数学---湖南省长沙市长郡中学2019年高一入学分班考试试题

高一入学分班考试数学试题

一、选择题

1.已知方程组713x y a x y a +=--⎧⎨-=+⎩

的解x 为非正数，y 为非负数，则a 的取值范围是（ ） A ．23a -<≤ B ．23a -≤< C ．23a -<< D ．2a ≤-

2.已知226a b ab +=，且0a b >>，则a b a b

+-的值为（ ）

A B ． C ．2 D ．2±

3.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为（ ）

A ．13

B ．23

C ．19

D ．16

4.在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是22

()()()x y x y x y -++，若取9x =，9y =时，

则各个因式的值是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式32x xy -，取20x =，10y =时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）

A ．201010

B ．203010 C.301020 D ．201030

5.如果四个互不相同的正整数,,,m n p q ，满足(5)(5)(5)(5)4m n p q ----=，那么m n p q +++=（ ）

A ．24

B ．21 C.20 D ．22

6.若12,x x （12x x <）是方程()()1x a x b --=（a b <）的两个根，则实数12,,,x x a b 的大不关系为（ ）

A ．12x x a b <<<

B ．12x a x b <<<

C. 12x a b x <<< D ．12a x b x <<<

7.如图，在菱形ABCD 中，4AB =，0

120A ∠=，点,,P Q K 分别为线段,,BC CD BD 上的任意一点，则PK QK +的最小值为（ ）

A ．2

B ． C. 4 D ．2

8.如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，则AC 与2AB 之间的关系是（ ）

A ．2AC A

B > B ．2A

C AB = C. 2AC AB ≤

D ．2AC AB <

二、填空题

9.下面是一个某种规律排列的数阵：

…………

根据数阵的规律，第n 行倒数第二个数是 ．（用含n 的代数式表示）

10.已知1a =，则2227212a a a +--的值等于 ．

11.若245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 该满足的条件是 ．

12.如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，

直径AB 长为2cm ，060BOC ∠=，090BCO ∠=，将BOC ∆绕圆心O 逆时针旋转至''B OC ∆，点'C 在OA 上，则边BC 扫过区域（图中阴影部分）的面积为 2cm ．

13.若点O 是等腰ABC ∆的外心，且0120BOC ∠=，底边2BC =，则ABC ∆的面积是 ．

14.若D 是ABC ∆的边AB 上的一点，ADC BCA ∠=∠，6AC =，5DB =，ABC ∆的面积是a ，则BCD ∆的面积是 ．

15.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的定点A 在x 轴上，定点C 在y 轴上，(4,3)B 连接OB ，将OAB ∆沿直线OB 翻折，得ODB ∆，OD 与BC 相交于点E ，若双曲线k y x

=（0x >）经过点E ，则k = ．

16.方程230x mx m ++-=的两根分别为12,x x ，且1201x x <<<，则m 的取值范围是 ．

三、解答题

17. 甲、乙两辆公共汽车分别自,A B 两地同时出发，相向而行，甲车行驶85千米后与乙车相遇，然后继续前进，两车到达对方的出发点等侯30分钟立即依原路返回，当甲车行驶65千米后又与乙车相遇，求,A B 两地的距离.

18. 如图，四边形OABC 是边长为4的正方形，点P 为OA 边上任意一点（与点,O A 不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥交AB 于点D ，且PM CP =，过点M 作//MN OA ，交BO 于点N ，连接,ND BM ，设OP t =.

（1）求点M 的坐标（用含t 的代数式表示）

（2）试判断线段MN 的长度是否随点P 的位置的变化而改变？并说明理由.

（3）当t 为何值时，四边形BNDM 的面积最小.

（4）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN ∆是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用含t 的式子表示）

19. 如图，已知抛物线2

:3C y x x m =-+，直线:l y kx =（0k >），当1k =时，抛物线C 与直线l 只有一个公共点.

（1）求m 的值.

（2）若直线l 与抛物线C 交于不同的两点,A B ，直线l 与下线1:3l y x b =-+交于点P ，且112OA OB OP

+=，求b 的值； （3）在（2）的条件下，设直线1l 与y 轴交于点Q ，问：是否存在实数k 使APQ BPQ S S ∆∆=，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由.

【参考答案】

一、选择题 1-8: DACACCBD

二、填空题

9.

10. 0 11. 1435x ≤≤ 12.π4

13.

3 14. 59a 15. 218

16. 13m << 三、解答题

17.解：设甲车的速度为x 千米/小时，设乙车的速度为y 千米/小时，,A B 两地的距离为s 千米，则：

8585(85)65185(65)1

22s x y s s x y -⎧=⎪⎪⎨-++-⎪+=+⎪⎩

即85852020s x y s s x

y -⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩ 两式相除得85852020

s s s -=-+ 化简得28517001051700s s s +=-+

解得0s =（舍去）或190s =

答：,A B 两地的距离是190千米

18.解：（1）作ME OA ⊥于点E ，∴090MEP POC ∠=∠=，

∵PM CP ⊥，∴090CPM ∠=，∴090OPC MPE ∠+∠=，

又∵090OPC PCO ∠+∠=，∴MPE PCO ∠=∠，∵PM CP =，

∴MPE ∆≌PCO ∆（AAS ）

∴4PE CO ==，ME PO t ==，∴4OE t =+

∴点M 的坐标为(4,)t t +.

（2）线段MN 长度不变.

∵4OA AB ==，点(4,4)B ，∴直线OB 的解析式为：y x =，