第二型曲面积分

§2 第二型曲面积分

教学目的：掌握第二型曲面积分的定义和计算公式．

教学内容：曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式．

(1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式．

(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系． 教学建议：

(1) 本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲

面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性．

(2) 本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类

曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握． 教学程序： 曲面的侧

双侧曲面的概念、曲面的侧的概念

背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 一 第二型曲面积分的概念与性质

定义 设函数P ，Q ，R 与定义在双侧曲面S 上的函数．在S 所指定的一侧作分割T 它把S 分成n 个小曲面n S S S ,,21 （n i ,,2,1 =），分割T 的细度{}的直径i n

i S T ≤≤=1max ，以yz

i S ∆，

zx i S ∆，xy i S ∆分别为i S 在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由i S 的方向来确定．如i

S 的法线正向与z 轴正向成锐角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ∆为正，反之，如i S 的

法线正向与z 轴正向成钝角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy

i S ∆为负

（n i ,,2,1 =）．在每个小曲面i S 任取一点()i i i ζηξ,,，若极限 ()∑=→∆n

i i i

i

i

T yz

S

P 1

,,lim

ζηξ+()∑=→∆n

i i i

i

i

T zx

S

Q 1

,,lim

ζηξ+()∑=→∆n

i i i

i

i

T xy

S

R 1

,,lim

ζηξ

存在且与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为函数P ，Q ，R d 曲面S 所指定的一侧的第二型曲面积分，记为

()()()⎰⎰++S

dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,, (1)

上述积分(1)也可写作

()⎰⎰S

dydz z y x P ,,+()⎰⎰S

dzdx z y x Q ,,+()⎰⎰S

dxdy z y x R ,,

第二型曲面积分的性质

（1） 若⎰⎰++S i i i dxdy R dzdx Q dydz P （n i ,,2,1 =）都存在，i c （n i ,,2,1 =），为常数，

则有

dxdy R c dzdz Q c dydz P c n i i i n i i i S n i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑⎰⎰∑===111

=∑⎰⎰=++n

i S

i i i i dxdy R dzdx Q dydz p c 1

（2）若曲面S 由两两无公共内点的曲面块21,S S …n S 所组成，⎰⎰++i

S Rdxdy

Qdzdx Pdydz （n i ,,2,1 =）都存在，则()()()⎰⎰++S

dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,也存在，且

()()()⎰⎰++S

dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,

=∑⎰⎰=++n

i S i

Rdxdy Qdzdx Pdydz 1

二 第二型曲面积分的计算

定理22．2设R 为定义在光滑曲面S ：()()xy D y x y x z z ∈=,,，上的连续函数，以S 的上侧为正侧（这时S 的法线正向与z 轴正向成锐角 ），则有

()⎰⎰S

dxdy z y x R ,,=()()⎰⎰xy

D dxdy y x z y x R ,,, （2）

证 由第二型曲面积分的定义

()⎰⎰S

dxdy z y x R ,,=()∑=→∆n i i i

i

i

T xy

S R 1

,,lim

ζηξ=()()∑=→∆n

i i i

i

i

i

d xy

S R 1

,,,lim ηξζηξ

这里(

)xy

i

S d ∆=max ，因{}的直径i n

i S T ≤≤=1max 0→，立刻可推得()xy

i S d ∆=max 0→，由相关函数

的连续性及二重积分的定义有

()()⎰⎰xy

D dxdy y x z y x R ,,,=()()∑=→∆n

i i i

i

i

i

d xy

S

R 1

,,,lim

ηξζηξ所以

()⎰⎰S

dxdy z y x R ,,=()()⎰⎰xy

D dxdy y x z y x R ,,,

类似地：P 为定义在光滑曲面S ：()

()yz D z y z y x x ∈=,,上的连续函数时，而S 的法线方向与

x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有()⎰⎰S

dydz z y x P ,,=()()⎰⎰xy

D dydz z y z y x P ,,,

Q 为定义在光滑曲面S ：()

()zx D x z x z y y ∈=,,上的连续函数时，而S 的法线方向与y 轴的正

向成锐角的那一侧为正侧，则有()⎰⎰S

dzdx z y x Q ,,=()()⎰⎰ZX

D dzdx y x z y x Q ,,,

注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果S 的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号

例1计算⎰⎰S

xyzdxdy ，其中S 是球面1222=++z y x 在0,0≥≥y x 部分并取球面外侧． 解 曲面在第一，五卦限间分的方程分别为

1S ： 2211y x z --=，()(){0,0,1,,22≥≥≤+=∈y x y x y x D y x xy 2S ：222

1y x z ---=，()(){

0,0,1,,22≥≥≤+=∈y x y x y x D y x xy ，

⎰⎰S

xyzdxdy =⎰⎰1

S xyzdxdy +⎰⎰2

S xyzdxdy

=⎰⎰--xy

D dxdy y x xy 221⎰⎰----xy

D dxdy y x xy 2

21 =⎰⎰--xy

D dxdy y x xy 2

212=

⎰⎰=

-20

1

2315

21sin cos 2π

ϑθθdr r r d ．