几种特殊函数的积分

2 2
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数.
二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之．一般记为 R(sin x , cos x )
x x 2 tan 2 tan x x 2 , 2 sin x 2 sin cos 2 2 2 x 2 x 1 tan sec 2 2 2 x 2 x cos x cos sin , 2 2
x 2 x 1 tan 1 tan 2 2, cos x 2 x 2 x sec 1 tan 2 2 x 令u tan x 2 arctanu（万能置换公式） 2
2
2u 1 u2 2 sin x , cos x , dx du 2 2 2 1 u 1 u 1 u
2u 1 u 2 2 R(sin x, cos x ) dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 du.
sin x dx. 例7 求积分 1 sin x cos x 2u , 解 由万能置换公式 sin x 2 1 u 1 u2 2 cos x dx du, 2 2 1 u 1 u 2u sin x 1 sin x cos x dx (1 u)(1 u2 )du
A B 1, A 5 , ( 3 A 2 B ) 3, B 6 x3 5 6 . 2 x 5x 6 x 2 x 3
A B C 1 , 例2 2 2 x ( x 1 ) x ( x 1) x 1
解（三） 可以不用万能置换公式.
1 dx csc2 x(1 cot 2 x )dx sin4 x
csc xdx cot x csc2 xdx d (cot x ) 1 3 cot x cot x C . 3
2 2
结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定 是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考 虑其它手段, 不得已才用万能置换.
2 1 1 2 ln 1 2 x ln(1 x ) arctan x C. 5 5 5
例6 求积分
x 6
1
x 1 e2 x e3 x e6
dx.
6 解 令 t e x 6 ln t , dx dt , t 1 1 6 dt dx 3 2 x x x 1 t t t t 1 e2 e3 e6 1 3 3t 3 6 6 dt dt 2 2 t (1 t )(1 t ) t 1 t 1 t
1 例8 求积分 dx. 4 sin x x 2u 2 , dx du, 解（一） u tan , sin x 2 2 2 1 u 1 u 1 1 3u 2 3u 4 u 6 du sin4 x dx 4 8u 1 1 3 u3 [ 3 3u ] C 8 3u u 3 3 1 3 3 x 1 x tan tan C . 3 2 24 2 x 8 tan x 8 24 tan 2 2
解（二）修改万能置换公式, 令 u tan x
u 1 sin x , dx du, 2 2 1 u 1 u 2 1 1 1 1 u sin4 x dx u 4 1 u2 du u4 du 2 1 u
1 1 1 3 3 C cot x cot x C . 3u u 3
1 1 1 sin 2 x cos 2 x dx dx 2 2 4 cos x 4 sin x cos x 1 sin x 1 1 1 1 dx dx dx 2 2 4 cos x 4 sin x 4 cos x 1 1 1 1 1 1 d (cos x ) dx dx 2 2 4 cos x 4 sin x 4 cos x 1 1 x 1 ln tan tan x C . 4 cos x 4 2 4
3 3t 3 6 dt 2 t 1 t 1 t 2 1 3 d (1 t ) 3 dt 6 ln t 3 ln(1 t ) 2 2 1 t 2 1 t 3 2 6 ln t 3 ln(1 t ) ln(1 t ) 3 arctant C 2
x x 3 x 3 ln(1 e ) ln(1 e 3 ) 3 arctan( e 6 ) C . 2 x 6
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
(1) 多项式； ( 2)
A Mx N ; ( 3) ; n 2 n ( x a) ( x px q ) Mx N dx , 讨论积分 2 n ( x px q )
§4-5
几种特殊类型函数的积分
一、有理函数的积分 ；
二、三角函数有理式的积分； 三、简单无理函数的积分.
复习
原
选 择 u 有 效 方 法
函
数
不 定 积 分 线性性
分部 积分法
积分法
第一换元法 第二换元法
直接 积分法
基 本 积 分 表
一、有理函数的积分
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称之.
1 dx . 例5 求积分 2 (1 2 x )(1 x ) 4 2 1 x 1 dx 5 dx 5 2 5dx 解 (1 2 x )(1 x 2 ) 1 2x 1 x
2 1 2x 1 1 ln 1 2 x dx dx 2 2 5 5 1 x 5 1 x
1 A Bx C , 例3 2 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x
1 A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x ),
整理得 1 ( A 2 B ) x 2 ( B 2C ) x C A,
A 2 B 0, 4 2 1 B 2C 0, A , B , C , 5 5 5 A C 1, 4 2 1 x 1 5 5 25. 2 (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x
Mx N (1) n 1, x 2 px q dx p x M b 2 2 C; ln( x px q ) arctan 2 a a Mx N dx ( 2) n 1, 2 n ( x px q ) M 1 b 2 dt . 2 2 n1 2 n 2( n 1)(t a ) (t a )
2u 1 u 2 1 u 2 du 2 (1 u)(1 u )
(1 u)2 (1 u2 ) 1 u 1 du du du 2 2 (1 u)(1 u ) 1 u 1 u
1 arctan u ln(1 u2 ) ln | 1 u | C 2 x u tan 2 x x ln | sec | ln | 1 tan x | C . 2 2 2
M1 x N 1 M2 x N2 Mk x Nk 2 2 2 k k 1 ( x px q ) ( x px q ) x px q
其中 M i , N i 都是常数( i 1,2,, k ) .
Mx N ; 特殊地：k 1, 分解后为 2 x px q
k （1）分母中若有因式 ( x a ) ，则分解后为
A1 A2 Ak , k k 1 ( x a) ( x a) xa
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
A ; 特殊地：k 1, 分解后为 xa
( x 2 px q )k ，其中 （2）分母中若有因式 2 p 4q 0 则分解后为
P ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an m m 1 Q( x ) b0 x b1 x bm 1 x bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, a n 及
b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
1 A( x 1) 2 Bx Cx( x 1)
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x 0, A 1 取 x 1, B 1 取 x 2, 并将 A, B 值代入 (1) C 1
(1)
1 1 1 1 . 2 2 x( x 1) x ( x 1) x 1
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m , 这有理函数是真分式； ( 2) n m , 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
1 x x 1 例 x 2 . 2 x 1 x 1
3
难点 将有理函数化为部分分式之和.
有理函数化为部分分式之和的一般规律：