与A1 D1的中点，棱长为1，求

（1）直线AE与DF成角余弦值

（2）直线BD1与平面A1ADD1成角正弦值

（3）二面角B1-AE-B余弦值

2、在正方ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别是BC与A1 D1的中点，棱长为1，求（1）A到CD1的距离

（2）CF与AE的距离

（3）B到面B1AC的距离

（4）AA1与面BDD1B1的距离

3、在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，C1C⊥平面ABCD,底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E,E1，F分别是棱AD,AA1，AB的中点

证明：(1)直线EE1//平面FCC1;

(2)求二面角B-FC1-C的余弦值。

4、（09四川19）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°.

（Ⅰ）求证：E F⊥平面BCE

（Ⅱ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：P M∥平面BCE；

（Ⅲ）求二面角F-BD-A的余弦值.

5、（10四川18）已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点，

（Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线；

（Ⅱ）求二面角''M BC B --的余弦值；

6、（12四川19）如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上。

（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 成角的正弦值；

（Ⅱ）求二面角B AP C --的余弦值。

C P

参考答案

1、（1）15

（2）3 （3）6

2、(1)

25 (3) 3 (4) 2

3、

4、（3

5、（2）1

3

6、（1 （2