二次曲线
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第5章 二次曲线
5、4 二次曲线的仿射性质
前面在射影平面上，讨论了二次曲线的射影性质.接下来，在射影平面上取一直线为无穷远直线，这时的平面为仿射平面，讨论二次曲线的仿射性质.
5.4.1 二次曲线的中心和直径
我们只对非退化的二次曲线进行讨论.假设在二次曲线的方程0=∑j i ij x x a 中，
0≠ij a .由上一节的讨论可知，极点与极线是一一对应的,那么仿射平面上的唯一特殊的直
线无穷远直线应有唯一的极点,于是有如下定义.
定义5.6 关于一条二次曲线Γ，若无穷远直线的极点为有限点，则称此点为Γ的中心，这 时称Γ为有心的二次曲线. 若极点为无穷远点，则Γ在此处与无穷远直线相切，称Γ为无 心二次曲线.
事实上，设无穷远直线∞l 关于Γ的极点为C ，过C 作任一直线，与二次曲线Γ有两个 交点1P ，2P , 与无穷远直线有一个交点P (见图5-7)．由极点和极线的定义可知
().1,21-=P P CP
由于P 是无穷远点，于是
11
2=PP PP 。但是
()1,1
22
121-=⋅
=
PP PP CP CP P P CP 。
所以
12
1-=CP CP 。
图5-7这说明C 是直线段21P P 的中点，换句话讲，通过C 点的任一弦都以C 为中心，这与欧氏几
何里关于中心的定义一致.
二次曲线Γ的方程以齐次坐标写出来是
02222
333322331132
22221122
111=+++++x a x x a x x a x a x x a x a ．
无穷远直线∞l 的方程为03=x ，这个无穷远直线的线坐标为[]1,0,0. 我们设无穷远直线的 极点C 的坐标为()321,,y y y ，则C 的极线（无穷远直线）方程为：
03
1
=∑=j i ij ij
y x a
，
于是这个曲线的线坐标为
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213323
31
232221*********y y y a a a a a a a a a ρ。
所以
311A y =σ，2A y =σ，333A y =σ，
其中 ij A 是ij a 的余子式，故C 的齐次坐标为()333231,,A A A ． 若033≠A ，C 是有限点为Γ的中心，这时C 非齐次坐标为
33
31A A =
ξ，33
32A A =
η．
当033≠A 时，曲线Γ称为有心的二次曲线分为两种情况：
033>A 时，二次曲线与无穷远直线03=x 有两个交点，满足方程：
022
22221122
111=++x a x x a x a ，
方程有两共轭复根（看成2
1x x 的方程），于是无穷远直线与二次曲线有两个虚交点，这时二
次曲线称为椭圆.